Rengas sarjaa on ei-tyhjä luokan osien joukko X täyttävän kaksi vakauden ominaisuuksia. Käsite, hyvin lähellä, että on joukko algebran , käytetään Mittateoria alustaa rakenteita klassisen toimenpiteitä, jotka sitten laajennetaan koskemaan heimo syntyy , jonka rengas. Ne nähdään osina X: n kaikkien osien Boolen rengasta (pidetään pseudorenkaana ), ne ovat sen alirenkaita (eivät välttämättä yhtenäisiä).
Määritelmä - rengas sarjaa on joukko osien joukko , joka täyttää:
Suurin osa lähteistä vaatii myös, että se ei ole tyhjä; tätä lisäoletusta ei käytetä missään tässä artikkelissa.
Antaa olla rengas sarjaa. Joten:
Mikä tahansa joukkoalgebra on joukkojoukko (voimme todellakin kirjoittaa , missä merkitsemme osan täydennystä ). Toisaalta on joukkojoukkoja, jotka eivät ole joukkoalgebroita, yksinkertaisin esimerkki on .
Asetettu rengas on asetettu algebra vain ja vain, jos se kuuluu renkaaseen.
On yleistys rakentamisen Lebesguen mitta syntetisoidun mukaan Carathéodory laajennus lause , joka on toimenpide, on rakennettu σ-algebran suhteellisen hienostunut laajennus prosessi, mutta ensimmäinen vaihe, joka on varsin yksinkertainen: rakentaa ensin arvot mitattu rengaselementtien elementit . Rakenne voi on aloitettu on semi-rengas asetetaan , joka muodostaa itse (kuten rengas sarjaa).
Todellisella viivalla tehdyn Lebesgue-mittauksen esimerkissä rakenteen aloittava puolirengas voi olla joukko rajattuja aikavälejä , ja rengas on sitten joukko rajallisten aikavälien rajallisia yhdistyksiä.
Tästä rakenteesta on muunnelmia, jotka sisältävät muunnelmia σ-algebran käsitteestä : tässä perspektiivissä kutsumme σ-rengasta stabiiliksi renkaaksi laskettavan liiton avulla ja δ-rengasta vakaana renkaana laskettavalla leikkauspisteellä.
Voimme antaa asetettujen renkaiden määritelmän vaihtoehtoisessa muodossa:
Vastaava määritelmä - joukko osien joukko on rengas asetetaan, kun:
Edellä esitetyt huomautukset ovat osoittaneet, että alkuperäinen määritelmä johti tähän karakterisointiin. Päinvastoin, jos se tyydyttää kolme edeltävää hypoteesia, se on vakaa joukkoeron (vuodesta ) ja liiton (koska ) jälkeen ja on siten joukko.
Palautetaan mieleen, että joukon kaikkien osien Boolen algebra on varustettu Boolen rengasrakenteella , summauksen ollessa symmetrinen ero (neutraali ) ja kertolasku (neutraalin ) leikkauspiste . Tämän rakenteen osalta osien renkaat ovat siten lisäaineen alaryhmiä, jotka ovat vakaita kertomalla: ne ovat siis näennäisrenkaan rakenteen alarakenteita . Mitä tulee osien algebroihin, ne ovat omalta osaltaan lisäaineiden alaryhmät, jotka ovat vakaita kertolaskujen suhteen ja sisältävät tämän neutraalin: ne ovat siis yhtenäisen rengasrakenteen alarakenteita .