Puolilineaarinen Schrödingerin yhtälö

Semi-lineaarinen Schrödingerin yhtälö on yhtälö, joka käsittää lineaarisen aikavälin tyypin Schrödingerin yhtälö ja epälineaarinen reaktio aikavälin :

{\ displaystyle i {\ osittainen u (t, x) \ yli \ osittainen t} + \ Delta u (t, x) + f (t, x, u (t, x)) = 0.}

Mallinnus

Puolilineaarista Schrödinger-yhtälöä käytetään monilla fysiikan alueilla: aaltojen eteneminen, epälineaarinen optiikka, lasermallit, plasmamallit jne.

Keskittyminen kuutioiseen Schrödinger-yhtälöön

{\ displaystyle i {\ osittainen u (t, x) \ yli \ osittainen t} + \ Delta u (t, x) + | u (t, x) | ^ {2} u (t, x) = 0. }

Liittyvä hamiltonilainen on:

{\ displaystyle H (u) = \ int \ left ({1 \ over 2} | {\ overrightarrow {\ nabla}} u (t, x) | ^ {2} - {1 \ over 4} | u (t , x) | ^ {4} \ oikea) dx.}

Schrödingerin kuution yhtälön epätarkennus

{\ displaystyle i {\ osittainen u (t, x) \ yli \ osittainen t} + \ Delta u (t, x) - | u (t, x) | ^ {2} u (t, x) = 0. }

Liittyvä hamiltonilainen on:

{\ displaystyle H (u) = \ int \ left ({1 \ over 2} | {\ overrightarrow {\ nabla}} u (t, x) | ^ {2} + {1 \ over 4} | u (t , x) | ^ {4} \ oikea) dx.}

Ratkaisut

Ratkaisuja Schrödingerin yhtälön erityisesti tyyppisiä ratkaisuja: . ${\ displaystyle u (t, x) = Q (x) e ^ {i \ omega t}}$

Dimensiossa 1 kuutiomainen Schrödinger-yhtälö on integroitava ja se voidaan ratkaista käänteisdiffuusiomenetelmällä. Erityisesti kahden ratkaisun vuorovaikutus on selvä.

Bibliografia

Johdatus epälineaarisiin Schrödinger-yhtälöihin , J. Ginibre, DEA-kurssi 1994-1995.
Epälineaarinen Schrödingerin yhtälö.
Käänteinen sirontamuunnos.