Hamilton-Jacobi-yhtälöt
In Hamiltonin mekaniikka , Hamilton-Jacobin yhtälöt ovat yhtälöitä liittyy muutos Hamiltonin on vaiheavaruudessa , ja joka yksinkertaistaa resoluutio liikeyhtälöitä .
Kanoniset muutokset
Kanoninen muunnos on muunnos , että vaiheen tila , joka säilyttää kanoninen yhtälöt:
(q→,s→)→(Q→,P→) , H(q→,s→)→K(Q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}}) ~, ~ H ({\ vec {q} }, {\ vec {p}}) \ oikeanpuoleinen nuoli K ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}q→˙=∂H∂s→ → Q→˙=∂K∂P→;s→˙=-∂H∂q→ → P→˙=-∂K∂Q→{\ displaystyle {\ dot {\ vec {q}}} = {\ frac {\ partituali H} {\ osittainen {\ vec {p}}}} ~~ \ rightarrow ~~ {\ piste {\ vec {Q} }} = {\ frac {\ osittainen K} {\ osittainen {\ vec {P}}}}} \ ,; \, {\ piste {\ vec {p}}} = - {\ frac {\ osittainen H} { \ osal {\ vec {q}}}} ~ ~ \ oikeanpuoleinen ~~ {\ piste {\ vec {P}}} = - {\ frac {\ osittainen K} {\ osallinen {\ vec {Q}}}} }.
(Huomaa missä .)
∂∂x→=∇→x→=∑i=1EI∂∂xie→i{\ displaystyle {\ frac {\ partituali {\ osittainen {\ vec {x}}}} = {\ vec {\ nabla}} _ {\ vec {x}} = \ summa _ {i = 1} ^ { N} {\ frac {\ partituali {\ osittain x_ {i}}} {\ vec {e}} _ {i}}x→=∑i=1EIxie→i{\ displaystyle {\ vec {x}} = \ summa _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} {\ vec {e}} _ {i}}
Voimme osoittaa, että muutos on kanoninen vain ja vain, jos se säilyttää Poissonin perussulkeet :
{Qa,Pβ}=5aβ{\ displaystyle \ {Q _ {\ alpha}, P _ {\ beta} \} = \ delta _ {\ alpha \ beta}}
{Qa,Qβ}=0{\ displaystyle \ {Q _ {\ alpha}, Q _ {\ beta} \} = 0}
{Pa,Pβ}=0{\ displaystyle \ {P _ {\ alpha}, P _ {\ beta} \} = 0}
Funktioiden luominen
Toiminta voidaan kirjoittaa funktiona vaiheavaruusdynamiikan muuttujat:
S[q→,s→]=∫dt L(q→,q→˙,t)=∫dt (s→⋅q→˙-H(q→,s→,t))=∫dt f(q→˙,q→,s→,t).{\ displaystyle S [{\ vec {q}}, {\ vec {p}}] = \ int \ mathrm {d} t ~ L ({\ vec {q}}, {\ piste {\ vec {q} }}, t) = \ int dt ~ ({\ vec {p}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} - H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t)) = \ int \ mathrm {d} t ~ f ({\ dot {\ vec {q}}}, {\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t).}
Kanoniset yhtälöt, jotka on varmistettu tarkoittamalla, että Euler-Lagrange-yhtälöt vahvistavat :
H(q→,s→){\ displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}})}f{\ displaystyle f}
ddt(∂f∂q→˙)-∂f∂q→=ddt(s→)+∂H∂q→=s→˙-s→˙=0→;{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ partis f} {\ osittainen {\ piste {\ vec {q}}}}}} \ oikea) - {\ frac {\ partis f} {\ osittainen {\ vec {q}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ vec { p}} \ oikea) + {\ frac {\ osittainen H} {\ osittainen {\ vec {q}}}} = {\ piste {\ vec {p}}} - {\ piste {\ vec {p}} } = {\ vec {0}};}
ddt(∂f∂s→˙)-∂f∂s→=ddt(0→)-(q→˙-∂H∂s→)=-q→˙+q→˙=0→.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ partis f} {\ osittainen {\ piste {\ vec {p}}}}}} \ oikea) - {\ frac {\ partis f} {\ osittainen {\ vec {p}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ vec { 0}} \ oikea) - \ vasen ({\ piste {\ vec {q}}} - {\ frac {\ osittainen H} {\ osittainen {\ vec {p}}}} \ oikea) = - {\ piste {\ vec {q}}} + {\ dot {\ vec {q}}} = {\ vec {0}}.}
Siksi meillä on toiminnan pysyvyys vain ja vain, jos kanoniset yhtälöt tyydyttävät, ja sama . Johtopäätöksenä on, että jos H ja K varmistavat kanoniset yhtälönsä, meillä on vastaavien toimintojen stationaarisuus, nimittäin:
H(q→,s→){\ displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}})}K(Q→,P→){\ displaystyle K ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}
5(∫dt (s→⋅q→˙-H))=0,5(∫dt (P→⋅Q→˙-K))=0{\ displaystyle \ delta \ left (\ int \ mathrm {d} t ~ ({\ vec {p}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} - H) \ right) = 0 \ ,, \ , \ delta \ left (\ int \ mathrm {d} t ~ ({\ vec {P}} \ cdot {\ dot {\ vec {Q}}} - K) \ right) = 0}
siten ns. muuttumattomuusolosuhteet:
(s→⋅q→˙-H)-(P→⋅Q→˙-K)=dFdt(q→,s→,Q→,P→,t).{\ displaystyle ({\ vec {p}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} - H) - ({\ vec {P}} \ cdot {\ dot {\ vec {Q}}} - K) = {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, {\ vec {Q}}, {\ vec {P}}, t).}
Tällaista funktiota F kutsutaan muunnoksen generoivaksi funktioksi .
(q→,s→)→(Q→,P→) , H(q→,s→)→K(Q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}}) ~, ~ H ({\ vec {q} }, {\ vec {p}}) \ oikeanpuoleinen nuoli K ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}
Hamiltonin päätehtävä, Hamilton-Jacobi-yhtälö
Yksi toteaa N: n järjestelmän vapausasteiden lukumäärän, edustaa 4 N muuttujaa, jotka on yhdistetty niiden välillä muunnoksen 2 N- suhteella . Siksi meillä on 2 N riippumatonta muuttujaa, ja siksi useita vaihtoehtoja generaattoritoiminnon muuttujille. Jos päätämme käyttää muuttujia , meillä on generaattoritoiminto, jota kutsutaan Hamiltonin pääfunktioksi. Todella on toiminto , soveltaa Legendren muunnos on :
.
(q→,s→,Q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, {\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}(q→,s→)→(Q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})(q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}S(q→,P→){\ displaystyle S ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}(q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}F{\ displaystyle F}S(q→,P→)=F+Q→⋅P→{\ displaystyle S ({\ vec {q}}, {\ vec {P}}) = F + {\ vec {Q}} \ cdot {\ vec {P}}}
Meillä on sitten dSdt=dFdt+Q→˙⋅P→+Q→⋅P→˙=∂S∂q→⋅q→˙+∂S∂P→⋅P→˙+∂S∂t{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} S} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} + {\ piste {\ vec {Q}}} \ cdot {\ vec {P}} + {\ vec {Q}} \ cdot {\ dot {\ vec {P}}} = {\ frac {\ partituali S} {\ osittainen {\ vec {q}}}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} + {\ frac {\ partituali S} {\ osittainen {\ vec {P}}}} \ cdot {\ piste {\ vec { P}}} + {\ frac {\ osittainen S} {\ osittainen t}}}
ja muuttumattomuustila muuttuu
(s→-∂S∂q→)⋅q→˙+(Q→-∂S∂P→)⋅P→˙+(-H+K-∂S∂t)=0.{\ displaystyle \ left ({\ vec {p}} - {\ frac {\ partituali S} {\ osittainen {\ vec {q}}}} \ oikea) \ cdot {\ piste {\ vec {q}}} + \ vasen ({\ vec {Q}} - {\ frac {\ partituali S} {\ osittainen {\ vec {P}}}} \ oikea) \ cdot {\ piste {\ vec {P}}} + \ vasen (-H + K - {\ frac {\ osittainen S} {\ osittainen t}} \ oikea) = 0.}
Olemme valinneet itsenäisiksi muuttujiksi, voimme siten tunnistaa ja saada:
(q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}
s→-∂S∂q→=0→{\ displaystyle {\ vec {p}} - {\ frac {\ partitali S} {\ osittainen {\ vec {q}}}} = {\ vec {0}}} ;
Q→-∂S∂P→=0→{\ displaystyle {\ vec {Q}} - {\ frac {\ partituali S} {\ osittainen {\ vec {P}}}} = {\ vec {0}}} ;
-H+K-∂S∂t=0{\ displaystyle -H + K - {\ frac {\ osittainen S} {\ osittainen t}} = 0}.
Kaksi ensimmäistä yhtälöä mahdollistavat muunnoksen määrittämisen funktion tiedoista , ja yhdistämällä ensimmäisen ja viimeisen yhtälön meillä on Hamilton-Jacobi-yhtälö:
(q→,s→)→(Q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})S(q→,P→){\ displaystyle S ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}
H(q→,∂S∂q→,t)+∂S∂t=K{\ displaystyle H \ vasen ({\ vec {q}}, {\ frac {\ partituali S} {\ osittainen {\ vec {q}}}}, t \ oikea) + {\ frac {\ osittainen S} { \ osittainen t}} = K}.
Sovellus
Tällaisen muunnoksen tavoitteena on yksinkertaistaa liikkeen yhtälöiden ratkaisua. Esimerkiksi määräämällä , meillä on yksinkertaisesti ja eli ja vakioita. Sitten se on vielä määriteltävä ratkaisun saamiseksi , mutta muunnos määräytyy kokonaan generointitoiminnon tiedoilla, joka on osittaisen differentiaaliyhtälön ratkaisuK=0{\ displaystyle K = 0}Q→˙=0→{\ displaystyle {\ dot {\ vec {Q}}} = {\ vec {0}}}P→˙=0→{\ displaystyle {\ dot {\ vec {P}}} = {\ vec {0}}}Q→{\ displaystyle {\ vec {Q}}}P→{\ displaystyle {\ vec {P}}}(Q→(q→,s→),P→(q→,s→)){\ displaystyle ({\ vec {Q}} ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}), {\ vec {P}} ({\ vec {q}}, {\ vec {p }}))}}(q→(t),s→(t)){\ displaystyle ({\ vec {q}} (t), {\ vec {p}} (t))}
H(q→,∂S∂q→,t)+∂S∂t=0.{\ displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ frac {\ partitali S} {\ osittainen {\ vec {q}}}}, t) + {\ frac {\ osittainen S} {\ osio t} } = 0.}
Merkintä
Tässä tapauksessa muuttumattomuusolosuhteista tulee . Generointitoiminto on silloin yksinkertaisesti järjestelmän toiminta.
s→⋅q→˙-H=dSdt ⇒ S=∫L dt{\ displaystyle {\ vec {p}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} - H = {\ frac {\ mathrm {d} S} {\ mathrm {d} t}} ~~ \ Rightarrow ~~ S = \ int L ~ \ mathrm {d} t}S{\ displaystyle S}
Tätä yhtälöä ei ole a priori helpompi ratkaista kuin lähtöyhtälöitä (varsinkin jos se on klassinen hamiltonilainen , meillä on silloin epälineaarisia termejä). Kuitenkin, jos hamiltonilainen ei ole riippuvainen nimenomaisesti ajasta, se on konservoitunut ( Noetherin lauseen mukaan ), joten meillä on suoraan:
H(q→,s→,t)=s→22m+V(q→,s→,t){\ displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t) = {\ frac {{\ vec {p}} ^ {2}} {2m}} + V ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t)}
∂S∂t=-H(q→,∂S∂q→)=-E=vs.oeistkloeite{\ displaystyle {\ frac {\ partituali S} {\ osittainen t}} = - H ({\ vec {q}}, {\ frac {\ osittainen S} {\ osallinen {\ vec {q}}}}) = -E = vakio}
mistä
S=S0(q→,s→)-Et{\ displaystyle S = S_ {0} ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) - ja}
ja ratkaistava yhtälö on yksinkertaistettu:
H(q→,∂S0∂q→)-E=0.{\ displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ frac {\ osittainen S_ {0}} {\ osittainen {\ vec {q}}}}) - E = 0.}
Aiheeseen liittyvät artikkelit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">