In signaalinkäsittely , joka on siirtofunktio on matemaattinen malli suhde tulon ja lähdön, joka lineaarinen järjestelmä , useimmiten muuttumaton . Sitä käytetään erityisesti viestinnässä teoriassa, automaatio- , ja kaikissa insinööritieteiden joissa kehotetaan tässä lajissa ( elektroniikka , mekaniikka , mekatroniikka , jne ). Yllä olevilla sisään- ja ulostulosignaaleilla voi olla useita komponentteja, jolloin usein määritetään (ilman velvoitetta), että siirtofunktio on siirtomatriisi. Toisaalta nämä signaalit voivat riippua vain ajasta (tämä on klassisin tapaus), avaruusmuuttujista tai molemmista: tämä pätee moniulotteisiin järjestelmiin ); jotkut kirjoittajat mallintaa tällä tavalla osittaisten differentiaaliyhtälöiden määrittelemiä järjestelmiä. Kuvankäsittelyn alalla tulo- ja lähtösignaalit ovat avaruusmuuttujien toimintoja, joita pidetään useimmiten erillisinä muuttujina ja jotka sitten indeksoidaan perheiksi (tai sekvensseiksi). Järjestelmän siirtofunktio mahdollistaa taajuusanalyysin suorittamisen esimerkiksi säätimen suunnittelemiseksi myöhemmin taajuusalueelle (katso Automaattinen artikkeli ). Lineaarisen järjestelmän syöttö ei välttämättä ole komentomuuttuja, ja sen poistuminen ei ole aina muuttuja, jonka käyttäytymistä halutaan hallita; esimerkiksi värillinen kohina voidaan mallintaa sellaisen lineaarisen järjestelmän ulostulona, jonka syötteeksi on valkoinen kohina ja jonka siirtofunktio määritetään suoran ja käänteisen kausaalisen spektrifaktorointimenetelmän avulla.
Edellä mainittu suhde järjestelmän tulon u ja lähdön y välillä on konvoluutiooperaattori, jonka ydin on järjestelmän impulssivaste . Lukuun ottamatta vakaan tai marginaalisesti vakaan järjestelmän tapausta, tämä ei ole karkaistua jakaumaa (jatkuvien muuttujien tapauksessa) tai hitaasti kasvavaa sekvenssiä (erillisten muuttujien tapauksessa), eikä se siten myönnä Fourier-muunnosta. Siksi on tarpeen ottaa huomioon Laplace- tai Z-muunnos sen mukaan, ovatko muuttujat jatkuvia vai erillisiä. Tätä muunnosta kutsutaan järjestelmän siirtofunktioksi . Tämä edustaa järjestelmää vain osittain, koska siinä ei oteta huomioon alkuehtoja (tai rajaehtoja). Tarkemmin sanottuna se saadaan olettaen, että nämä lähtöolosuhteet (tai rajoilla) ovat nollia. Tämä johtaa tiedon menetykseen, mikä tarkoittaa, että siirtofunktio edustaa vain järjestelmän hallittavaa ja havaittavaa osaa. Siitä huolimatta on erittäin tärkeää analysoida tämän järjestelmän ominaisuuksia, ja historiallisesti juuri tämä esitys ilmestyi ensin (katso Automaattisen ohjauksen historia ). On tärkeää ymmärtää siirtofunktioiden formalismin tarjoamat mahdollisuudet ja sen rajat.
Siirtofunktion käsite on pitkään määritelty vain invarianttisille lineaarisille järjestelmille . Luonnollisesti herätti kysymys, voidaanko tämä käsite laajentaa koskemaan lineaarisia järjestelmiä, joilla on vaihtelevat kertoimet. Vasta äskettäin algebrallisella menetelmällä tämä laajennus on saavutettu konkreettisilla käytännön seurauksilla.
Harkitse yhtälöjärjestelmää:
missä u ja y ovat vastaavasti tulo ja lähtö ja missä D (∂) ja N (∂) ovat polynomeja, joiden todelliset kertoimet ovat ∂ =dd tasteen n ja m , vastaavasti. Joukko Näiden polynomeja on euklidinen , ja sen vuoksi pääasiallinen , rengas huomattava .
Polynomin D (∂) oletetaan olevan nollasta poikkeava. Oletetaan, että u ja y ovat ”yleistää toimintoja myönteistä tukea” myöntäen Laplace-muunnoksia merkitty vastaavasti ja .
Oletetaan, että alkuehdot y (0 - )…, y n –1 (0 - ), u (0 - )…, u m –1 (0 - ) ovat nollia . Vaikka edellä differentiaaliyhtälön kertoo, Laplace-muunnos , .
Siksi :
missä G ( p ) on järkevä murtoluku N ( p )D ( p ). Tätä järkevää murto-osaa kutsutaan järjestelmän siirtofunktioksi .
Ohjaamattomat navatTähän järkevään osaan liittyvä päättely on tehtävä sen pelkistämättömän esityksen suhteen N ' ( p )D ' ( p )missä N ' ( p ) =N ( p )P ( p ), D ' ( p ) =D ( p )P ( p ), P ( p ) merkitsee N ( p ): n ja D ( p ): n gcd: tä .
Tarkasteltava järjestelmä on aina havaittavissa, ja se on hallittavissa (tai vakautettavissa) vain ja vain, jos P ( p ) on renkaan yksikkö , toisin sanoen nollasta poikkeava todellinen (tai Hurwitzin polynomi ). Juuret kompleksitasossa polynomin P ( p ) ovat ei-ohjattavia navat järjestelmän
Siirtofunktion asteRationaalisen murtoluvun aste G =EID.määritetään seuraavasti: d ° ( G ) = d ° ( N ) - d ° ( D ) . Tehdään N (∂) : n euklidinen jako D: llä (∂) . Se tulee N (∂) = D (∂) Q (∂) + R (∂), jossa Q (∂) on osamäärä ja R (∂) loppuosa siten, että d ° ( R ) < d ° ( D ) . Asettamalla z = y - Q (∂) u , anna uudelleen
saamme
Oletetaan, että u on paloittain jatkuva funktio, jolla on epäjatkuvuus alkuperässä. Tällöin z on jatkuva toiminto. For y kolme mahdollista vaihtoehtoa:
Tapaus (3) ei koskaan esiinny käytännössä, koska epäjatkuva merkintä tuhoaisi järjestelmän. Tapaus (2) on poikkeuksellinen: se vastaa järjestelmää "ilman hitautta". Säätimellä voi kuitenkin olla kaksispesifinen siirtofunktio (yksinkertaisin tapa on suhteellisen säätimen tapa).
Oletamme seuraavassa, että olemme tapaus (1) tai (2).
Lähetyssauvat ja nollat - vakausJärjestelmän lähetyksen napoja (tai nollia ) kutsutaan siirtofunktion G ( p ) napeiksi (tai vastaavasti nolliksi ) , nimittäin D ' ( p ): n (vastaavasti N' ( p ) ) juuriksi .
Järjestelmä on EBSB-vakaa , ja vain, jos kaikki sen siirtonavat kuuluvat vasempaan puolitasoon (josta yleisesti kuvitteellinen akseli on suljettu pois). Se on eksponentiaalisesti vakaa, ja vain, jos polynomi D (∂) on Hurwitz . Edellä esitetyn perusteella järjestelmä on eksponentiaalisesti vakaa vain ja vain, jos se on vakaa ja stabiloitava EBSB . (Ei voida korostaa tarpeeksi, että tämä on totta vain siksi, että tarkasteltu järjestelmä on havaittavissa, ja sen ainoat mahdolliset piilotetut moodit ovat sen sen hallitsematon napa.)
Järjestelmän sanotaan olevan vaiheminimissä, jos kaikki sen navat ja siirtonollat kuuluvat vasemmalle puolitasolle.
TaajuusvasteEdellä tarkasteltu järjestelmän taajuusvaste on toiminto . Se on määritelty komplementti on jossa on joukko (mahdollisesti tyhjä) lähetyksen navat sijaitsevat kuvitellun akselin. Analyyttisen laajennuksen periaate osoittaa, että taajuusvaste määrittää täysin siirtofunktion.
Taajuusvasteen tulkinta on seuraava: oletetaan, että järjestelmän tulo on sinimuotoinen, pulssi ω (tämä pulssi ei kuulu yllä olevaan joukkoon ). Se on kätevä, matemaattinen tasossa, kirjoittaa tämä tulosignaalin u monimutkainen muodossa , . Sitten osoitamme heti, että lähtö on (monimutkaisessa muodossa) y ( t ) = G (i ω ) u ( t ) . Konkreettisesti todellinen sisään- ja uloskäynti (sanan jokaisessa merkityksessä) on tietysti todellinen osa yllä olevan monimutkaisen sisään- ja uloskäynnin.
Jos kuvitteellinen akseli kuuluu siirtofunktion konvergenssikaistaan ( impulssivasteen kahdenvälisenä Laplace-muunnoksena ), taajuusvaste ei ole mikään muu kuin impulssivasteen Fourier-muunnos. Siksi tietyissä tekniikan tieteissä, joissa tarkastellut järjestelmät ovat aina vakaita, siirtofunktio määritellään olevan tämä Fourier-muunnos. Tämä on kielen väärinkäyttö, joka ei johda hämmennykseen.
Diskreettien aikajärjestelmien tapauksessa formalismi on hyvin samanlainen kuin yllä kehitelty, ja siinä on joitain eroja
(3) Lähtöolosuhteet ovat nyt y (0), ..., y ( n - 1), u (0), ..., u ( m - 1) . Olettaen niiden olevan nolla, ja symboloi mukaan U ( z ) ja Y ( z ) toispuolinen muunnokset Z sekvenssien u ja y vastaavasti, saadaan (katso ominaisuudet muunnoksen Z )
missä G ( z ) on siirtofunktio N ( z )D ( z ).
Syy-yhteysJärjestelmä on ehdottomasti kausaalinen vain ja vain, jos sen siirtofunktio on ehdottomasti oikea rationaalinen murtoluku (ts. D ° ( G ) <0 ). Tämä tarkoittaa, että tietyn hetken k tulokseen (jota pidetään nykyisenä hetkenä) ei vaikuta merkinnän tulevaisuus eikä edes jälkimmäisen arvo hetkellä k .
Järjestelmä on syy-yhteys vain ja vain, jos sen siirtofunktio on oikea. Tämä tarkoittaa sitä, että sisäänkäynnin tulevaisuus ei vaikuta milloin tahansa poistumiseen.
Lopuksi, järjestelmä ei ole kausaalinen vain ja vain, jos sen siirtofunktio on väärä. Tiettyyn aikaan poistumiseen vaikuttaa tällöin tulevaisuuden tulo. Tämä on tietenkin mahdotonta, kun menneisyydellä, nykyisyydellä, tulevaisuudella on tavanomaiset merkitykset. Siitä huolimatta on mahdollista saavuttaa esimerkiksi viivästetty signaalinkäsittely käyttämällä ei-kausaalisia digitaalisia suodattimia .
VakausSiirtofunktion G ( z ) erillinen aikasysteemi on EBSB-vakaa vain ja vain, jos sen lähetysnapat eli G ( z ): n navat sijaitsevat kaikki ympyräyksikön sisällä.
Tiedämme, että suhde Laplace-muuttujan p ja Z : n muunnoksen muuttujan z välillä on (katso Laplace-muunnos ) z = e pT, jossa T on näytteenottojakso. Joten meillä on | z | <1 (tai | Z | = 1 ), ja vain, jos (vastaavasti ). Tässä erillisten aikajärjestelmien vakavuusolosuhteiden ei pitäisi siis olla yllättäviä, kun tiedämme yllä mainittujen jatkuvien aikajärjestelmien osalta.
TaajuusvasteAsettamalla p = i co välisessä suhteessa Laplace muuttuja p ja muuttuja z , saadaan z = e i wt = e i θ kanssa θ = wt . Tämä selittää, miksi erillisen aikajärjestelmän taajuusvaste siirtofunktiolla G ( z ) on toiminto . Tämä funktio, joka on määritelty kaikille θ: lle siten, että e i θ ei ole G ( z ): n napa , on jaksollinen jakson 2π kanssa , ja koska θ: n vaihtelut voidaan rajoittaa väliin [0, π [ . Muuttujaa kutsutaan normalisoiduksi sykkeeksi . Jos järjestelmän tulo on sinimuotoinen, normalisoidun pulssin θ (missä e i θ ei ole G ( z ) napa ), nimittäin (monimutkaisessa muodossa) u ( k ) = A e i kθ , lähtö on ( monimutkaisessa muodossa) y ( k ) = G (e i θ ) u ( k ) .
Diskretisoidun järjestelmän siirtotoimintoOn automaattinen tila , useimmissa tapauksissa, diskreetti aika järjestelmä S d tuloksia diskretisointitasolla, näytteistysajanjaksona T , jatkuvan ajan järjestelmä S c , jossa siirtofunktio G ( s ) . Järjestelmän S c ulostulosta y otetaan näytteet jaksolla T , ja tulos on näytteistetty signaali y * = y ϖ T, jossa ϖ T on " Dirac-kampa ".
Tämä signaali y * , joka on vain matemaattinen esitys, sisältää itse asiassa tiedoksi vain y : n arvot näytteenottohetkillä, koska
Asettamalla y d ( k ) = y ( kT ) , diskreetti signaali y d (joka on sekvenssi) on lähtö järjestelmän S d että pyrimme luonnehtia. Tietokone käsittelee tämän erillisen informaation esimerkiksi erillisen ohjaussignaalin u d muodostamiseksi . Tämä signaali u d on käytävä interpolointi, jotta ne voidaan muuntaa jatkuva-aikainen signaali, joka voi toimia järjestelmän S c . Reaaliajassa toimivan silmukoidun järjestelmän saamiseksi tämän interpoloinnin on oltava syy-yhteys , toisin kuin Shannon-interpolointi ( Shannon-Nyquist-lauseen mukaan ). Siksi jatketaan estämällä erillinen signaali u d jokaisella näytteenottojaksolla. Yksinkertaisin esto on nolla tilaa se. Näytteistetty-estetty signaali (nolla-kertalukituksen kanssa) määritetään
.Sen vuoksi on tämä signaali u b 0 (joka on itse asiassa jatkuva aikaa, mutta joka toisaalta on epäjatkuva ajan funktiona, koska se on porrastettu), joka tulee järjestelmään S c .
Suhde u d ja y d on lineaarinen ja paikallaan. Siksi se hyväksyy siirtofunktion z: ssä , jota merkitään G d ( z ) , joka ottaa huomioon nollatason eston. Osoitamme helposti, että sen antaa
missä ja merkitsevät vastaavasti Laplace- muunnosta ja Z-muunnosta .
Seuraava kehitys tehdään jatkuville aikajärjestelmille. Ne on ilmeisesti siirretty erillisiin aikajärjestelmiin. Tarkastellaan jatkuvaa monivaihtojärjestelmää, jossa on m tuloa u 1 , ..., u m ja q lähtöä y 1 , ..., y q . Olkoon u (vastaavasti Y ) sarake, joka muodostuu u j: sta (vastaavasti Y i ) ja (tai ) u: n (vastaavasti Y ) yksipuolisesta Laplace- muunnoksesta . Nolla lähtöolosuhteen kanssa on suhde
missä G ( p ) on rationaalisten murtolukujen matriisi ja tarkemmin elementti missä tarkoittaa p: n rationaalisten murtolukujen kenttää todellisilla kertoimilla, nimittäin p : n polynomirenkaan murto-osaa . Tämä matriisi G ( p ) on järjestelmän siirtomatriisi .
Tämän siirtomatriisin sanotaan olevan puhdas (tai tiukasti puhdas ), jos kaikki sen elementit ovat, ja muuten virheellinen .
Olkoon δ ( p ) ≠ 0 matriisin kaikkien elementtien pienin yhteinen nimittäjä . Matriisi N ( p ) = δ ( p ) G ( p ) kuuluu siksi , ja koska rengas on pää, invariantti tekijälause osoittaa, että on olemassa matriiseja P ( p ) ja Q ( p ) , jotka ovat muuttumattomia , siten, että Σ ( p ) = P ( s ) N ( s ) Q -1 ( p ) on Smith muoto on N ( s ) . Tämä matriisi Σ ( p ) on muodoltaan
jossa on sijoitus on (siten myös G ( s ) on ), ja jossa ( α i ( s )) 1 ≤ i ≤ r ovat ei-nolla-elementit täyttävät jaollisuusrelaatio . Nämä elementit a i ( p ) ovat muuttumattomia tekijöitä on N ( p ) ja määritetään yksilöllisesti jopa kertominen yksikköä (eli käännettävissä-osia) (katso artikkeli tekijä lause invariants ). Joten meillä on
tai
.Meillä on vihdoin
missä rationaaliset murtoluvut n i ( p )d i ( p )ovat pelkistämättömiä. Meillä on jaettavuuden ja . Elementit n i ja d i varten 1 ≤ i ≤ r täytä näitä ehtoja, ovat yksilöllisesti määritetään G ( s ) saakka kertolaskun yksikköinä , siis matriisin järkevä fraktiot on kanoninen ja sitä kutsutaan Smith-MacMillan muoto on G- ( p ) . On huomattava, että se, että G ( p ) on oikea siirtomatriisi (tai tiukasti oikea), ei tarkoita, että rationaaliset jakeetn i ( p )d i ( p ) olla.
Lähetyksen navat (vast. Nollien) järjestelmän, jossa on siirtoa varten matriisi G ( s ) ovat juuret polynomit d i ( p ) (vast. N- i ( s ) ) edellä. Jos p 0 on juuri järjestys v i on d i ( p ) ja 1 ≤ i ≤ p , me määrittää, että napa p 0 on rakenteellisia indeksit { v 1 , ..., v p } . Tämä määritelmä pätee nolliin soveltuvin osin .
Harkitse esimerkiksi siirtomatriisia
Yllä olevilla merkinnöillä meillä on 5 ( p ) = ( p +1) 2 ( p +2) 2 ja
Inversiivisen tekijän lauseessa käytettyjen rivien ja sarakkeiden perustoiminnot antavat N ( p ): lle muodon Smith
ja siten G: n ( p ) Smith-MacMillan-muoto on
Siirtonavat ovat siis -1 ja -2, ja niillä molemmilla on ainoa rakenteellinen indeksi 2. Ainoa lähetysnolla on -2 ainoan rakenteellisen indeksin 1 kanssa. Tässä esimerkissä huomataan, että sama kompleksiluku (tässä tapauksessa -2) voi olla sekä siirtopylväs että siirtonolla, mikä on tietysti mahdotonta monivaihtelevien järjestelmien tapauksessa.
Olkoon G ( p ) (tai G ( z ) ) jatkuvan ajan (tai diskreetin ajan) järjestelmän siirtomatriisi ja oletetaan, että tämä siirtomatriisi on oikea. Tällöin tarkasteltava järjestelmä on EBSB-vakaa , ja vain, jos sen siirtonavat sijaitsevat kaikki vasemmalla puolitasolla (eli yksikköympyrän sisällä).
Lähetysnollien helpompaa tulkintaa varten oletetaan, että m = q = r (tapaus, johon voimme myös aina pienentää). Tällöin kompleksiluku λ on lähetysnolla, ja vain, jos nollan alkuolosuhteissa on muodon (tai vastaavan ) nollasta poikkeava tulo u , samoin kuin ei-nolla lineaarinen muoto , kuten lineaarinen yhdistelmä on identtisesti nolla.
Käsitteen äärettömän ulottuvuuden järjestelmästä voidaan määritellä vain negaatiolla: kyseessä on järjestelmä, joka ei ole äärellinen. Siksi näiden järjestelmien moninaisuus on valtava. Kyseessä oleva "ulottuvuus" on tilatilan ulottuvuus, ja se, että se on ääretön, johtaa siihen, että siirtofunktio on irrationaalinen. Tässä ei ole kysymys tyhjentävyydestä, ja seuraava lyhyt esitys rajoittuu lineaaristen järjestelmien tapaukseen, jatkuvalla ajalla ja samankaltaisilla viiveillä (hajautettuna tai ei).
Tarkastellaan ensin lomakkeen järjestelmää
missä a ij ja b ij ovat todellisia kertoimia ( a ij eivät kaikki ole nollia) ja missä τ > 0 on viive. Kysymällä
järjestelmän siirtofunktio kirjoitetaan G ( p ) =N ( p )D ( p )jossa N ( p ) = b ( p , e - τp ) ja D ( p ) = a ( p , e - τp ) . Tämä siirtofunktio kuuluu siis renkaan murto-osiin , jonka rengas on isomorfinen . Tämä rengas on tosiasiallinen Gaussin aiheuttaman lauseen mukaan (katso polynomien renkaat ), joten a ( s , z ) ja b ( s , z ) ovat gcd c ( s , z ) . Elementit a ' ( s , z ) = a ( s , z ) / c ( s , z ) ja b' ( s , z ) = b ( s , z ) / c ( s , z ) ovat siis ensisijaisia keskenään sisään , ja meillä on G ( p ) =N ' ( p )D ' ( p )jossa N ' ( p ) = b' ( p , e - τp ) ja D ' ( p ) = a' ( p , e - τp ) .
Järjestelmän siirtonavat (tai nollat) määritellään nollina D ' ( p ) (tai N' ( p ) ) kompleksitasossa .
olettaa, että
.Tällöin järjestelmä on vakaa EBSB, jos on olemassa todellinen ε > 0 siten, että sen lähetysnapoilla (joita on yleensä ääretön määrä) on kaikilla todellinen osa pienempi kuin –ε .
Tämä järjestelmä on havaittavissa. Koska rengas ei ole Bezout-rengas , hallittavuutta on erilaisia. Lopuksi, yllä olevaa analyysiä ei voida yleistää monimuuttujajärjestelmien tapauksessa. Siksi on välttämätöntä siirtyä käyttörenkaaseen, mikä johtaa hajautettujen viivejärjestelmien harkintaan.
Viivästykset jaettuHarkita esimerkiksi hajautetun viive operaattorin määrittämä
Sen siirtofunktio on sellainen, että missä elementti merkitsee kokonaisfunktioiden rengasta kompleksitasossa. Näin määritelty rengas soveltuu erittäin hyvin hajautettujen samankaltaisten viivejärjestelmien tutkimiseen. Vaikka se ei ole tärkein, se on itse asiassa rengas, jossa on alkeisjakajat . Siksi tämän renkaan elementtimatriisi hyväksyy Smith-muodon ja tämän renkaan murto-osassa oleva elementtimatriisi hyväksyy Smith-MacMillan-muodon. Tälle renkaalle määriteltyjen järjestelmien teoria on siten melko samanlainen (algebrallisesti) kuin differentiaalisten operaattoreiden klassisella renkaalla määriteltyjen järjestelmien teoria . Napojen ja lähetysnollien lukumäärä on kuitenkin tällä kertaa yleensä rajaton.
Olettaen, että elementit G ij ( p ) siirron matriisin G ( s ) ovat kaikki sellaisia, että
järjestelmä on vakaa EBSB, jos todellinen ε > 0 on sellainen, että lähetysnapojen (yleensä rajattomasti) kaikilla todellinen osa on pienempi kuin –ε .
Anna K ero alalla tavallista johtaminen (esim. Renkaan kompleksi järkevä fraktiot), ja anna D = K [ ∂ ] kanssa rengasta vasemman polynomi on ∂ kanssa kertoimet K . Jos on muuttuja, meillä on Leibnizin säännön mukaan , ja koska tämä on totta riippumatta f : stä D: ssä, kommutointisääntö
Rengas D , jonka mukana on tämä sääntö, on ei-kommutatiivinen ja yksinkertainen päärengas. Lisäksi se on malmirengas, joka sallii murtolohkon F vasemmalla ja oikealla puolella. Kukin elementti F muodoltaan -1 b = b ' A' -1 , jossa , A ' b , b' kuuluvat D ja , A ' ovat nollasta poikkeavia.
Kohteesta algebrallinen näkökulmasta, joka on ero järjestelmä lineaarinen kerroin K on yksikkö viimeistelyn on D . Sarake u on m elementtien u i in voidaan valita syöttää järjestelmään, jos D -moduulista [ u ] D tuottama u i on vapaa sijoitus m ja siten, että osamäärä M / [ u ] D on vääntöä. Merkitään sitten järjestelmän lähtöä edustava sarake elementtejä .
Harkitse Laplace-funktoria :
Edellä mainitut määrät on selvää, että kanonista kuvat in muodostavat perusteella F -vektorisysteemi tilaa . Näin ollen, toteamalla kanoninen kuvia on , on olemassa ainutlaatuinen matriisi G ∈ F q x m siten, että
Tämä matriisi G on järjestelmän siirtomatriisi vaihtelevilla kertoimilla.
Diskreettiaikaisten järjestelmien tapausta voidaan käsitellä seuraavasti: tällä kertaa tarkastelemme ennakko-operaattorin toimittamaa erokenttää . Olkoon määrittelemättömän q (etukäteisoperaattori, joka on jatke ) vasemman Laurent-polynomin rengas kommutointilakilla . Tämä rengas D on, kuten aikaisemmin, ei-kommutatiivinen ja yksinkertainen päärengas (tämä viimeinen ominaisuus antaa D: lle edun vasemman polynomin renkaaseen nähden , joka on pääasiallinen mutta ei yksinkertainen) ja F myöntää kentän murtolukuille F vasemmalle ja oikein. Lineaarinen diskreettiaikajärjestelmä, joka tunnistetaan moduulityypillä D: n yli . Edellisen kappaleen rakenne voidaan sitten toistaa Z : ksi muunnetun funktorin ansiosta :