Integraali yhtälö

Integraaliyhtälö on yhtälö , jossa yksi indeterminates on kiinteä . Ne ovat tärkeitä useilla fyysisillä alueilla . Maxwellin yhtälöt ovat luultavasti kuuluisinta edustajia. Ne esiintyvät säteilevän energiansiirron ongelmissa ja kielen , kalvon tai akselin värähtelyongelmissa . Värähtelyongelmat voidaan ratkaista myös differentiaaliyhtälöiden avulla .

Esimerkkejä

Fredholmin ensimmäisen tyypin yhtälö

Yksi yksinkertaisimmista integraaliyhtälöistä on ensimmäisen tyyppinen Fredholmin integraaliyhtälö :

{\ displaystyle f (x) = \ int _ {a} ^ {b} K (x, t) \, \ phi (t) \, {\ rm {d}} t.}

Merkinnät ovat Arfken ja Weber. Tässä on tuntematon toiminto, f on tunnettu funktio ja K on toinen tunnettu kahden muuttujan funktio, jota usein kutsutaan integraalisen operaattorin ytimeksi . Integraatiorajat ovat vakiot. Tämä on Fredholmin yhtälön pääominaisuus. $\ phi \,$

Fredholmin toisen tyyppinen yhtälö

Jos tuntematon funktio esiintyy sekä integraalin sisällä että sen ulkopuolella, tämä on toisen tyyppinen Fredholmin integraaliyhtälö :

{\ displaystyle \ phi (x) = f (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} K (x, t) \, \ phi (t) \, {\ rm {d}} t. }

Parametri λ on tuntematon tekijä, joka on sama rooli kuin ominaisarvo on lineaarialgebran .

Ensimmäisen ja toisen tyypin Volterran yhtälö

Jos yksi integraatiorajoista on vaihteleva, se on Volterran integraaliyhtälö . Ensimmäisen ja toisen tyypin Volterran yhtälöt ovat muodoltaan:

{\ displaystyle f (x) = \ int _ {a} ^ {x} K (x, t) \, \ phi (t) \, {\ rm {d}} t,}

{\ displaystyle \ phi (x) = f (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {x} K (x, t) \, \ phi (t) \, {\ rm {d}} t. }

Ominaisuudet

Jos tunnettu funktio f on identtisesti nolla, integraaliyhtälöä kutsutaan sitten "homogeeniseksi integraaliyhtälöksi". Jos se eroaa nollasta, sitä kutsutaan "ei-homogeeniseksi integraaliyhtälöksi".

Nämä yhtälöt luokitellaan kolmen dikotomian mukaan:

Integrointirajat
- molemmat kiinteät: Fredholmin yhtälö
- yksi muuttuja: Volterran yhtälö
Tuntemattoman toiminnon paikka
- vain integraalin sisällä: ensimmäinen tyyppi
- integraalin sisällä ja ulkopuolella: toinen tyyppi
Tunnetun toiminnon luonne f
- identtisesti nolla: homogeeninen
- eroaa nollasta: ei homogeeninen

Viitteet

George Arfken ja Hans Weber, Matemaattiset menetelmät fyysikoille , Harcourt / Academic Press, 2000.
Andrei D.Polyanin ja Alexander V.Manzhirov, Käsikirja integraaleista yhtälöistä , CRC Press, Boca Raton, 1998. ( ISBN 0-8493-2876-4 ) .
ET Whittaker ja GN Watson, Modernin analyysin kurssi , Cambridgen matemaattinen kirjasto ( ISBN 0-521-58807-3 ) .

Ulkoiset linkit

(en) Integraaliset yhtälöt: Tarkat ratkaisut EqWorldissa: Matemaattisten yhtälöiden maailma.
(en) Integraaliset yhtälöt: Hakemisto EqWorldiin: Matemaattisten yhtälöiden maailma.
(en) Integraaliset yhtälöt esimerkkien ongelmien kanssa.com