Sarjan osien algebra

Risteyksen ominaisuudet ovat samanlaiset kuin liitoksen. Sanomme, että ne ovat kaksinkertaisia ​​näistä, koska saamme ne korvaamalla liiton merkki leikkauksen merkillä ja tarvittaessa vaihtamalla ∅ ja U , sisällyttäminen ja sen vastavuoroisuus. Kaikille osajoukot , B , C ja U meillä on seuraavat ominaisuudet:

• (assosiatiivisuus): useiden joukkojen leikkauksen tulos ei riipu toimintojen järjestyksestä:

(AT∩B)∩VS=AT∩(B∩VS){\ displaystyle (A \ cap B) \ cap C = A \ cap (B \ cap C)}

• (kommutatiivisuus): kahden joukon leikkauspiste ei riipu näiden kahden joukon ottamisjärjestyksestä

AT∩B=B∩AT{\ displaystyle A \ cap B = B \ cap A}

• (idempotenssi): minkä tahansa joukon leikkaus itsensä kanssa antaa tämän joukon

AT∩AT=AT{\ displaystyle A \ korkki A = A}

• (Ø absorboiva): tyhjän joukon ja minkä tahansa joukon leikkauspiste on tyhjä

AT∩∅=∅{\ displaystyle A \ korkki \ lakkaus = \ lakkaus}

• U on neutraali: U ∩ = .

Joukko A ∩ B on kahden ryhmän A ja B sisällyttämisen alaraja , ts. Se sisältyy A: han ja B : hen ja että se sisältää minkä tahansa joukon, joka sisältyy samanaikaisesti A  : han ja B : hen :

• A ∩ B ⊂ A ,   A ∩ B ⊂ B   ja ∀ C [( C ⊂ A ja C ⊂ B ) ⇒ C ⊂ A ∩ B ].

Tämän avulla inkluusio voidaan määrittää tällä kertaa risteyksestä:

Jakelukyky

Kaksi yhdistämisen ja leikkauksen operaatiota ovat jakautuvia toistensa suhteen, toisin sanoen meillä on seuraavat kaksi ominaisuutta kaikille ryhmille A , B , C  :

• (leikkauspisteen jakauma suhteessa unioniin: kahden joukon liitoksen leikkauspiste kolmannen joukon kanssa on yhtä suuri kuin kahden ensimmäisen joukon ja kolmannen leikkauspisteen liitto:

AT∩(B∪VS)=(AT∩B)∪(AT∩VS){\ displaystyle A \ korkki (B \ cup C) = (A \ cap B) \ cup (A \ cap C)}

• (liiton jakautuvuus leikkauspisteeseen nähden): Kahden joukon ja kolmannen joukon leikkauspisteiden liitos on yhtä suuri kuin kahden ensimmäisen joukon liitoksen leikkauspiste kolmannen kanssa:

AT∪(B∩VS)=(AT∪B)∩(AT∪VS){\ displaystyle A \ kuppi (B \ korkki C) = (A \ kuppi B) \ korkki (A \ kuppi C)}

Ensimmäisen tasa-arvon kummallakin puolella on joukko ja haluamme osoittaa, että nämä joukot ovat yhtä suuret, eli osoittaa, että mikä tahansa elementti kuuluu ensimmäiseen vain ja vain, jos se kuuluu toiseen. Huomaa vastaavasti , b , c ehdotuksia , , . Mukaan distributivity on suhteessa (jonka voimme todentaa totuustaulukkoon ) olemme x{\ displaystyle x}x∈AT{\ displaystyle x \ in A}x∈B{\ displaystyle x \ in B}x∈VS{\ displaystyle x \ sisään C}∧{\ displaystyle \ maa}∨{\ displaystyle \ lor}

klo∧(b∨vs.)⇔(klo∧b)∨(klo∧vs.){\ displaystyle a \ land (b \ lor c) \ Leftightarrow (a \ land b) \ lor (a \ land c)}

mikä heijastaa tarkalleen haluttua vastaavuutta:

x∈[AT∩(B∪VS)]⇔x∈[(AT∩B)∪(AT∩VS)] .{\ displaystyle x \ sisään [A \ korkki (B \ kuppi C)] \ Vasen nuoli x \ sisään [(A \ korkki B) \ kuppi (A \ korkki C)] ~.}

Toisen tasa-arvon osoittaminen on identtinen vaihtamalla ja . ∧{\ displaystyle \ maa}∨{\ displaystyle \ lor}

Kokous ja risteys: yleinen tapaus

Yhdistyminen on mahdollista yleistää rajalliseksi joukoksi joukkoa: palataan kahden sarjan tapaukseen peräkkäisellä binäärisellä yhdistämisellä ja yhdistämisen assosiatiivisuus varmistaa, että järjestyksellä ei ole merkitystä. Samoin risteyksessä.

Mutta on myös mahdollista yleistää nämä operointia ei välttämättä äärellinen perhe sarjaa.

Liitto on perheen sarjojen määritellään seuraavasti: (Ei)i∈Minä{\ displaystyle (E_ {i}) _ {i \ I}}

⋃i∈MinäEi={x∈U∣∃ i∈Minäx∈Ei}{\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} E_ {i} = \ left \ {x \ in \ mathrm {U} \ mid \ olemassa \ i \ in I \ quad x \ in E_ {i} \, \ oikea \}}

Tämä määritelmä ei riipu U: sta . Tyhjän perheen yhdistäminen on tyhjä kokonaisuus.

Risteyksessä perheen sarjojen määritellään seuraavasti: (Ei)i∈Minä{\ displaystyle (E_ {i}) _ {i \ I}}

⋂i∈MinäEi={x∈U∣∀i∈Minäx∈Ei}{\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} E_ {i} = \ left \ {x \ in \ mathrm {U} \ mid \ forall i \ in I \ quad x \ in E_ {i} \ right \} }

Yllä oleva määritelmä ei riipu joukosta U paitsi silloin, kun perhe on tyhjä. jälkimmäisessä tapauksessa tyhjän perheen leikkauspiste on määritelmän mukaan vertailuryhmä U , joka pysyy yhteensopivana leikkauksen ominaisuuksien kanssa. Emme voi määritellä "absoluuttisesti" (ilman viitesarjaa) tyhjän perheen leikkausta.

Jotkut jälleennäkemisen ja binäärisen leikkauksen ominaisuuksista yleistyvät loputtomaan tapaukseen. Nyt kyseessä ovat predikaattien (eikä enää pelkän proposition) laskennan ominaisuudet.

• perheen risteys ja yhdistyminen riippuvat vain koko perhekuvasta, joka yleistää assosiatiivisuuden, kommutatiivisuuden ja idempotenssin ja seuraa suoraan määritelmästä;(Ei)i∈Minä{\ displaystyle (E_ {i}) _ {i \ I}}
• joukon ( E i ) i ∈ I leikkauspiste on joukon { E i | alaraja i ∈ I };
• joukon perhe ( E i ) i ∈ I on joukon { E i | yläraja i ∈ I };
• binaarinen leikkauspiste on jaettu mille tahansa liitokselle, samoin kuin minkä tahansa leikkauksen binäärinen liitos: AT∩⋃i∈MinäBi=⋃i∈Minä(AT∩Bi){\ displaystyle A \ cap \ bigcup _ {i \ in I} B_ {i} = \ bigcup _ {i \ in I} (A \ cap B_ {i})}   ;    ;AT∪⋂i∈MinäBi=⋂i∈Minä(AT∪Bi){\ displaystyle A \ cup \ bigcap _ {i \ in I} B_ {i} = \ bigcap _ {i \ in I} (A \ cup B_ {i})}
• Yleisemmin meillä on tasa-arvo (jossa osallisuus on välitöntä, mutta sisällyttämisessä käytetään valinnan aksiomia, jos se on ääretön) sekä kaksoisvertailu .⋂i∈Minä⋃j∈JiATi,j=⋃f∈(∏i∈MinäJi)⋂i∈MinäATi,f(i){\ displaystyle \ bigcap _ {i \ sisään I} {\ bigcup _ {j \ sisään J_ {i}} {A_ {i, j}}} = \ bigcup _ {f \ sisään \ vasen (\ prod _ {i \ sisään I} {J_ {i}} \ oikea)} {\ bigcap _ {i \ sisään I} {A_ {i, f (i)}}}}⊃{\ displaystyle \ supset}⊂{\ displaystyle \ osajoukko}Minä{\ displaystyle I}

Täydentävä

Viittaus joukko U annettu, täydentävät osajoukon ja U (eli suhteessa U ) on joukko elementtejä U , jotka eivät kuulu . Sitä merkitään U - A , A , A c tai jopa  : ∁AT{\ displaystyle \ täydennä A}

ATvs.={x∈U∣x∉AT}{\ displaystyle A ^ {\ mathrm {c}} = \ {x \ sisään \ mathrm {U} \ mid x \ notin A \}}

joka tarkoittaa

Komplementin riippuu joukko viite U . Sille on ominaista myös kaksi tasa-arvoa:

Lisäksi kanavan toiminta on surkastuttavassa eli ( c ) c = .

De Morganin lait

Vaihto komplementaariseen kääntää inkluusiosuhteen:

ja siksi se vaihtaa liitoksen ja leikkauspisteen, jotka ovat ylä- ja alaraja, nämä ovat De Morganin lakeja  :

Järjestetty rakenne, joka, kuten U : n osien joukko, joka on varustettu yhdistämisen ja leikkauksen binäärisillä operaatioilla, komplementille siirtymisen toiminnasta ja kahdesta erotetusta elementistä vérif ja U , täyttää näiden operaatioiden ominaisuudet, jotka on lueteltu 'nyt kutsutaan Boolen algebraksi .

Ero ja symmetrinen ero

Ero

Joukko ero on ja B merkitään "  \ B  " (lue "  miinus B  ") on joukko elementtejä , jotka eivät kuulu B , nimittäin:

AT∖B={x∈AT∣x∉B}{\ displaystyle A \ setminus B = \ {x \ sisällä A \ keskellä x \ notin B \}}

Ero ja B on U on määritelty komplementaarisesta ∩ B c , ja sen jälkeen ( ∩ B c ) c = c ∪ B .

Jos B sisältyy sitten \ B on myös kirjoitettu ”  A - B  ” (lue uudestaan ”  miinus B  ”), ja sitä kutsutaan täydentävää ja B vuonna (tai suhteessa ). Löydämme yllä olevan komplementaarisen käsitteen, joka on komplementaarinen suhteessa U  : han :

AT∖B=AT-B=∁ATB={x∈AT∣x∉B}{\ displaystyle A \ setminus B = AB = \ täydentää _ {A} B = \ {x \ sisään A \ keskellä x \ notin B \}}

Eron ominaisuudet

Meillä on :

x ∈ A \ B   vain ja vain, jos   x ∈ A ja x ∉ B x ∉ A \ B   vain ja vain, jos   x ∈ A ⇒ x ∈ B

ja niin :

\ B = ∅ jos ja vain jos   ⊂ B .

Eron ominaisuudet saadaan sen määritelmästä sekä leikkauspisteen ja komplementin liitoksen ominaisuuksista. Esimerkiksi ensimmäinen seuraava on risteyssarja, kun taas toinen käyttää De Morganin lakia ja risteyksen jakautuvuutta unionissa.

(AT∩B)∖VS=AT∩(B∖VS)=(AT∖VS)∩(B∖VS){\ displaystyle (A \ cap B) \ setminus C = A \ cap (B \ setminus C) = (A \ setminus C) \ cap (B \ setminus C)} AT∖(B∩VS)=(AT∖B)∪(AT∖VS){\ displaystyle A \ setminus (B \ cap C) = (A \ setminus B) \ cup (A \ setminus C)}.

Symmetrinen ero

Symmetrinen ero on ja B , merkitään ”  Δ B  ” (lue ”  delta B  ”) on joukko tekijöitä, jotka kuuluvat joko tai B , mutta ei molempia samanaikaisesti. Se on A ∪ B: n ja A ∩ B: n ero . Se voidaan kirjoittaa eri muodoissa:

ATΔB=(AT∪B)∖(AT∩B)=(AT∖B)∪(B∖AT)=(AT∩Bvs.)∪(B∩ATvs.){\ displaystyle A \, \ Delta \, B = (A \ cup B) \ setminus (A \ cap B) = (A \ setminus B) \ cup (B \ setminus A) = (A \ cap B ^ {\ mathrm {c}}) \ cup (B \ cap A ^ {\ mathrm {c}})}.

Meillä on :

x ∈ A Δ B   vain ja vain, jos joko x ∈ A tai x ∈ B (tai yksinoikeudella) x ∉ A Δ B   vain ja vain, jos   x ∈ A ⇔ x ∈ B

siten kahden joukon symmetrinen ero on tyhjä vain ja vain, jos nämä kaksi joukkoa ovat samat:

Δ B = ∅ jos ja vain jos   = B . Symmetrisen eron ominaisuudet

Joukko osien U varustettu symmetrinen ero toiminta on kommutatiivinen ryhmä , jossa on ∅ neutraalin elementti, ja jossa kukin osajoukko U on oma päinvastainen, toisin sanoen, että kaikki alle -sets , B , C ja U , meillä on:

• (assosiatiivisuus): kolmen sarjan symmetrinen ero ei riipu toimintojen järjestyksestä, sulkeita ei tarvita:

(ATΔB)ΔVS=ATΔ(BΔVS){\ displaystyle (A \, \ Delta \, B) \, \ Delta \, C = A \, \ Delta \, (B \, \ Delta \, C)} ja voimme kirjoittaa Δ B Δ C .

• (kommutatiivisuus): kahden joukon symmetrinen ero ei riipu näiden sarjojen ottamisjärjestyksestä:

ATΔB=BΔAT{\ displaystyle A \, \ Delta \, B = B \, \ Delta \, A}

• Ø on neutraali elementti: tyhjän ja toisen joukon symmetrinen ero antaa tälle joukolle:

ATΔ∅=AT{\ displaystyle A \, \ Delta \, \ varnothing = A}

• Jokainen osajoukko on oma vastakohta: minkä tahansa joukon symmetrinen ero itsensä kanssa antaa tyhjän joukon:

ATΔAT=∅{\ displaystyle A \, \ Delta \, A = \ lakkaus}

Yksi seuraus on säännöllisyys: jos Δ B = Δ C , sitten B = C .

U- osien joukko, symmetrisen eron lisäksi, leikkauspisteen kanssa, on yhtenäinen kommutatiivinen rengas , toisin sanoen että leikkauksen assosiatiivisuuden ja kommutatiivisuuden ominaisuuksien lisäksi U on neutraali elementti

• ∩: n jakauma suhteessa Δ: joukon leikkauspiste kahden muun joukon symmetrisen eron kanssa on yhtä suuri kuin ensimmäisen joukon symmetrinen ero kahden muun kanssa:

AT∩(BΔVS)=(AT∩B)Δ(AT∩VS){\ displaystyle A \ cap (B \, \ Delta \, C) = (A \ cap B) \, \ Delta \, (A \ cap C)}.

Symmetrinen ero, toisin kuin unioni, ei ole jakautuva leikkauspisteen suhteen.

Boolen algebrojen yleinen ominaisuus on, että symmetrisenä erona määritelty operaatio (liittymän kanssa leikkaus ja komplementin kulku) antaa mahdollisuuden määrittää rengasrakenne, jota joskus kutsutaan Boolen renkaaksi. Muut ominaisuudet, jotka ovat yhteisiä kaikille Boolen algebroille, vahvistetaan seuraavasti:

C = U Δ   ja siksi   c Δ = U .

tai ( A Δ B ) c = A c Δ B = A Δ B c .

Aksiomaattiset näkökohdat

Aksiomaattiselta näkökulmalta joukko- teoriassa kaikki edeltävä kehittyy ekstensionaliteetin (kahden joukon yhtäläisyyden) aksiomasta, joka takaa erityisesti käyttöön otettujen rakenteiden ja ymmärryksen aksioomien ainutlaatuisuuden , joka takaa niiden olemassaolon. , kaikki esitetyt joukot määritellään tietyn joukon U osajoukoksi .

Huomautuksia ja viitteitä

• Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu artikkelista "  Asennustoiminta  " (katso kirjoittajien luettelo ) .

1. (in) Robert L. Vaughtissa , Set Theory: An Introduction , Birkhauser ,2001, 2 nd  ed. ( 1 st  toim. 1985) ( lukea verkossa ) , s.  21.
2. Mutta tämä määritetyn eron merkintä voi johtaa sekaannukseen algebrallisen eron kanssa . Esimerkiksi: while .[0,1]∖[0,1]=∅{\ displaystyle [0,1] \ setminus [0,1] = \ lakkaus}{x-y∣x,y∈[0,1]}=[-1,1]{\ displaystyle \ {xy \ mid x, y \ in [0,1] \} = [- 1,1]}

Katso myös

• Naiivi joukko teoria
• Aseta algebra
• Boolen algebra (logiikka)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">