Kac-Moody-algebra

On matematiikka , joka on Kac-Moody algebran on Lie algebran , yleensä äärettömän ulottuvuus, joka voidaan määritellä generaattorit ja suhteet kautta yleisen Cartan matriisi . Kac-Moody-algebrat ottavat nimensä Victor Kacilta ja Robert Moodylta , jotka löysivät ne itsenäisesti. Nämä algebrat ovat yleistys rajallisulotteisista puoliksi yksinkertaisista Lie- algebroista, ja monilla Lie-algebrojen rakenteeseen liittyvillä ominaisuuksilla, erityisesti juurijärjestelmällä , sen pelkistämättömillä esityksillä, yhteyksillä lippulajikkeisiin on vastaavuudet Kac-Moodyssä järjestelmään. Kac-Moodyn luokka nimeltä Lie algebra affine (in) on erityisen tärkeä matematiikassa ja teoreettisessa fysiikassa , erityisesti johdonmukaisissa kenttäteorioissa ja täysin integroitavissa järjestelmissä . Kac on löytänyt tyylikkään todistuksen tietyistä kombinatorisista identiteeteistä, Macdonald-identiteeteistä (in) , affiinisen Lie-algebran edustusteorian perusteella. Howard Garland ja James LePowSki (vuonna) osoittivat vuorostaan, että Rogers-Ramanujan -identiteetit voidaan todistaa samalla tavalla.

Määritelmä

Kac-Moody-algebra määritetään seuraavasti:

Cartan matriisi laajalle levinnyt koko , on listalla r . $n \ kertaa n$ ${\ displaystyle C = (c_ {ij})}$
Vektori tilaa yli kooltaan 2 n - r . ${\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}$ $\ mathbb {C}$
Joukko n- vektoreita saatavilla päässä ja joukon n vektorista, joka on kaksi tilaa , jotka liittyvät , kuten , . Kutsutaan coracines , kun taas kutsutaan juuret . $\ alpha_i$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}$ ${\ displaystyle \ forall {i, j} \ in (\ {1 \ cdots \ n \}) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*} (\ alpha _ {j}) = c_ {ij}}$ $\ alpha_i$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*}}$

KAC-Moody algebran on Lie algebran määritelty generaattorin vektorit ja ja osia, kuten sekä suhteet: ${\ mathfrak {g}}$ $e_i$ $f_ {i}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}$

${\ displaystyle [e_ {i}, f_ {i}] = \ alfa _ {i} \}$
${\ displaystyle \ kaikki {i} \ neq j, [e_ {i}, f_ {j}] = 0}$
${\ displaystyle \ forall {x} \ in {\ mathfrak {E}}, [e_ {i}, x] = \ alpha _ {i} ^ {*} (x) e_ {i}}$
${\ displaystyle \ forall {x} \ in {\ mathfrak {E}}, [f_ {i}, x] = - \ alpha _ {i} ^ {*} (x) f_ {i}}$
${\ displaystyle \ forall {x, x '} \ sisään {\ mathfrak {E}}, [x, x'] = 0}$
${\ displaystyle {\ textrm {ad}} (e_ {i}) ^ {1-c_ {ij}} (e_ {j}) = 0}$
${\ displaystyle {\ textrm {ad}} (f_ {i}) ^ {1-c_ {ij}} (f_ {j}) = 0}$

Missä on sijainen esitys on . ${\ displaystyle {\ textrm {ad}}: {\ mathfrak {g}} \ - {\ textrm {gl}} ({\ mathfrak {g}}), {\ textrm {ad}} (x) (y) = [x, y]}$ ${\ mathfrak {g}}$

Lie algebran (ääretön ulottuvuus tai ei) yli alalla todellinen määrä on myös pidettävä Kac-Moody algebran, jos sen complexified on Kac-Moody algebran.

Tulkinta

Joko osa-algebran Cartan (fi) algebran Kac-Moody. ${\ mathfrak {h}}$

Jos g on Kac-Moody-algebran elementti siten, että missä on elementti , niin sanomme, että g: llä on paino . Kac-Moody-algebra voidaan diagonalisoida painon ominaisvektoreiksi . Cartanin alaalgalla on paino nolla, paino ja paino . Jos kahden ominaisvektorin Lie-koukku ei ole nolla, sen paino on niiden painojen summa. Ehto tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että nämä ovat yksinkertaisia juuria. ${\ displaystyle \ forall {x} \ in {\ mathfrak {h}}, [g, x] = \ omega (x) g}$ $\ omega$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$ $\ omega$ ${\ mathfrak {h}}$ $e_i$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*}}$ $f_ {i}$ ${\ displaystyle - \ alpha _ {i} ^ {*}}$ ${\ displaystyle [e_ {i}, f_ {j}] = 0 \ \ kaikki {i} \ neq {j}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*}}$

Kac-Moody-algebrojen tyypit

Kac-Moody-algebraan liittyvä Cartan-matriisi voidaan hajottaa kahden matriisin D ja S tulona, joissa D on positiivinen diagonaalimatriisi ja S symmetrinen matriisi . S: n luonne määrittää kyseessä olevan Kac-Moody-algebran tyypin: ${\ mathfrak {g}}$

${\ mathfrak {g}}$ on rajallinen ulottuvuus yksinkertainen Lie-algebra, jos S on positiivinen määrätty
${\ mathfrak {g}}$ on affiniini, jos S on positiivinen puolidefiniitti korangista 1

On myös toinen Kac Moody -algebran luokka, jota kutsutaan hyperbolisiksi algebroiksi. S ei voi koskaan olla negatiivinen määritelty tai negatiivinen puolidefine, koska sen lävistäjäkertoimet ovat positiivisia.

Tämäntyyppisille Kac Moody -algebroille on tunnusomaista myös niiden Dynkin-kaaviot :

tiedämme tarkan luettelon yksinkertaisista Lie-algebroista vastaavista Dynkin-kaavioista
kun mikä tahansa Dynkin-kaavion alikaavio on yksinkertaisen Lie-algebran kaavio, on affiniteetti ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$
kun mikä tahansa Dynkin-kaavion alikaavio on affiinisen algebran kaavio, on sitten hyperbolinen ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

Affine-algebrat ovat tunnetuimpia Kac-Moody-algebroista.

Viitteet

(en) AJ Wassermann, Kac-Moody ja Virasoro Algebras , arXiv : 1004.1287
(en) Victor G.Kac , Äärettömät ulotteiset Lie-algebrat , CUP ,1994, 3 ja toim. , 400 Sivumäärä ( ISBN 978-0-521-46693-6 , online-esitys )
(en) ”Kac - Moody algebra” , julkaisussa Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , lue verkossa )
(en) VG Kac , ” Yksinkertaiset pelkistämättömät luokitellut rajallisen kasvun Lie-algebrat ” , Math. Neuvostoliiton Izv. , 2 nd sarja,1968, s. 1271-1311, Izv. Akad. Naukin Neuvostoliiton ser. Masto. , lento. 32, 1968, s. 1923-1967
(en) RV Moody , “ New class of Lie algebras ” , J. of Algebra , voi. 10,1968, s. 211-230

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Algebra yleisti Kac-Moodyn (en)
Weyl-merkkikaava (in)