Cohnin pelkistämättömyyskriteeri

In polynomi aritmeettinen , Cohnin irreducibility kriteeri on riittävä ehto varten polynomi , jossa on kokonaisluku kertoimia olla redusoitumaton .

Osavaltiot

Jos alkuluku $p on$ kirjoitettu peruskymmeneen muodossa

p = a_ {m} 10 ^ {m} + a _ {{m-1}} 10 ^ {{m-1}} + \ pistettä + a_ {1} 10 + a_ {0} {\ teksti {kanssa} } 0 \ leq a_ {k} \ leq 9

sitten polynomi

a_ {m} X ^ {m} + a _ {{m-1}} X ^ {{m-1}} + \ ldots + a_ {1} X + a_ {0}

on lukukelvoton sisään . $\ mathbb {Z} [X]$

Tämä lause yleistetään muille perusteille : Kaikille kokonaisluvuille $b$ ≥ 2 muodon polynomi $P (X) = a_ {m} X ^ {m} + a _ {{m-1}} X ^ {{m-1}} + \ ldots + a_ {1} X + a_ {0} {\ teksti {kanssa}} 0 \ leq a_ {k} \ leq b-1$ on pelkistämätön heti, kun $P$ $($ $b$ $)$ on prime. $\ mathbb {Z} [X]$

Historialliset muistiinpanot

Pohja 10 versio johtuu Arthur Cohn - opiskelija Issai Schur - by Pólyan ja Szego- ja yleistys tahansa pohja $b$ ≥ 2 johtuu Brillhart , Filaseta ja Odlyzko .

Vuonna 2002 herra Ram Murty (in) toimitti yksinkertaistetun todisteen ja historialliset yksityiskohdat tästä lauseesta, osoittaen myös seuraavan variantin: Joko ja . ${\ displaystyle P (X) = a_ {m} X ^ {m} + a_ {m-1} X ^ {m-1} + \ ldots + a_ {1} X + a_ {0} \ sisään \ mathbb { Z} _ {m} [X]}$ ${\ displaystyle H = \ max _ {0 \ leq i <m} | a_ {i} / a_ {m} |}$ Jos on olemassa kokonaisluku $b \geq H + 2$ siten, että $P ( b )$ on alkuluku, niin $P: tä$ ei voida lukea luvulla ℤ.

Esittely

Syy mukaan contraposition , olettaen $P olla$ pelkistyvät ja osoittaa, että sen jälkeen, sillä mikä tahansa kokonaisluku $b \geq H + 2$ , $P ( b )$ on koostuu .

Olkoon siis sellainen, että $P = QR$ . ${\ displaystyle Q, R \ sisään \ mathbb {Z} [X] \ setminus \ {- 1,0,1 \}}$

Jos $Q$ ei ole vakio, niin , koska jokainen on $P:$ n juuri , (vrt . Todellisen tai kompleksisen polynomin # A ensimmäinen estimaatti ) . ${\ displaystyle Q = c \ prod _ {i} (X- \ alpha _ {i})}$ $\ alpha_i$ ${\ displaystyle | \ alpha _ {i} | <H + 1}$ ${\ displaystyle | Q (b) | \ geq \ prod _ {i} (b- | \ alpha _ {i} |)> \ prod _ {i} (H + 2-H-1) = 1}$
Jos $Q$ on vakio silloin ja meillä on ilmeisesti vielä $|$ $Q$ $($ $b$ $) |$ $> 1$ . ${\ displaystyle Q \ sisään \ mathbb {Z} \ setminus \ {- 1,0,1 \}}$

Samat perustelut ja $R$ , niin $P ( b ) = Q ( b ) R ( b )$ kanssa $| Q ( b ) |, | R ( b ) | > 1$ .

Huomautuksia ja viitteitä

( fr ) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan peräisin englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista ” Cohnin irreducibility-kriteeri ” ( katso luettelo kirjoittajista ) .

Älä sekoita Paul Cohniin .
(in) " Arthur Cohn " puolesta verkkosivuilla matematiikan Sukututkimus Project .
(De) George Pólya ja Gábor Szegő , Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis , voi. II, Springer ,1971, 4 th ed. ( 1 st toim. 1925) ( lue linja ) , s. 351- käännös: (en) George Pólya ja Gábor Szegő, Problems and Theorems in Analysis , voi. II, Springer,1976( lue verkossa ) , s. 330.
(sisään) John Brillhart, Michael ja Andrew Odlyzko Filaseta, " A. Cohnin lukemattomuuden teoreemasta " , CJM , voi. 33, n o 5,yhdeksäntoista kahdeksankymmentäyksi, s. 1055-1059 ( lue verkossa ).
(in) M. Ram Murty, " alkulukuja ja redusoitumatonta polynomit " , Amer. Matematiikka. Kuukausi. , voi. 109, n ° 5,2002, s. 452-458 ( lue verkossa [dvi]).

Aiheeseen liittyvät artikkelit