On matematiikka , joukko osien joukko , jota kutsutaan joskus teho asettaa viittaa joukko on osajoukkojen Tästä.
Antaa olla joukko. Osan joukko on yleisesti merkitty joukko , jonka elementit ovat osajoukkoja :
.Se on myös joskus huomattava , tai (goottilainen) tai ( P de Weierstrass ).
Vuonna Zermelo n teoria asetetaan , olemassaolon, minkä tahansa joukko , tällaisen joukon , on oletettu, että selviö joukko osia , ja sen ainutlaatuisuus johtuu aksioomasta extensionality .
ei ole koskaan tyhjä, koska sarja on tyhjä ja ovat aina osa : , .
Jos kaksi E ja F ovat yhtä voimakkaita sitten ja ovat myös.
Äärellinen kardinaaliAntaa olla joukko n elementtiä. Sitten joukko osien E on äärellinen, ja on 2 n elementtejä.
Todiste induktiollaOminaisuus on tosi luokassa 0, koska tyhjällä joukolla on todellakin vain yksi osajoukko: itse. Oletetaan, että todellinen ominaisuus on listalla n . Olkoon E joukko, jossa on n + 1 elementtiä; se ei siis ole tyhjä; joko on jäsen E . E: n osajoukot on jaettu kahteen luokkaan: osajoukkoihin, joihin a kuuluu, ja osajoukkoihin, joihin a ei kuulu. Toisessa luokassa on 2 n elementtiä induktiohypoteesin avulla; ensimmäisen myös, koska se on bijektio toisen, jonka toiminta, joka koostuu poistamiseen . Joukko osien E on näin ollen 2 n + 2 n = 2 n + 1 elementtejä.
Esittelyn kautta n monikkoja on bittienIlman yleisyyden menetystä , joukon E kanssa n elementit voidaan olettaa olevan yhtä kuin {1, ..., n }. Kanoninen bijektio ( katso alla ), niin käy ilmi, että kardinaliteetti on yhtä suuri kuin joukon n - monikon , eli (vrt " Järjestely toistoa ") 2 n .
Todiste binomikaavallaOn osaa E , joka sisältää k elementit ( k välillä 0 ja n ) siten mukainen binomisen lause: .
Ääretön kardinaaliJokaiselle luonnolliselle luvulle n meillä on n <2 n . Tämä tulos yleistyy äärettömään kardinaalisuuteen . Cantorin lause todetaan, että kaikki subsets joukosta E (päättynyt vai ei) on ehdottomasti suurempi kuin kardinaliteetti E : on olemassa injektio joukko kaikissa sen osien (esimerkiksi joka liittää Singleton , johon se kuuluu ja elementti ), mutta ei bijektiota .
Kaikkien joukkojen, jotka voidaan leikata ℕ: llä, luonnollisten numeroiden joukolla , sanotaan olevan laskettavissa . Cantorin lause osoittaa erityisesti, että P (ℕ) ei ole laskettavissa, mikä voidaan tulkita sanomalla, että emme voi tyhjentävästi "numeroida" ℕ: n osajoukkoja. Toisin sanoen heti, kun kokonaisluvuilla on indeksoitu sequence-osajoukko, löydämme välttämättä necessarily-osajoukon, joka ei näy tässä sekvenssissä.
Mikä voi olla ℕ: n osajoukon, eli P (ℕ): n osajoukon, kardinaalisuus ? Georg Cantor ajatteli, että se voi olla vain äärellinen, laskettavissa tai P (ℕ). Se on jatkumohypoteesi, joka ei ole osoitettavissa eikä kumottavissa ZFC- joukko- teoriassa .
Joukon E osajoukko , joka on varustettu liiton , leikkauksen ja komplementaation toiminnoilla , muodostaa tyypillisen esimerkin Boolen algebrasta . Voimme osoittaa erityisesti, että mikä tahansa äärellinen Boolen algebra on isomorfinen äärellisen joukon osajoukon Boolen algebraan nähden. Tämä ei päde loputtomiin Boolen algebroihin , mutta mikä tahansa ääretön Boolen algebra on joukon osien joukon Boolen algebran alialgra .
Kuten minkä tahansa Boolen algebran kohdalla, voimme määrittää rengasrakenteen ottamalla käyttöön unionista ja leikkauspisteestä määritellyn operaation: symmetrinen ero . Joukko joukkoa E , johon symmetrinen ero on annettu, on abelin ryhmä . Neutraali elementti on tyhjä sarja . Jokainen osajoukko on oma vastakohta. Tämä sama joukko on kommutatiivinen puoliryhmä, kun se toimitetaan leikkausoperaation kanssa. Siksi voimme osoittaa ( jakelulakeja käyttäen ), että joukon osien joukko, jolla on symmetrinen ero ja leikkauspiste, on kommutatiivinen rengas, jonka jokainen elementti on idempotenttinen ( x 2 = x , tässä tuote on risteys), toisin sanoen Boolen rengas (päinvastoin mihin tahansa Boolen renkaaseen voimme liittää Boolen algebran).
Tarkastellaan kolmen elementin joukkoa. Osajoukot ovat:
Osan joukko on siis:
.Tarkistamme ohimennen, että meillä on se .
Set theory, X Y tarkoittaa joukko sovelluksia, Y on X . Koska 2 voidaan määritellä joukoksi {0, 1} von Neumannin luonnollisten kokonaislukujen muodostamisessa , 2 E voi merkitä funktion joukon E : stä luvussa {0, 1}.
2 E: n ja välillä on kanoninen bijektio . Siksi voi tapahtua, että tunnistamme 2 E ja .
(en) Eric W. Weisstein , " Power Set " , MathWorldissa
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">