Looginen aksioma

Aksiomaattinen menetelmä mahdollistaa ensimmäisen asteen loogisten lakien joukon määrittelemisen loogisista aksiomeista ja vähennyssäännöistä siten, että kaikki loogiset lait ovat joko aksioma tai aksioomista johdettu kaava, jolla on rajallinen määrä vähennyksen säännöt.

Tämä puhtaasti syntaktinen esitys vastaa malliteorian semanttista esitystä , mikä mahdollistaa loogisen lain määrittelemisen todellisena kaavana kaikissa mahdollisissa maailmoissa. Tämä vastaavuus on aiheena täydellisyyden lauseen .

Principia Mathematican loogiset aksioomat

Loogiset lait saadaan Whiteheadin ja Russellin (1910) järjestelmässä kuudesta aksiomakaaviosta ja kahdesta vähennyssäännöstä, irtautumis- ja yleistymissäännöstä.

Aksiomakaaviot

Nämä aksiomakaaviot ovat seuraavat. p, q ja r voidaan korvata millä tahansa kaavalla (vapaiden muuttujien kanssa tai ilman niitä) ensimmäisen asteen predikaattien laskennasta .

jos (p tai p) niin p: ${\ displaystyle (P \ lor P) \ Rightarrow P}$

jos p sitten (p tai q): ${\ displaystyle P \ Rightarrow (P \ lor Q)}$

jos (p tai q) sitten (q tai p): ${\ displaystyle (P \ lor Q) \ Rightarrow (Q \ lor P)}$

jos (jos p sitten q) sitten (jos (p tai r) sitten (q tai r)): ${\ displaystyle (P \ Rightarrow Q) \ Rightarrow ((P \ lor R) \ Rightarrow (Q \ lor R))}$

jos (kaikki x on sellaiset, että p) niin p ': ${\ displaystyle (\ forall x, p (x)) \ Rightarrow p '}$

missä p 'saadaan p: stä korvaamalla sitoutumaton muuttuja y p: ssä kaikilla x: n vapailla esiintymillä p: ssä.

jos (kaikki x on sellaiset, että (p tai q)) sitten (p tai kaikki x on sellaiset, että q): ${\ displaystyle (\ forall x, (p \ lor q (x))) \ Rightarrow (p \ lor (\ forall x, q (x)))}$

missä p on kaava, joka ei sisällä x: tä vapaana muuttujana

Kaksi vähennyssääntöä

Irrotus- tai modus ponens -sääntö sanoo, että kahdesta tilasta p ja (jos p sitten q) voidaan päätellä q.

Yleistyssääntö sanoo, että ainutlaatuisesta lähtötavasta p voimme päätellä (kaikki x ovat sellaisia, että p)

Vastaavuus luonnollisen vähennyksen kanssa

Voimme todistaa, että kaikki hypoteettiset totuudet ovat luonnollisen deduktion merkityksessä joko näistä kaavioista saatuja aksiomia tai seurauksia, jotka voidaan päätellä lopullisessa määrin vaiheita näistä aksiomeista kahdella vähennyssäännöllä.

Kaikki todisteet, jotka voidaan muodostaa luonnollisella deduktiolla, voidaan muodostaa Whiteheadin ja Russellin loogisessa laskennassa (ensimmäisessä järjestyksessä) ja päinvastoin.

Järjestelmän täydellisyys

Gödel osoitti täydellisyyslausekkeen, joka väittää, että nämä kuusi aksioomakaavaa ja nämä kaksi vähennyssääntöä ovat riittävät kaikkien loogisten lakien saamiseksi.