Reynolds tarkoittaa

Puitteissa hoidon nesteen mekaniikka turbulenssin, käytön hajoaminen Reynoldsin sovelletaan liuoksia Navier-Stokes-yhtälön avulla on mahdollista yksinkertaistaa ongelman poistamalla vaihtelut lyhyitä ja amplitudit. Menetelmä tunnetaan nimellä Reynolds mean tai englanninkielinen termi RANS Reynoldsin keskimääräiselle Navier - Stokesille , joka on nimetty sen kehittäjän Osborne Reynoldsin mukaan .

Navier-Stokes-yhtälö

Palautetaan mieliin Navier-Stokes-yhtälön muoto puristamattomien nesteiden tapauksessa  :

ρ∂tui+∑jρuj∂jui=-ρgi+∑j∂jσi,j{\ displaystyle \ rho \ osittainen _ {t} u_ {i} + \ summa _ {j} \ rho u_ {j} \ osittainen _ {j} u_ {i} = - \ rho g_ {i} + \ summa _ {j} \ osittainen _ {j} \ sigma _ {i, j}}

merkinnöillä

∂t=(∂∂t),∂j=(∂∂xj){\ displaystyle \ osittainen _ {t} = \ vasen ({\ osittain \ yli {\ osaa t}} \ oikea) \ ,, \; \; \; osittainen _ {j} = \ vasen ({\ osittainen \ yli {\ osittain x_ {j}}} \ oikea)}

Tämä yhtälö on kirjoitettu pienemmässä muodossa:

ρ∂tu+ρ(u⋅∇)u=-ρg+∇j⋅(σ¯¯)i,j{\ displaystyle \ rho \ osa _ {t} \ mathbf {u} + \ rho (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {\ nabla}) \ mathbf {u} = - \ rho \ mathbf {g} + \ nabla _ {j} \ cdot ({\ overline {\ overline {\ sigma}}}) _ {i, j}}

jossa edustaa i : nnen komponentin hetkellisen nopeuden alalla hetkellä t koordinaattien nesteessä, ja vastaavasti edustavat osittaista sanat ajan suhteen ja suhteessa i : nnen avaruuskoordinaattijärjestelmään, edustaa nesteen tiheys, tässä vakio mukaan kokoonpuristumattomuus oletus ja jännitystensoria määritelty sen osia: ui(t,xj){\ displaystyle u_ {i} (t, x_ {j})}(x1,x2,x3){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}∂tu{\ displaystyle \ osittainen _ {t} u}∂iu{\ displaystyle \ osittainen _ {i} u}ρ{\ displaystyle \ rho}σ¯¯{\ displaystyle {\ overline {\ overline {\ sigma}}}}

σi,j=-s5i,j+μ((∂ui∂rj)+(∂uj∂ri)){\ displaystyle \ sigma _ {i, j} = - p \ delta _ {i, j} + \ mu \ vasen (\ vasen ({\ osittainen u_ {i} \ yli \ osittainen r_ {j}} \ oikea) + \ vasen ({\ osittainen u_ {j} \ yli \ osittainen r_ {i}} \ oikea) \ oikea)}

missä on Kronecker-symboli , joka on 1, jos i = j ja 0 muuten. 5i,j{\ displaystyle \ delta _ {i, j}}

g on käytetyn ulkoisen voiman tilavuustiheys.

Reynolds hajoaa

Reynoldsin hajoamisen käyttö on perusteltua käsiteltäessä ilmiötä, jolla on spektri, joka on jaettu kahteen selvästi erilliseen osaan: matalalle taajuuskaistalle tai lähes pysyvälle järjestelmälle, jonka keskimääräinen osuus on ellei vakio, ainakin vaihtelee vähän ajan myötä, selvästi erotettu siirtymävaiheen korkeataajuisten järjestelmien kaistalta ilman keskimääräistä panosta. Joten:

u(t,r)=u¯(t,r)+u′(t,r){\ displaystyle \ mathbf {u} (t, \ mathbf {r}) = {\ yliviiva {\ mathbf {u}}} (t, \ mathbf {r}) + \ mathbf {u '} (t, \ mathbf {r})}

missä u: n yläpuolella oleva palkki osoittaa tilastollisen keskiarvon , u: n heittomerkki osoittaa poikkeaman tästä keskiarvosta. Tämä keinotekoisuus antaa mahdollisuuden paljastaa ongelma hitaalla ajallisella tilavaihtelulla, mahdollisesti ulottuvuudella 2, jossa turbulentti ongelma vaihtelee nopeasti ja yleensä ulottuvuudella 3.

Reynoldsin keskiarvo ja Reynoldsin yhtälö

Keskiarvo noudattaa seuraavia sääntöjä:

f¯¯=f¯{\ displaystyle {\ overline {\ overline {f}}} = {\ bar {f}}}f+g¯=f¯+g¯{\ displaystyle {\ overline {f + g}} = {\ bar {f}} + {\ bar {g}}}f¯g¯=f¯g¯{\ displaystyle {\ overline {{\ overline {f}} g}} = {\ bar {f}} {\ bar {g}}}fg¯=f¯g¯+f′g′¯{\ displaystyle {\ overline {fg}} = {\ bar {f}} {\ bar {g}} + {\ overline {f'g '}}}∂f∂s¯=∂f¯∂s{\ displaystyle {\ overline {\ frac {\ partis f} {\ partis s}}} = {\ frac {\ osallinen {\ palkki {f}}} {\ osallinen s}}}

ja määritelmän mukaan . u′¯=0{\ displaystyle {\ bar {u ^ {\ prime}}} = 0}

Esittelemme kaikkien muuttujien vaihtelun käsitteen:

ui=ui¯+ui′, s=s¯+s′{\ displaystyle u_ {i} = {\ bar {u_ {i}}} + u_ {i} ^ {\ prime} \ ,, \ p = {\ bar {p}} + p ^ {\ prime}} , jne.

Keskiarvoistamalla Navier-Stokesin yhtälöt (jonka vaikutuksesta poistaa nopeasti vaihtelua ehdot, joiden nollakeskiarvo), niistä tulee

∂ui∂xi¯=∂ui¯∂xi+∂ui′∂xi¯=∂ui¯∂xi¯+∂ui′∂xi¯=∂ui¯¯∂xi+∂ui′¯∂xi=∂ui¯¯∂xi=∂ui¯∂xi=0{\ displaystyle {\ overline {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {i}}}} = {\ overline {{\ frac {\ partitu {\ bar {u_ {i}}}} { \ partial x_ {i}}} + {\ frac {\ partituali u_ {i} ^ {\ prime}} {\ partituali x_ {i}}}}} = {\ yliviiva {\ frac {\ osittainen {\ palkki { u_ {i}}}} {\ osittainen x_ {i}}}} + {\ yliviiva {\ frac {\ osallinen u_ {i} ^ {\ prime}} {\ osittainen x_ {i}}}} = {\ frac {\ osittainen {\ yliviiva {\ yliviiva {u_ {i}}}}}} {\ osittain x_ {i}}} + {\ frac {\ osittainen {\ yliviiva {u_ {i} ^ {\ prime}}} } {\ osal x_ {i}}} = {\ frac {\ osittainen {\ yliviiva {\ yliviiva {u_ {i}}}}}} {\ osittainen x_ {i}}} = {\ frac {\ osallinen {\ yliviiva {u_ {i}}}} {\ osittainen x_ {i}}} = 0}∂ui¯∂t+uj¯∂ui¯∂xj+uj′∂ui′∂xj¯=gi¯-1ρ∂s¯∂xi+v∂2ui¯∂xj∂xj{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen {\ palkki {u_ {i}}}} {\ osittainen t}} + {\ palkki {u_ {j}}} {\ frac {\ osittainen {\ palkki {u_ {i }}}} {\ partituali x_ {j}}} + {\ yliviiva {u_ {j} ^ {\ prime} {\ frac {\ osittainen u_ {i} ^ {\ prime}} {\ osittainen x_ {j} }}}} = {\ baari {g_ {i}}} - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ osittainen {\ palkki {p}}} {\ osittainen x_ {i}}} + \ nu {\ frac {\ osittainen ^ {2} {\ palkki {u_ {i}}}} {\ osittainen x_ {j} \ osittainen x_ {j}}}} Esittely

Todellakin

∂(ui¯+ui′)∂xi=0{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen \ vasen ({\ palkki {u_ {i}}} + u_ {i} ^ {\ prime} \ oikea)} {\ osittain x_ {i}}} = 0} ∂(ui¯+ui′)∂t+(uj¯+uj′)∂(ui¯+ui′)∂xj=(gi¯+gi′)-1ρ∂(s¯+s′)∂xi+v∂2(ui¯+ui′)∂xj∂xj{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen \ vasen ({\ palkki {u_ {i}}} + u_ {i} ^ {\ prime} \ oikea)} {\ osittainen t}} + \ vasen ({\ palkki { u_ {j}}} + u_ {j} ^ {\ prime} \ oikea) {\ frac {\ osittainen \ vasen ({\ palkki {u_ {i}}} + u_ {i} ^ {\ prime} \ oikea )} {\ional x_ {j}}} = \ vasen ({\ bar {g_ {i}}} + g_ {i} ^ {\ prime} \ oikea) - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ osittainen \ vasen ({\ palkki {p}} + p ^ {\ prime} \ oikea)} {\ osittain x_ {i}}} + \ nu {\ frac {\ osallinen ^ {2} \ vasen ({\ bar {u_ {i}}} + u_ {i} ^ {\ prime} \ oikea)} {\ osittain x_ {j} \ osittain x_ {j}}}} näiden yhtälöiden keskiarvo on ∂(ui¯+ui′)∂xi¯=0{\ displaystyle {\ overline {\ frac {\ osittainen \ vasen ({\ palkki {u_ {i}}} + u_ {i} ^ {\ prime} \ oikea)} {\ osittainen x_ {i}}}} = 0} ∂(ui¯+ui′)∂t¯+(uj¯+uj′)∂(ui¯+ui′)∂xj¯=(gi¯+gi′)¯-1ρ∂(s¯+s′)∂xi¯+v∂2(ui¯+ui′)∂xj∂xj¯{\ displaystyle {\ overline {\ frac {\ osittainen \ vasen ({\ bar {u_ {i}}} + u_ {i} ^ {\ prime} \ oikea)} {\ osittainen t}}} + {\ yliviiva {\ vasen ({\ bar {u_ {j}}} + u_ {j} ^ {\ prime} \ oikea) {\ frac {\ osittainen \ vasen ({\ bar {u_ {i}}} + u_ {i } ^ {\ prime} \ oikea)} {\ partituali x_ {j}}}}} = = \ \ yliviiva {\ vasen ({\ palkki {g_ {i}}} + g_ {i} ^ {\ prime} \ oikea)}} - {\ frac {1} {\ rho}} {\ overline {\ frac {\ osittainen vasen ({\ palkki {p}} + p ^ {\ prime} \ oikea)} {\ osittainen x_ {i}}}} + \ nu {\ yliviiva {\ frac {\ osittainen ^ {2} \ vasen ({\ palkki {u_ {i}}} + u_ {i} ^ {\ prime} \ oikea)} { \ osittain x_ {j} \ osittain x_ {j}}}}} Huomaa, että epälineaarinen termi ( ) on yksinkertaistettuuiui¯{\ displaystyle {\ overline {u_ {i} u_ {i}}}} uiui¯=(ui¯+ui′)(ui¯+ui′)¯=ui¯ui¯+ui¯ui′+ui′ui¯+ui′ui′¯=ui¯ui¯+ui′ui′¯{\ displaystyle {\ overline {u_ {i} u_ {i}}} = {\ overline {\ left ({\ bar {u_ {i}}} + u_ {i} ^ {\ prime} \ right) \ left ({\ bar {u_ {i}}} + u_ {i} ^ {\ prime} \ right)} = = \ \ yliviiva {{\ bar {u_ {i}}} {\ bar {u_ {i}} } + {\ bar {u_ {i}}} u_ {i} ^ {\ prime} + u_ {i} ^ {\ prime} {\ bar {u_ {i}}} + u_ {i} ^ {\ prime } u_ {i} ^ {\ prime}}} = {\ bar {u_ {i}}} {\ bar {u_ {i}}} + {\ overline {u_ {i} ^ {\ prime} u_ {i } ^ {\ prime}}}}

mistä :

∂ui¯∂xi=0{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen {\ palkki {u_ {i}}}} {\ osittainen x_ {i}}} = 0}∂ui¯∂t+∂uj¯ui¯∂xj=gi¯-1ρ∂s¯∂xi+v∂2ui¯∂xj∂xj-∂ui′uj′¯∂xj{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen {\ bar {u_ {i}}}}} {\ osittainen t}} + {\ frac {\ osittainen {\ palkki {u_ {j}}} {\ palkki {u_ {i }}}} {\ partituali x_ {j}}} = {\ palkki {g_ {i}}} - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ osittainen {\ palkki {p}}} {\ partituali x_ {i}}} + \ nu {\ frac {\ osallinen ^ {2} {\ palkki {u_ {i}}}} {\ osittainen x_ {j} \ osittainen x_ {j}}} - { \ frac {\ osittainen {\ yliviiva {u_ {i} ^ {\ prime} u_ {j} ^ {\ prime}}}}} {\ osittain x_ {j}}}} Esittely ∂uj¯ui¯∂xj=uj¯∂ui¯∂xj+ui¯∂uj¯∂xj{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen {\ palkki {u_ {j}}} {\ palkki {u_ {i}}}}} {\ osallinen x_ {j}}} = {\ palkki {u_ {j}}} {\ frac {\ osittainen {\ palkki {u_ {i}}}} {\ osittain x_ {j}}} + {\ palkki {u_ {i}}} {\ frac {\ osittainen {\ palkki {u_ {j }}}} {\ osittainen x_ {j}}}}tai jatkuvuusyhtälön mukaan ∂uj¯∂xj=0{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen {\ palkki {u_ {j}}}} {\ osittainen x_ {j}}} = 0} sama ∂ui′uj′¯∂xj=uj′∂ui′∂xj¯+ui′∂uj′∂xj¯{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen {\ yliviiva {u_ {i} ^ {\ prime} u_ {j} ^ {\ prime}}}}} {\ osittain x_ {j}}} = {\ yliviiva {u_ { j} ^ {\ prime} {\ frac {\ osittainen u_ {i} ^ {\ prime}} {\ osittainen x_ {j}}}}} + {\ yliviiva {u_ {i} ^ {\ prime} {\ frac {\ osittainen u_ {j} ^ {\ prime}} {\ osittainen x_ {j}}}}}} tai jatkuvuusyhtälön mukaan ∂uj∂xj=∂uj¯∂xj+∂uj′∂xj=0{\ displaystyle {\ frac {\ partituali u_ {j}} {\ partituali x_ {j}}} = {\ frac {\ osittainen {\ palkki {u_ {j}}}} {\ osittainen x_ {j}}} + {\ frac {\ osittainen u_ {j} ^ {\ prime}} {\ osittain x_ {j}}} = 0} ja ∂uj¯∂xj=0{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen {\ palkki {u_ {j}}}} {\ osittainen x_ {j}}} = 0} siksi ∂uj′∂xj=0{\ displaystyle {\ frac {\ osalinen u_ {j} ^ {\ prime}} {\ osittain x_ {j}}} = 0}

Sama yleisempi laskelma voidaan suorittaa jännitystensorilla viskositeetin sijasta . Navier-Stokes-yhtälöstä tulee Reynoldsin yhtälö: σi,j{\ displaystyle \ sigma _ {i, j}}v{\ displaystyle \ nu}

ρ(∂u¯i∂t+∑ju¯j(∂u¯i∂xj))=ρg¯i+∑j(∂∂xj)(σi,j-ρui′uj′¯){\ displaystyle \ rho \ left ({\ osittainen {{\ yliviiva {u}} _ {i}} \ yli \ osittainen t} + \ summa _ {j} {\ yliviiva {u}} _ {j} \ vasen ({\ osittainen {\ yliviiva {u}} _ {i} \ yli \ osittainen x_ {j}} \ oikea) \ oikea) = \ rho {\ yliviiva {g}} _ {i} + \ summa _ {j } \ vasen ({\ osittainen \ yli \ osittain x_ {j}} \ oikea) ({\ sigma _ {i, j} - \ rho {\ yliviiva {u '_ {i} u' _ {j}}} })}

joka voidaan vielä kirjoittaa:

ρ(∂t+(u¯⋅∇))(u¯)=ρg¯+∇j.(σ¯¯-ρu′⊗u′¯)i,j{\ displaystyle \ rho ({\ parts _ {t}} + (\ mathbf {\ overline {u}} \ cdot \ nabla)) ({\ mathbf {\ overline {u}}}) = \ rho {\ overline {\ mathbf {g}}} + \ nabla _ {j}. (\ mathbf {\ overline {\ overline {\ sigma}}} - \ rho {\ overline {\ mathbf {u '\ otimes u'}}} ) _ {i, j}}

Siksi on jäljellä termi, joka on nopeiden vaihteluiden funktio, mutta vain niiden varianssin välityksellä, toisin sanoen niiden neliön keskiarvosta, mikä tekee siitä termin, ellei vakio, ainakin vaihteleva vähän. Termiä kutsutaan Reynoldsin tensoriksi . (ρu′⊗u′¯)i,j{\ displaystyle (\ rho {\ overline {\ mathbf {u '\ otimes u'}}}) _ {i, j}}

Reynolds-tensori

• Puoli- jälki Reynolds tensor on selvästi aineen tiheyden keskimääräinen turbulentin kineettisen energian .
• Reynoldsin tensorin ei-diagonaalinen osa voidaan tulkita ylimääräiseksi viskositeettitermiksi, jota sovelletaan keskimääräiseen virtaukseen lisäämällä kinemaattiseen viskositeettiin v ja sitä kutsutaan turbulenssiksi viskositeetiksi .
• Reynoldsin tensori noudattaa kuljetusyhtälöä, joka itse paljastaa kolmoiskorrelaatioiden termin  uiujuk¯{\ displaystyle {\ overline {u_ {i} u_ {j} u_ {k}}}}

Viitteet

• (en) SB Pope, Turbulent Flows , Cambridge University Press ,2000
• (en) Uriel Frisch , Turbulence , Cambridge University Press ,1995
• (en) Olivier Darrigol , Worlds of Flow , Oxford University Press ,2005( ISBN  978-0-19-856843-8 , lue verkossa )

Huomautuksia

1. Reynolds, Osborne, ”  Pakkaamattomien viskoosien nesteiden dynaamisesta teoriasta ja kriteerin määrittämisestä.  ”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A , voi.  186,1895, s.  123-164 ( DOI  10,1098 / rsta.1895.0004 , JSTOR  90643 , Bibcode  1895RSPTA.186..123R )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">