Turbulentti vesiputous

Myrskyisä vesiputous on energian muoto kuljetus pyöritä kineettistä energiaa ja pienemmät jotka ottavat vastaan ja purkaa sitä. Tämä mekanismi on virtauksen turbulentin energiaspektrin alkupisteessä.

Tämän mekanismin selitti laadullisesti Lewis Fry Richardson vuonna 1922. Sitten puhumme Richardsonin vesiputouksesta .

Vastaavat lait saatiin Andrey Kolmogorovilta vuonna 1941. Näissä laeissa käytetään termiä Kolmogorov cascade .

Yliaaltojen muodostuminen virtauksessa

Laajennettujen taajuuksien muodostuminen virtauksen spektrissä voidaan selittää analogisesti yksidimensionaalisen mallikaavan kanssa

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partit t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partitux}} = 0}

Jos asetamme alkuehdon

{\ displaystyle u (x, 0) = A \ cos {kx}}

ratkaisu ajankohtana δt ilmaistaan Taylor-sarjan muodossa

{\ displaystyle u (x, \ delta t) = A \ cos {kx} + \ delta t {\ frac {A ^ {2} k} {2}} \ sin {2kx} + ...}

Täten näemme pakottavan taajuuden yliaaltojen ulkonäön. Tämä johtuu yhtälön epälineaarisesta termistä, joka vastaa impulssin siirtymistä Navier-Stokes-yhtälöissä .

Moniulotteisesti tämä mekanismi johtaa harmonisten ilmestymiseen kumpaankin suuntaan, mutta myös taajuuksiin, jotka saadaan summaamalla ja erottamalla kunkin akselin alkutaajuudet. Tällainen tulos viittaa mahdollisuuteen tuottaa suurempia tai pienempiä pyörteitä virtauksessa.

Sijoitamme itsemme kokoonpuristumattomien piireihin. Toteamme tilastollinen keskiarvo . Joko nopeus. Jaamme sen keskinopeuden ja vaihtelun välillä : ${\ displaystyle \ langle \ cdot \ rangle}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V} (\ mathbf {x}, t)}$ $\ mathbf {u}$
${\ displaystyle \ mathbf {V} = \ langle \ mathbf {V} \ rangle + \ mathbf {u}}$
Homogeeninen väliaine ja paikallaan keskimääräinen oletetaan: . Siksi tilastollinen keskiarvo lasketaan ajan keskiarvoon. ${\ displaystyle \ langle \ mathbf {V} (\ mathbf {x}, t) \ rangle = C ^ {ste}}$

Määrittelemme korrelaation vaihtelut kahden kaukana pisteiden i ja j jonka automaattinen kovarianssimatriisin matriisi : $r$
${\ displaystyle \ mathbf {R} = R_ {ij} (\ mathbf {r}, t) = \ langle \ mathbf {u} (\ mathbf {x}, t) \ mathbf {u} ^ {t} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t) \ rangle = \ langle u_ {i} (\ mathbf {x}, t) \, u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t) \ rangle}$
Tätä termiä (tai tätä termiä kerrottuna tiheydellä) kutsutaan Reynoldsin jännitysmatriisiksi .

Nopeus spektritiheyden varten aalto numero on saatu Fourier-muunnos : $\ kappa$
${\ displaystyle \ Phi _ {ij} ({\ lihavoitu symboli {\ kappa}}, t) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int R_ {ij} e ^ {- i {\ boldsymbol {\ kappa}} \ cdot \ mathbf {r}} \ mathrm {d} \ mathbf {r}}$
Määritämme myös turbulentin energian spektritiheyden jäljiltä : $R$
${\ displaystyle E (\ kappa, t) = \ int {\ frac {1} {2}} \, R_ {ii} \, \ delta (| {\ lihavoitu symboli {\ kappa}} '| - \ kappa) \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ kappa}} '}}$
Massa-turbulentti kineettinen energia k saadaan integroimalla koko spektri:
${\ displaystyle k = {\ frac {1} {2}} \ langle u_ {i} u_ {i} \ rangle = {\ frac {1} {2}} R_ {ii} (0, t) = \ int _ {0} ^ {\ infty} E (\ kappa) \ mathrm {d} \ kappa}$
Hajotussuhde määritetään seuraavasti:
${\ displaystyle \ varepsilon = \ langle \ tau _ {ij} ^ {2} \ rangle = 2 \ nu \ int _ {0} ^ {\ infty} k ^ {2} E (k) \ mathrm {d} k }$
missä ν on kinemaattinen viskositeetti ja τ ij viskoosien jännitysten tensori.

Huomaa, että suuret k-arvot (pienet pyörteet) vaikuttavat pääasiassa hajaantumiseen.

Yleensä voimme kirjoittaa kuljetusyhtälön k: lle, mukaan lukien tuotanto-, diffuusio- ja hajoamistermit. Meidän tapauksessamme väliaineen homogeenisuus ja se tosiasia, että diffuusio ei muuta integroitua energiaa koko spektrin kohdalla, antaa mahdollisuuden kirjoittaa tasapainotuotanto = häviö.

Turbulentti vesiputous

Lewis Fry Richardson kuvasi vuonna 1922 laadullisesti prosessia, jolla pyörre siirtää energiaa pienempiin pyörteisiin. Tämä prosessi, jota kutsutaan "Richardsonin kaskadiksi", koskee asteikoita, joissa inertiaaliset termit ovat hallitsevia ja energiansiirto tapahtuu yhtälöiden epälineaaristen termien kautta. Tuotannon ja haihdutuksen tasapaino johtaa ilmiön itsensä samankaltaisuuteen energiaspektrin keskiosassa.

Itse asiassa tällä spektrillä on kolme osaa:

suuret pyörteet, jotka ovat mielenkiinnon kohteena olevan ongelman jälki
ns. "inertiaalinen" itse samanlainen osa, jossa energia hajautuu pääasiassa suurista mittakaavoista pienempiin, ja siihen liittyy vähäinen hajaantuminen,
pienet asteikot, joissa hajaantuminen hallitsee ja mikä sen vuoksi rajoittaa spektriä k: n suurten arvojen puolella.

Andrei Kolmogorov julkaisi vuonna 1941 sarjan neljästä artikkelista, jotka mahdollistivat spektrin keskiosan luonnehtimisen. Tämä K41- niminen teoria perustuu seuraaviin oletuksiin:

H 1 ) riittävän suurille Reynoldsin numeroille kaikki ominaisuudet riippuvat vain skalaarisuureista ν ja ε, mikä merkitsee turbulenssin isotropiaa,
H 2 ) riippuvuus ν: sta katoaa suurimmissa pyörteissä.

Häviöalue

Hajotusskaala (tai Kolmogorov-ulottuvuus ) ld ja vastaava nopeus u d on helposti laskettavissa: ne vastaavat Reynoldsin lukua, joka on lähellä yhtenäisyyttä:

{\ displaystyle Re = {\ frac {l_ {d} u_ {d}} {\ nu}} = 1}

Käyttäen hypoteesi H 1 kolmiulotteinen analyysi osoittaa, että d ja u on aloittaa muodossa:

{\ displaystyle l_ {d} \ sim \ nu ^ {\ frac {3} {4}} \ varepsilon ^ {- {\ frac {1} {4}}} \ ,, \; \; \; u_ {d } \ sim (\ varepsilon \ nu) ^ {\ frac {1} {4}}}

Tarkistamme, että tämä vastaa vakio-Reynoldsin lukua.

Inertiaalialue

Inertiaosassa riippuvuus ν: stä on merkityksetön. Energiatiheys E (k) on vain k: n ja ε: n funktio. Myös tässä ulottuvuusanalyysi osoittaa, että se on kirjoitettu muodossa:

{\ displaystyle E (k) = C_ {K} \ varepsilon ^ {\ frac {2} {3}} k ^ {- {\ frac {5} {3}}}}

missä C K on Kolmogorov-vakio , kokeellisesti lähellä yhtenäisyyttä.

Täysi asteikko

Tietystä asteikosta, jota kutsutaan "integraaliseksi asteikoksi", spektri riippuu ongelmasta. Koska haihtuva alue ei ole riippuvainen siitä tietyllä viskositeetilla, inertiaalialue on enemmän tai vähemmän laaja, tyypillisesti yksi tai neljä suuruusluokkaa k: n yläpuolella.

Huomautuksia

Tämä ei sulje pois mahdollisuutta yhdistää pieniä pyörteitä suuremman pyörteen muodostamiseksi.
K Kolmogoroville ja 41 neljälle vuonna 1941 julkaistulle artikkelille.

Viitteet

(in) SF Richardson , sään ennustaminen numeerinen prosesseja , Cambridge University Press ,1922
(in) Kolmogorov , " paikallinen rakenne turbulenssin kokoonpuristumattoman viskoosisen nesteen erittäin suuri Reynoldsin luku " , Proceedings of the USSR Academy of Sciences , voi. 30,1941, s. 9-13 ( lue verkossa )
(in) AN Kolmogorov , " Isotrooppisen turbulenssin rappeutumisesta nestemäisessä viskoosissa puristumattomana vuonna " , Neuvostoliiton tiedeakatemian julkaisut , voi. 31,1941, s. 319-323 ( DOI 10.1007 / 978-94-011-3030-1_46 )
(in) AN Kolmogorov , " Energian häviäminen paikallisesti isotrooppisissa turbulensseissa " , Neuvostoliiton tiedeakatemian julkaisut , voi. 32,1941, s. 16-18 ( lue verkossa )
(in) AN Kolmogorov , " Turbulentin liikkeen yhtälöt kokoonpuristumattomassa nesteessä " , Proceedings of the USSR Academy of Sciences , voi. 4,1941, s. 299-303
(sisään) SB Pope, Turbulent Flows , Cambridge University Press ,2000
Damien Violeau, " Turbulenssin perusteet " , ENPC: ssä

Katso myös

Enstrofia

Ulkoiset linkit

Isabelle Gallagher, " Kolmogorov, turbulenssin haamu " , Bibliothèque nationale de Francessa
Olivier Cadot, " Johdatus turbulenssiin " , HAL
(en) Gregory Falkovich, ” Cascade and scaling ” , Scholarpediassa
(en) Roberto Benzi ja Uriel Frisch , ” Turbulenssi ” , on Scholarpedia
(en) Carlos Gavilán Moreno, Turbulenssi, tärinä, melu ja nesteen epästabiilisuus. Käytännön lähestymistapa. , INTECH ( ISBN 978-953-7619-59-6 , lue verkossa )