Kruskal-Szekeresin yhteystiedot

Kruskal-Szekeres ( ) koordinaatit ovat enintään analyyttinen laajentaminen on Schwarzschildin metristä . Ne tarjoavat lisäratkaisuja Schwarzschildin ratkaisuille, mustia aukkoja vastaavalla alueella on erityisesti kaksi aluetta : valkoiset reiät . ${\ displaystyle v, u, \ theta, \ phi}$

Samannimisen koordinaatit ovat matemaatikko ja fyysikko amerikkalainen Martin D. Kruskal (1925-2006) ja Hungaro - australialainen matemaatikko György (George) Szekeres (1911-2005), jotka molemmat ehdottivat niitä vuonna 1960 Schwarzschildin mustan aukon geometrian kuvaamiseksi .

Kruskal-Szekeres-koordinaateissa Schwarzschild-metriikka kirjoitetaan:

{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {32G ^ {3} M ^ {3}} {rc ^ {6}}} \ operaattorin nimi {exp} \ left (- {\ frac {rc ^ {2} } {2GM}} \ oikea) \ vasen (dv ^ {2} -du ^ {2} \ oikea) -r ^ {2} \ vasen (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ oikea)}

tai:

$G$ on painovoiman vakio ,
$vs.$ on valon nopeus ,
$M$ on massa ,
$r$ on funktion ja . $u$ $v$

Kanssa ( vrt Schwarzschildin säde ), ( vrt eksponentiaalinen funktio ) ja ( ks kiinteä kulma ), se on kirjoitettu: ${\ displaystyle R _ {\ mathrm {S}} = 2GM / c ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ operaattorin nimi {exp} \ left (x \ right) = e ^ {x}}$ ${\ displaystyle d \ Omega ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2}}$

{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4R _ {\ mathrm {S}} ^ {3}} {r}} \, e ^ {- {\ frac {r} {R _ {\ mathrm { S}}}}} \ vasen (dv ^ {2} -du ^ {2} \ oikea) -r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}

In geometrinen yksikköä ( ), se on kirjoitettu: ${\ displaystyle c = G = 1}$

{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {32M ^ {3}} {r}} \, e ^ {- {\ frac {r} {2M}}} \ vasen (dv ^ {2} -du ^ {2} \ oikea) -r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}

Historiallinen

Sisään Joulukuu 1915, Karl Schwarzschild kuvaa Einsteinin yhtälöiden ensimmäisen tarkan ratkaisun , joka paljastaa odottamattoman singulariteetin, Schwarzschildin säteen , jonka luonne on pitkään huonosti ymmärretty.

Vuonna 1924 Arthur Eddington luonnosti ensimmäisen ei-yksikön koordinaattijärjestelmän tällä kuuluisalla säteellä. Vuonna 1938 Georges Lemaître kehitti synkronisen metriikan ( Lemaître metric ); David Finkelstein (en) löysi toisen, ei-synkronisen, vuonna 1958, ja nykyään sitä kutsutaan Eddington-Finkelstein-metriikaksi . Synge osoittaa, että tämä viimeinen metriikka kattaa vain osan Schwarzschildin aika-ajan geometriasta, aivan kuten Lemaître: nämä mittarit eivät salli meidän ottaa huomioon kaikkia kehon dynaamisia tapauksia ympäristössä. Schwarzschildin mustaa aukkoa . He ovat kuitenkin osoittaneet, että tämä säde ei ole todellinen, fyysinen singulariteetti, vaan vain Schwarzschildin valitsemalle mittarille.

Vuonna 1960 , Martin Kruskal ja George Szekeres rakensi uuden metrinen tutkimaan kaikkia liikkumisen tyypit kehon ulkopuolella ja alle schwarzschildin säde.

Kruskal-Szekeresin yhteystiedot

Yleissopimus: metriikan allekirjoitus on (- + + +).

Kruskal ja Szekeres käyttävät ulottumattomia koordinaatteja radiaalikoordinaatille ja aikakoordinaatille, jotka on määritelty termin poistamiseksi uudesta metrikasta. He rekonstruoivat transsendenttisten toimintojen avulla. $u$ $v$ $(1- \ tekstityyli {\ frac {R_ {s}} {r}})$ $r (u, v), t (u, v)$

Muuttujat ja ne määritellään seuraavasti: $u$ $v$

$u ^ {2} -v ^ {2} = (\ tekstityyli {\ frac {r} {R_ {s}}} - 1) e ^ {{\ tekstityyli {\ frac {r} {R_ {s}}} }}$
$\ textstyle {\ frac {u + v} {uv}} = e ^ {{\ textstyle {\ frac {ct} {R_ {s}}}}}$

Aikaa on kaksi:

jos sitten ; $r (u, v)> R_ {s}$ $\ tanh {\ frac {ct} {2R_ {s}}} = {\ frac {v} {u}}$
niin sitten . $r (u, v) <R_ {s}$ $\ tanh {\ frac {ct} {2R_ {s}}} = {\ frac {u} {v}}$

Saamme diagonaalimittarin:

ds ^ {2} = {\ frac {4.R_ {s} ^ {3}} {r}} e ^ {{- \ textstyle {\ frac {r} {R_ {s}}}}} (mistä ^ {2} -dv ^ {2}) + r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2})

joka on määritelty kaikelle . Aika t on toisaalta ääretön Schwarzschildin ( ) säteellä . $r (u, v)> 0$ $u = \ pm v$

Ominaisuudet

Schwarzschild-metriikan singulaarinen patologia on korvattu suhde . $r = 0$ $v ^ {2} -u ^ {2} = 1$

Joten meillä on nyt kaksi singulariteettia .

{\ begin {cases} u = {\ sqrt {v ^ {2} -1}} \\ u = - {\ sqrt {v ^ {2} -1}} \ end {cases}}

Linjat on Schwarzschildin koordinaattien ovat hyperbelien vuonna Kruskal koordinaatit. Heidän asymptoottinsa ovat puolittimet ja . Linjat on Schwarzschild koordinaatit ovat linjojen läpi kulkevan alkuperän Kruskal koordinaatit. Yksittäisyyksiä edustavat vastakkaisen piirroksen harmaiden hyperbolisten alueiden reunat. $r = Cste$ $u ^ {2} -v ^ {2} = Cste$ $u = v$ $u = -v$ $t = Cste$ $v / u = Cste$

Valotyyppiset geodeettiset ovat 45 °: n suuntaisia viivoja. On helppo varmistaa, että meillä on . $ds = 0$ $du ^ {2} = dv ^ {2}$

Schwarzschild-metriikka erottaa tapahtumahorisontin rajaaman kahden aika-ajan alueen välillä. Alue on jaettu kahtia Kruskal-Szekeres-mittarin avulla. $r> 2M$

Ehto vastaa kohteeseen .

r> R_ {s}

u ^ {2}> v ^ {2}

{\ aloita {tapaukset} u> | v | \\ u <- | v | \ loppu {tapaukset}}

Siksi koko Schwarzschildin geometriaa edustaa neljä eri aluetta Kruskal-koordinaateissa.

Huomautuksia ja viitteitä

Taillet, Villain ja Febvre 2018 , sv Kruskal-Szekeres (koordinaatit), s. 414, pylväs 1 .
Hobson, Efstathiou ja Lasenby 2010 , luku . 11 , § 11.9 , s. 264.
Taillet, Villain ja Febvre 2018 , sv Kruskal-Szekeres (koordinaatit), s. 414, pylväs 2 .
Kruskal 1960 .
Szekeres 1960 .
Taillet 2013 , s. 61.
(sisään) AS Eddington , " Whiteheadin ja Einsteinin formulæn vertailu "Helmikuu 1924( DOI 10.1038 / 113192a0 , Bibcode 1924Natur.113..192E ) ,s. 192 URL-osoite =http://www.strangepaths.com/files/eddington.pdf
Lev Landau ja Evgueni Lifchits , teoreettinen fysiikka , t. 2: Kenttäteoria [ yksityiskohtia painoksista ], §102, alaviite.
Synge, JL, Hiukkasen painovoimakenttä , 1950, Proc. R. Irlannin Acad. A 53, 83-114.
Lev Landau ja Evgueni Lifchits , teoreettinen fysiikka , t. 2: Kenttäteoria [ yksityiskohtia painoksista ], §103, alaviite. Landau tuo mieleen myös Igor Novikovin työn, joka vuonna 1963 hankki samanlaisten ominaisuuksien synkronisen mittarin .

Katso myös

Kruskalin ja Szekeresin alkuperäiset artikkelit

[Kruskal 1960] (en) MD Kruskal , “ Schwarzschild-metriikan maksimipidennys ” , Phys. Ilm. , voi. 119, n ° 5,Syyskuu 1960, s. 1743-1745 ( DOI 10,1103 / PhysRev.119.1743 , Bibcode 1960PhRv..119.1743K , yhteenveto ).
[Szekeres 1960] (en) G. Szekeres , ” Riemannin monisarjaisen singulariteetista ” , Publ. Matematiikka. (Debr.) , Vuosikerta 7,1960, s. 285-301 ( Bibcode 1960PMatD ... 7..285S ).

Bibliografia

[Hobson, Efstathiou ja Lasenby 2010] MP Hobson , GP Efstathiou ja Lasenby ( trans. Of Engl. Vuoteen L. konna , rev. By R. Taillet ,) suhteellisuusteorian [ " Yleinen suhteellisuusteoria: johdantona fyysikot "], Bryssel , De Boeck Univ. , paitsi coll. , Helmikuu 2010, 1 st ed. , 1 til. , XX -554 Sivumäärä , sairas. , 28 cm ( ISBN 978-2-8041-0126-8 , EAN 9782804101268 , OCLC 690272413 , ilmoitusta BNF n o FRBNF42142174 , SUDOC 140535705 , online-esitys , lukea verkossa ) , chap. 11 (“Schwarzschildin mustat aukot”), § 11.9 (“Kruskal-koordinaatit”), s. 261-267.
[Misner, Thorne ja Wheeler 1973] (en) Ch. W. Misner , KS Thorne ja JA Wheeler , gravitaatio ["Gravitaatio"], San Francisco, WH Freeman , hors coll. ,1973, 1 st ed. , 1 til. , XXVI -1279 Sivumäärä , sairas. , 26 cm ( ISBN 0-7167-0334-3 ja 0-7167-0344-0 , EAN 9780716703440 , OCLC 300307879 , ilmoitusta BNF n o FRBNF37391055 , Bibcode 1973grav.book ..... M , SUDOC 004830148 , lukea verkossa ) , s. 827 ja s. 831-836.
[Taillet, Villain ja Febvre 2018] R. Taillet , L. Villain ja P. Febvre , Fysiikan sanakirja , Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup. , paitsi coll. ,Tammikuu 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Toukokuu 20081 til. , X -956 Sivumäärä , sairas. ja kuva. , 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , SUDOC 224228161 , online-esitys , lue verkossa ) , sv Kruskal-Szekeres (yhteystiedot), s. 414-415.

Ulkoinen linkki

[Szeftel 2013] J. Szeftel , " Johdatus yleiseen suhteellisuusteoriaan matemaattisesta näkökulmasta ", École-polytekniikan Gargantuan pohja ,Joulu 2013, 79 Sivumäärä , luku. 6 ("Esimerkkejä eksplisiittisistä ratkaisuista"), lahko. 6.2 (”Schwarzschild-ratkaisu”), 6.2.1. (“Ratkaisu ja suurin laajennus”), s. 59-61 ( lue verkossa ).