Spektrianalyysi

Fysiikassa ja erilaisissa tekniikoissa esiintyy signaaleja, ajan funktioita tai, poikkeuksellisemmin, avaruusmuuttujaa. Spektrianalyysi sisältää useita tekniikoita kuvaus näiden signaalien taajuusalueella. Se mahdollistaa erityisesti lineaarisen järjestelmän vasteen ominaisuuksien saamisen siirtofunktiota käyttämällä . Matematiikassa harmoninen analyysi on yksi osa näitä tekniikoita.

Esitys

Aikariippuvainen fyysinen ilmiö kuvataan yhdellä tai useammalla signaalilla. Voimme tulkita niitä vain poikkeuksellisesti yksinkertaisella tavalla. Ongelmana on löytää kuvaus niiden sisällöstä, suhteellisen yleinen ja sovitettu konkreettisiin ongelmiin. Nämä näyttävät usein seuraavilta: järjestelmä muuntaa tulosignaalin lähtösignaaliksi, miten määritetään tämän ominaisuudet tulosignaalin ja järjestelmän ominaisuuksien perusteella?

Valitettavasti emme valitettavasti tiedä lähtösignaalin ja tulosignaalin arvojen välistä suhdetta, vaan vain lähtösignaalin vaihtelujen ja signaalin arvojen (tai mahdollisesti vaihtelujen) välisen suhteen. sisäänkäynnin signaali. Matemaattisesti ilmaistuna järjestelmää ohjaa differentiaaliyhtälö . Jos näin on, ongelma on liukenematon.

Onneksi on olemassa tärkeä järjestelmäluokka, lineaarisia järjestelmiä (tai niiden oletetaan olevan sellaisia), joita ohjaa päällekkäisyyden periaate. Tässä tapauksessa lineaarista differentiaaliyhtälöä vastaavasti voidaan yrittää hajottaa tulosignaali yksinkertaisten signaalien summaksi, jota on mahdollista saada yhtä yksinkertaisia lähtösignaaleja vastaamaan, joiden summa antaisi halutun tuloksen.

Ongelma yksinkertaistuu entisestään, jos järjestelmän ominaisuudet pysyvät vakioina ajan mittaan. Olemme tekemisissä lineaarisen differentiaaliyhtälön kanssa vakiokertoimilla. Yksinkertaiset signaalit ovat sinimuotoja, jotka vain vahvistuvat ja vaihesiirretään. Tämä on spektrianalyysin ongelma: monimutkaisen signaalin hajottaminen sinusoidien summaksi.

Tässä syntyy vaikeus, koska tämä hajoaminen vaatii signaalin määrittelemisen äärettömän ajan. Se voidaan kuitenkin tuntea vain rajoitetun keston tallennuksella: sen vuoksi on tarpeen rakentaa signaalimalli tekemällä oletuksia, jotka ovat usein intuitiivisesti ilmeisiä ilmiön kirjaamattomalle osalle.

Eri mallit

Voidaan esimerkiksi olettaa, että signaali toistaa tallennuksen sisällön loputtomiin: sitten rakennetaan jaksollinen malli Fourier-sarjan perusteella . Signaalia kuvaa erillinen spektri (taajuuksien joukko aritmeettisessa etenemisessä).

Voimme myös olettaa, että signaalitaso on merkityksetön tallennuksen ulkopuolella: käytämme tässä tapauksessa Fourier-muunnokseen perustuvaa transienttimallia, joka johtaa yleensä jatkuvaan spektriin.

On olemassa useita luonnonilmiöitä, joille kumpikaan näistä olettamuksista ei ole realistinen. Esimerkiksi aaltojen tallennus ilman jaksollisuutta ei myöskään osoita nettolaskua sen suhteellisen pienen keston aikana: puhumme signaalista, jolla on rajallinen varianssi (jotkut puhuvat mieluummin äärellisestä voimasta, mutta se ei ole silti teknisesti merkityksellinen), mikä johtaa spektritiheyden käsitteeseen . Voimme sitten käyttää jonkin verran sumeampaa oletusta, että tallenteelta laskettu juurikeskiarvo antaa kohtuullisen arvion signaalin juurikeskiarvosta . Tämän tyyppinen analyysi johtaa edelleen jatkuvaan spektriin. Se määritetään, kuten edellisetkin, signaalin perusteella, mutta lisätietoja voidaan saada pitämällä jälkimmäistä satunnaisen prosessin toteutuksena .

Jaksolliset signaalit

Säännöllinen signaalin amplitudispektri.png

Keston tallennuksen Fourier-sarjan kehitys yhdistää siihen äärellisten amplitudien ja taajuuksien sinisoidit moninkertaisesti perustaajuudella . Puhumme amplitudispektristä, joka on linjaspektri. Analyysin tulos voidaan yleensä ilmaista joko amplitudina ja vaiheina tai kosini- ja sinikomponenteina. $T$ ${\ frac {1} {T}}$

Sinusoidien summaus luo jaksoittaisen signaalin. Jos alkuperäinen signaali on jaksollinen, se on edustettu täydellisesti - ainakin periaatteessa. Muuten vain äänitys on näytetty ja sinun on yritettävä löytää jotain muuta.

Ohimenevät signaalit

Ohimenevä signaalin amplituditiheysspektri.png

Tässä tarkastelemme ensinnäkin oletetun äärettömän keston signaalia, ennen kuin näemme seuraukset äärellisen keston tallennukselle. Jos tämä signaali ei ole jaksollinen, eikä sillä ole rajallista jaksoa, voimme yrittää nähdä, mitä tapahtuisi, jos annamme sille loputtoman ajan. Tällä on seuraavat seuraukset:

Kun analyysiaika on kohti ääretöntä, taajuusvaihe kohti 0: rajalla siirrymme erillisestä spektristä jatkuvaan spektriin. $T$ ${\ frac {1} {T}}$
Tämän analyysijakson kasvun aikana, kun jälkimmäinen kerrotaan millä tahansa luvulla n, komponenttien lukumäärä kerrotaan samalla tekijällä. Jotta signaalin tasoa ei nosteta samoissa suhteissa, on välttämätöntä, että komponenttien amplitudit jaetaan karkeasti n: llä, mikä saattaa johtaa nollamplitudien rajaan. Tämä vaikeus ratkaistaan kertomalla Fourier-kertoimet analyysin pituudella tai jakamalla ne taajuusaskeleella, joka pyrkii kohti nollaa. Jatkuva spektri ei siis ole enää amplitudispektri, vaan amplituditiheysspektri, jonka yksikkö on fyysinen yksikkö / hertsi.
Näistä varotoimista huolimatta menetelmä voi olla erilainen. Lähentymisen ehto on, että signaalin on oltava ohimenevä: sen on pyrittävä kohti 0, kun aika on ± . $\ infty$

Näin saadaan signaalin muunnos, joka on yleisesti huomioitu , f on taajuus. $x (t)$ $X (f)$

Jos palataan ajallisesti rajoitettuun tallennukseen, on kaksi mahdollisuutta:

Signaali eroaa nollasta vain rajoitetun ajan: tänä aikana suoritettu analyysi antaa ainakin periaatteessa tarkan tuloksen, joka mahdollistaa signaalin palauttamisen muunnoksen käänteisellä tavalla.
Signaalilla on muut kuin nolla-arvot pidemmän kuin tallennuksen kesto: tuloksen epätarkkuus kasvaa menetetyn tiedon määrän myötä. Täten tehty virhe kääntyy konkreettisesti vierekkäisten taajuuksien taajuutta vastaavan energian hajonnalla ja matemaattisesti konvoluutio-käsitteellä.

Äärelliset varianssisignaalit

Ongelma on monimutkaisempi kuin edellisessä tapauksessa, ja siihen voidaan lähestyä monin tavoin. Se, jota käytämme, ei todellakaan ole tieteelliseltä kannalta tehokkain, mutta sillä on se etu, että se näyttää joitain keskeisiä kohtia piilottamatta niitä matemaattisten näkökohtien taakse, ellei erityisen vaikeaa, ainakin melko raskasta. Nollan ulkopuolisen keskiarvon huomioon ottamiseen liittyvien erityisten ongelmien ratkaisemiseksi oletetaan, että signaali on keskitetty etukäteen vähentämällä sen keskiarvo.

Signaalin perusteella kutsumme autokovarianttitoimintoa, joka rinnastetaan usein väärin autokorrelaatioon, jonka funktio antaa kahden hetken arvojen tulojen keskiarvon, jotka eroavat : $x (t)$ $\ tau$ $x (t)$ $\ tau$

R_ {x} (\ tau) = \ yliviiva {x (t) x (t + \ tau)}

Laskettaessa tämä tarkoittaa, t vaihtelee kohteeseen . Jos signaali on ohimenevä, toiminto on nolla; jos se on jaksoittaista, se on itse säännöllistä. Sijoittamalla itsensä signaaliin, joka ei selvästikään kuulu kumpaankaan kahteen luokkaan, funktiolla on seuraavat ominaisuudet: $- \ infty$ $+ \ infty$

Muutos en ei tee mitään muutoksia: toiminto on vieläkin. $\ tau$ ${\ displaystyle - \ tau}$
Alkuperässä edustaa varianssia, joka on välttämättä positiivinen. ${\ displaystyle R_ {x} (0)}$
Symmetria sanelee, että se on ääripää. Itse asiassa kyse on maksimista: jos laskennassa korvataan muutos 0 pienellä siirtymällä , jokaisella tason 0 ylityksellä pieni positiivinen tulo korvataan pienellä negatiivisella tuotteella. $\ tau$
Jaksollista signaalia lukuun ottamatta kahdella suurella siirtymällä erotetulla pisteellä on vain vähän yhteistä: funktio pyrkii nollaan, kun tämä siirtymä pyrkii äärettömään. $\ tau$
Kaiken kaikkiaan toiminnolla on usein epämääräinen, vaimennettu sinimuotoinen muoto.
Haluamme, jos mahdollista, rinnastaa signaali sinimuotoisten summaan. Oletetaan, että näin on. Olipa amplitudit äärelliset tai äärettömän pienet, voimme kirjoittaa tämän summan muodossa:

x (t) = \ summa _ {n} a_ {n} \ cos (\ omega _ {n} t + \ varphi _ {n})

Näissä olosuhteissa osoitamme sen

R_ {x} (\ tau) = \ summa _ {n} {a_ {n} ^ {2} \ yli 2} \ cos {\ omega _ {n} \ tau}

Niin

Autokovarianttitoiminto sisältää samat taajuudet kuin signaali.
Amplitudit eivät ole identtiset, mutta ne saadaan neliöittämällä ja jakamalla 2: lla.
Vaiheet ovat kadonneet kokonaan: autokovarianteisuus vastaa alkuperäisen signaalin lisäksi myös kaikkia samoja komponentteja sisältäviä signaaleja.

Spektritiheys

Voimme päätellä edellä esitetystä:

Autokovarianttitoiminnolla on Fourier-muunnos, jota kutsumme spektritiheydeksi ja jota yleensä merkitsemme , f on taajuus. ${\ displaystyle S_ {x} (f)}$
Koska autokovarianttikomponentit ovat homogeenisia amplitudineliöille, spektritiheys ei ole negatiivinen. Sen ulottuvuus (fyysinen yksikkö) on 2 / Hertz.
Autokovarianttia on todellinen ja tasainen toiminto, ja sen Fourier-muunnoksella on samat ominaisuudet.
Tallenne, joka katkaisee aina signaalin, jonka oletetaan olevan ylläpitämätön äärettömän ajan, konvoluutio vääristää väistämättä spektritiheyttä.

Suhde satunnaisiin prosesseihin

Siirtymäsignaalien jo havaitun taajuussisällön vääristymisen lisäksi on olemassa tilastollinen epävarmuus signaalin tallenteen sijaintiin.

Autokovarianttitoiminto vastaa koko signaaliperhettä, joka sisältää samat komponentit. Tämän perheen voidaan tulkita jatkuvan prosessin saavutukseksi . Määräaikaisen tallennuksen voidaan nähdä myös toisen prosessin suorituksena. Tämä antaa mahdollisuuden määrittää luotettavuusvälillä suoritetun analyysin tilastollinen arvo.

Katso myös

Bibliografia

(en) YK Lin , rakennedynamiikan todennäköisyysteoria , New York, Robert E.Krieger Publishing Company,Heinäkuu 1976, 368 Sivumäärä ( ISBN 0-88275-377-0 )

Aiheeseen liittyvät artikkelit