Vuonna matematiikka The jäsenyys on suhde ei symmetrinen välillä sarjaa , tai yleisemmin välillä esineitä ja luokkien . Kirjoitamme tarkoittamaan, että esine kuuluu luokkaan .
In tavallista joukko-opin : selviö extensionality määrittää, että kukin sarja on tunnettu siitä , että elementit, jotka kuuluvat sen; selviö säätiön mukaan suhde kuulumisen on perusteltu , joka erityisesti kieltää, että koko voi olla osa itse ( antireflexivity ); kuuluminen ei ole transitiivinen , toisin kuin inkluusiosuhde .
Giuseppe Peano esitteli symbolin vuonna 1889 julkaisussa Arithmetices principia, nova methodo exposita (en) (sivu X):
“Signum ϵ merkittävä est. Ita a ϵ b legitur a is quoddam b; ... "
Se on epsiloni , verbin "olla" muinaisen kreikan kielen ensimmäisen yksikön ἐστί ensimmäinen kirjain . Sen oikeinkirjoitus vastaa Manner-Euroopassa Peanon aikaan levinnyttä kirjoitusasua. Peano käyttää kuitenkin myös symbolia ε.
Alun perin luettu suhde on " yksi ". Tämä muotoilu pysyy tietyssä määrin tänään, esimerkiksi kun käännetään " on luonnollinen luku ".
Nykyään yleisessä tapauksessa se lukee " kuuluu ", " on osa " tai " on ".
Vähemmän käytetty vastavuoroinen suhde on " sisältää ", " ymmärtää " tai " omistaa ". Termi sisältää haittana on se, että se on epäselvä, mikä voi myös tarkoittavat sisällyttämistä . Käyttämällä omistaa , koska Gérard Debreu suosittaa , korostaen, että omistaa on luonnollinen symmetrinen ja kuuluu , välttää tämän ongelman. Muut kirjoittajat, kuten Paul Halmos tai George Boolos , suosittelevat sen sijaan, että käännöksessä käytetään aina " sisältää " ja " sisältää " . Lopuksi, suurin osa kirjoittajista, mukaan lukien esimerkiksi Nicolas Bourbaki , yksinkertaisesti eivät käytä tätä vastavuoroista suhdetta kääntämällä järjestelmällisesti lauseitaan niin, että he voivat käyttää " kuuluu " tai " on osa ".
Vuonna LaTex : on kirjoitettu komennolla "\ in", mikä tarkoittaa in vuonna Englanti; kirjoitetaan vastaavilla komennoilla "\ ni" ja "\ owns", vastaavasti käännetyllä "\ in" ja on englanniksi.
Haskell- ohjelmointikielessä, joka sallii ymmärtämisluetteloiden määritelmän, jäsenyys on merkitty <-.
Cantorin vuonna 1895 antama historiallinen määritelmä oli seuraava:
”Joukko on kokoelma M esineitä, jotka johtuvat intuitiossamme tai ajatuksestamme (joita kutsumme M: n elementeiksi ), kokonaisuutena. "
Tämän hieman sumean määritelmän avulla voimme jo esittää intuitiivisen version joukko-teoriasta . Katso artikkelit Ensemble ja Naive Set Theory .
Esimerkiksi, jos M = {1,2,3}, 1, 2 ja 3 ovat M: n elementtejä .
Varo sekoittamasta "elementtiä" ja " osajoukkoa "; edellisessä esimerkissä muun muassa {1,2} ja {3} ovat M: n osajoukkoja, mutta eivät ole sen elementtejä.
Joukko-teorian nykyiset esitykset kuvaavat sitä ensimmäisen asteen tasa-arvoteoriana, joka käsittää tasa-arvon = yhden binäärisen predikaatin , jäsenyyden lisäksi . Tässä lähestymistavassa, lause " x on elementti on M " on vain verbalization on kaava .
Yleisimmin hyväksytty formalismi on Zermelo-Fraenkel .
Felix Hausdorff huomauttaa, että tämä lähestymistapa ei muodosta määritelmää aikaisemmasta käsitteestä, mutta on lähtökohta suuren osan matematiikan virallistamiselle:
"Voimme vastustaa sitä, että olemme määrittäneet idem / idem tai jopa obscurum / obscurius . Meidän on otettava huomioon, että tässä ei ole määritelmää, vaan näyttelyprosessi, viittaus kaikille tuttuun primitiiviseen käsitteeseen […]. "
Ilmaisussa
kirjain M tarkoittaa usein joukkoa . Tämä oletetaan erityisesti edellä esitetyssä muodollisessa esityksessä.
Liian naiivi teoria joukkoista , jotka johtavat kuuluisiin paradokseihin , on joskus hyödyllistä tarkastella elementin x jäsenyyden suhdetta objektien M, joka ei ole joukko vaan luokka . Näin on esimerkiksi kategoriateoriassa ; tässä yhteydessä x: ää kutsutaan kuitenkin "objektiksi" eikä "elementiksi".
Yleisimmin käytetyn teorian, Zermelo-Fraenkel -joukkoteorian, luokan formalismissa luokat tunnistetaan kielen unaarisiin predikaatteihin . Sanoa, että x on predikaattia P vastaava luokan M elementti, on yksinkertaisesti toinen tapa sanoa: " P (x) ".
[ei ole selvää]Jäsenyys symboli "∈" on matemaattinen symboli käyttöön Giuseppe Peano jäsenyyttä asettaa teoriassa . Sen oikeinkirjoitus vastaa tuolloin manner-Euroopassa olevan kreikkalaisen epsilon- kirjaimen oikeinkirjoitusta .
On olemassa pieniä kirjaimia ja yliviivattu versio, ja näillä kolmella merkillä on myös Unicode- koodaus päinvastaisessa järjestyksessä.
Sukunimi | Unicode | HTML | Lateksi | ||
---|---|---|---|---|---|
kuuluu | ∈ | 2208 | & isin; | \in | |
ei kuulu | ∉ | 2209 | & ei sisällä; | \notin | |
pieni kuuluu | ∊ | 220A | |||
sisältää elementtinä | ∋ | 220B | &tai; | \ni tai \owns | |
ei sisällä elementtinä | ∌ | 220C | \not\ni tai \not\owns | ||
pieni sisältää samanlaisen elementin | ∍ | 220D |
Tätä symbolia käytetään Jacques Roubaudin vuonna 1967 julkaiseman runokokoelman otsikkona . Kirjoittajan mielestä se on myös "laajemmin symboli kuulumisesta" maailmassa olemisen "maailmaan. "