Pääyhtälö

In fysiikan , joka on master-yhtälö on differentiaaliyhtälö kuvaava kehitys ajan järjestelmän. Se on nopeuden yhtälö järjestelmän tiloille.

Diskreetissä tilassa k olemisen todennäköisyyden kehitys seuraa tyypin yhtälöä: ${\ displaystyle P_ {k}}$

{\ displaystyle {\ frac {dP_ {k}} {dt}} = \ summa _ {\ ell} \ Gamma _ {k \ ell} P _ {\ ell},}

tai edelleen vektorimuodossa

{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {P}}} {dt}} = \ Gamma. {\ vec {P}}}

Matriisia kutsutaan joskus siirtymänopeusmatriisiksi. ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ ell k}}$

Tämä yhtälö löytyy matematiikasta Markov-ketjujen todennäköisyyshoidon aikana .

Koko todennäköisyyden säilyttämiseksi ${\ displaystyle \ summa _ {\ ell} \ Gamma _ {\ ell k} = 0}$

ja pääyhtälö voidaan siis kirjoittaa uudelleen

{\ displaystyle {\ frac {dP_ {k}} {dt}} = \ summa _ {\ ell} (\ Gamma _ {k \ ell} P _ {\ ell} - \ Gamma _ {\ ell k} P_ { k}).}

Tämän lomakkeen avulla voit nähdä suoraan osavaltiosta k lähtevät hinnat ja saapumishinnat tähän osavaltioon. ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ ell k}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {k \ ell}}$

Lisäksi määräämällä :, toisin sanoen sallimalla vain siirto muihin tiloihin eikä lähdetermiä, meillä on seuraavat ominaisuudet ( käytettävissä olevien tilojen lukumäärä on rajallinen määritelmän mukaan): ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ ell k} \ geq 0 \ quad \ ell \ neq k}$

${\ displaystyle \ forall {\ vec {P}} \ quad | \ quad \ sum _ {\ ell} P _ {\ ell} (0) = 1, \ quad \ sum _ {\ ell} P _ {\ ell } (t) = 1}$
kolme tapausta ovat mahdollisia seuraavien muotojen mukaan : Γ{\ displaystyle \ Gamma} $\Gamma$
- $\Gamma$ hajoava: tilojen uudelleen numerointi osoittaa, että matriisi on vinosti lohkojen mukaan (evoluutio on useiden itsenäisten alijärjestelmien kehitys, jotka eivät ole yhteydessä toisiinsa)
- $\Gamma$ erotettavissa: tilojen permutaatio osoittaa, että matriisi on ylemmän kolmiomainen lohkojen mukaan (osajärjestelmän kehitys on ennustettavissa lopusta riippumatta ja ohimenevä, eli kunkin sen tilan todennäköisyys on pitkään kohti 0.)
- $\Gamma$ on ainutlaatuinen kiinteä ratkaisu, johon mikä tahansa ratkaisu lähentyy, kun sen antaa ominaisarvo 0: n oikealla puolella oleva ainutlaatuinen ominaisvektori (joka on ilmeisesti vasemmanpuoleinen ominaisvektori todennäköisyyden säilyttämiskaavan mukaan). ${\ displaystyle t \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle {\ vec {1}} ^ {t}}$

Viimeinen tapauksista voidaan varmistaa ergodisen olettaman puitteissa, joka täsmentää, että jokainen tila on suhteessa toisiinsa rajallisella määrällä siirtymiä:

${\ displaystyle \ kaikki k, l \ quad \ on olemassa p \ in \ mathbb {N} \ quad | \ quad (\ Gamma ^ {p}) _ {k, l}> 0}$

Tämän yhtälön yleistys on Fokker-Planck-yhtälö loputtoman määrän k-tilojen evoluutiolle.

Katso myös

Huomautuksia ja viitteitä

(in) NG Kampen (Van) , Stokastiset prosessit Fysiikan ja kemian , Elsevier ,30. elokuuta 2011, 464 Sivumäärä ( ISBN 978-0-08-047536-3 , lue verkossa )