Säännöllinen dodekaedri

Säännöllinen dodekaedri


Tyyppi	Platoninen kiinteä aine
Kasvot	12 säännöllistä viisikulmaista
Reunat	30
Pisteet	20
Kasvot / kärki	3
Ominaisuus	2

Schläfli-symboli	{5.3}
Wythoff-symboli	3
Coxeter-Dynkin-kaavio
Dual	Ikosahedron
Symmetriaryhmä	Minä h
Äänenvoimakkuus	${\ displaystyle {\ tfrac {15 + 7 {\ sqrt {5}}} {4}} a ^ {3}}$
Alue	${\ displaystyle 3 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} a ^ {2}}$
Dihedraalinen kulma	arccos (-1 / √ 5 ) ( 116.565 05 ° )
Ominaisuudet	Kupera , säännöllinen

Säännöllinen dodekaedri on dodekaedri jonka 12 kasvot ovat säännölliset viisikulmioilla . Siinä on 30 reunaa ja 20 kärkeä . Se on yksi Platonin viidestä kiinteästä aineesta . Siinä on ympärillä oleva pallo, joka kulkee 20 kärjensä läpi, ja kaiverrettu pallo, joka koskettaa sen 12 pintaa.

Koska siinä on 5 kärkeä kasvoja kohden ja 3 kasvoja kutakin kärkeä kohti, sen Schläfli-symboli on {5.3}.

Etuliite dodeca- , muinaiskreikan kielellä kaksitoista , viittaa kasvojen määrään. Sen kaksoispoledriini on tavallinen ikosaedri .

Tyypilliset määrät

Jos $a$ on reunan pituus:

sen ympärillä olevan pallon säde on: missä on kultainen luku ; ${\ displaystyle R = {\ sqrt {3}} \; {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {4}} \; a = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \; \ varphi \; a}$ ${\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$
sen pinta-ala on :; ${\ displaystyle A = 3 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} \; a ^ {2} = 3 {\ sqrt {5 (3 + 4 \ varphi)}} \; a ^ { 2}}$
sen tilavuus on :; ${\ displaystyle V = {\ frac {15 + 7 {\ sqrt {5}}} {4}} \; a ^ {3} = {\ frac {4 + 7 \ varphi} {2}} \; a ^ {3}}$
sen diedrikulma (kahden kasvot) on :; ${\ displaystyle \ arccos \ left (- {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ right) = \ operaattorin nimi {arccot} \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ simeq 116 {,} 565 ^ {\ circ}}$
20 koordinaattipistettä ovat säännöllisen dodekaedrin pisteet, jotka ovat keskittyneet alkupisteeseen ja reunaan . ${\ displaystyle \ left (0, \ pm {\ frac {1} {\ varphi}}, \ pm \ varphi \ right), \ quad \ left (\ pm {\ frac {1} {\ varphi}}, \ pm \ varphi, 0 \ right), \ quad \ left (\ pm \ varphi, 0, \ pm {\ frac {1} {\ varphi}} \ right), \ quad (\ pm 1, \ pm 1, \ pm 1)}$ ${\ displaystyle a = {\ frac {2} {\ varphi}}}$

Symmetriat

Dodekaedri myöntää symmetriakeskuksen.

Isometries jättää säännöllisen dodekaedria maailmanlaajuisesti invariant muodostavat ryhmän . Tämä ryhmä sisältää:

kahden vastakkaisen kärjen läpi kulkevan akselin ja kulman 2π / 3 tai 4π / 3 (120 ° ja 240 °) kiertymät. Vastakkaisia pisteitä on 10 paria, joten 20 tämän tyyppistä kierrosta;
kahden vastakkaisen pinnan ja kulman 2π / 5, 4π / 5, 6π / 5 tai 8π / 5 (72 °, 144 °, 216 ° ja 288 °) keskipisteen läpi kulkevat akselin pyörimiset. Koska vastakkaisia pintoja on 6 paria, tämän tyyppisiä kierroksia on 24;
kulman π (180 °) kiertymät akselin ympäri kahden vastakkaisen reunan keskiosan läpi (nämä käännökset ovat myös aksiaalisia symmetrioita). Vastakkaisia reunoja on 15 paria, ja tämän vuoksi 15 tämän tyyppistä kierrosta;
symmetria s sen keskipisteen suhteen;
symmetriat keskuksen läpi kulkevan tason suhteen ja kohtisuorassa jompaankumpaan edellä mainituista 15 akselista;
jne.

Tunnisteen kanssa, 20 + 24 + 15 kierrosta totesi muodossa alaryhmä 60 elementtien isomorfinen on vuorottelevien ryhmä 5 . Mikä tahansa kierto tosiasiallisesti läpäisee dodekahedronin muodostavat viisi kuutiota, ja päinvastoin, mikä tahansa viiden kuution tasainen permutaatio määrittelee yhden kierroksen.

Samoin identiteetti ja symmetria s muodostavat toisen alaryhmän, jota merkitään C2: lla .

Mainittu isometriaryhmä on sen kahden alaryhmän tulo; ${\ displaystyle I_ {h}}$

se sisältää 120 elementtiä.

Erilaiset ominaisuudet

Säännöllinen dodekaedri ja säännöllinen ikosaedri ovat kaksoisvuorot toisistaan, toisin sanoen, että monikulmio, jonka kärjissä on toisen pintojen keskipisteet, on toisen homoteettinen.

Säännöllisen dodekaedrin luuranko - sen reunojen yhdistämä pisteiden joukko - muodostaa kaavion, jota kutsutaan dodekaedrikäyräksi .

Platon asetti dodekaederin kirjeenvaihtoon kokonaisuuden kanssa, koska se on kiinteä, joka muistuttaa eniten palloa. Aristoteles nimesi tämän Fifth Element, aithêr ( eetteri latinaksi, "eetteri" ranskaksi) ja olettaisi, että maailmankaikkeus oli tehty tämän elementin, ja että se oli huomattava kaikille muille, että se sisälsi ne kaikki.

Symmetriakeskuksen olemassaolon osoittaminen

Olkoon O dodekahedronin keskipiste (pisteiden välinen etäisyys sen kärjistä) ja A: n kärki. Suora OA leikkaa dodekaedrin toisessa pisteessä K, joka on joko kasvojen keskipiste, reunan tai kärkipisteen keskipiste. Kuitenkin akselin OA ja vastaavien kulmien 1/3 ja 2/3 käännökset kääntävät dodekaederin itseksi. K voi siis olla vain kärkipiste, ja kärkipisteen A symmetrinen O: n suhteen on kärkipiste K.

Dodekaedri sallii viisi kolmiota ortogonaalisia tasoja, jotka kulkevat keskuksen läpi ja jotka ovat kukin dodekaedrin symmetriatasoista.

Esittely

Olkoon AB reuna keskellä M ja KL symmetrinen AB: n reuna keskipisteen O suhteen.

O: n läpi kulkevan OM: iin nähden kohtisuoran tason symmetria on akselin OM puolikäännöksen pyörimisen tulo keskipisteen O symmetrian avulla.

O: n läpi kulkevan ja AB: n kanssa yhdensuuntaisen akselin symmetria S, joka muuttaa AB: n LK: ksi, on osa puolikierroksen H-ryhmän 15 kierrosta, jotka säilyttävät dodekahedronin. Symmetria suhteessa O: n läpi kulkevaan tasoon ja kohtisuoraan AB: hen on S: n tulo symmetrialta keskipisteen O kanssa.

O: n läpi kulkevan ja tasoon AOB kohtisuorassa olevan akselin symmetria T, joka muuttaa AB: n KL: ksi, on osa dodekahedronia säilyttävän puolikierroksen ryhmän H 15 kierrosta. Symmetria suhteessa AOB: n läpi kulkevaan tasoon on T: n tulo keskuksen O symmetrialla

Kolme kohtisuoraa O: n läpi kohtisuoraa tasoa, jotka ovat kohtisuorassa OM: n kanssa, AB: hen ja kahteen edelliseen, ovat siis kolme dodekaedrin viidestätoista symmetriatasosta. Neljä kiertokulmaa 1/5, 2/5, 3/5 ja 4/5 kierrosta, yhteisen akselin kanssa pinnan kanssa, joka sisältää A ja ei sisällä B: tä, saadaan neljä muuta kolmiota ortogonaalisista symmetriatasoista.

Rakentaminen

1. Kolmen ensimmäisen pinnan rakentaminen.

Olkoon ABCDE säännöllinen viisikulmio, joka muodostaa ensimmäisen pinnan F1, keskipisteen O ja pituuden a reunan kanssa. Tasossa ABC kohtisuorassa oleva E: n läpi kulkeva AB leikkaa H: n suoran OA. OAH: n läpi kulkevassa ja kohtisuorassa tasoon ABC nähden G on yksi kahdesta kohtisuoran leikkauspisteestä tasossa H ympyrän keskellä A ja säde a. Pisteet E ja G ovat samassa tasossa kohtisuorassa AB: n kanssa ja samalla etäisyydellä AB: stä. Siksi on akselin AB kiertymä, joka muuttaa E: n G: ksi. Olkoon F3 tämän kiertymän F1: n muunnos: se on säännöllinen viisikulmio, jolla on yhteinen reuna AB F1: n kanssa. Olkoon F2 F3: n symmetrinen OAG-tason suhteen: se on säännöllinen viisikulmio, jolla on yhteinen reuna AB F1: n kanssa ja jolla on yhteinen reuna AG F3: n kanssa.

2. Seuraavien kolmen pinnan rakentaminen.

Olkoon R O: n läpi kulkevan ja kohtisuorassa tasoon ABC kuluvan akselin kiertymä ja 1/5 kierrosta. Se muuntaa pinnan F2 kasvoksi F3, koska tasot EAG ja ABG muodostavat saman kulman tason ABC kanssa. Anna F4, F5 ja F6 olla muunnoksessa F2 vastaavien kierrosten R 2 , R 3 ja R 4 . F2 on yhteinen reuna F3, joten F6 on yhteinen reuna R 4 (F3), joka on yhtä suuri kuin R 5 (F2), tai F2.

3. Viimeisten kuuden pinnan rakentaminen.

Olkoon S akselin kierto, joka kulkee pinnan F2 keskipisteen läpi ja kohtisuorassa sitä, ja 1/5 kierrosta. Se muuntaa kasvot F1 ja F3 vastaavasti kasvoiksi F6 ja F1, koska F1-, F3- ja F6-tasot muodostavat saman kulman F2-tason kanssa. Pinnalla F4 on lisäksi yhteinen reuna F1: n kanssa ja yhteinen reuna F3: n kanssa, mutta ei yhteistä reunaa F2: n kanssa. Sen muunnoksella S (F4) on siis yhteinen reuna F6: n ja F1: n kanssa, mutta mikään F2: n kanssa: se on siis F5.

Anna F7 ja F8 olla muunnoksessa F1 vastaavien kierrosten S 2 ja S 3 . F1: llä on yhteinen reuna F6: n kanssa, F8: lla on yhteinen reuna F3: n kanssa.

Anna F9, F10 ja F11 on muunnoksessa F4 vastaavilla kierrosta S 2 , S 3 ja S- 4 . F4: llä on F5: n kanssa yhteinen reuna, F11: llä on F4: n kanssa yhteinen reuna.

Reuna F4, joka ei ole yhteistä minkä tahansa kymmenen muuta kasvoja aiemmin on määritelty, muunnetaan S, S 2 , S 3 ja S- 4 osaksi reuna vastaavasti F5, F9, F10, ja F11, jotka ovat samassa tasaiseksi ja muodostavat säännöllisen viisikulmion, dodekaedrin kahdestoista kasvot.

Käyttää

Keskiaikainen runoilija Jean de Meung ( 1240 - 1305 ) kuvasivat divinatory lautapeli , nimeltään "dodechedron", joka käyttää noppaa muotoinen säännöllinen dodekaedri, kaikkien kahdentoista kasvot, joka on yksi merkeistä merkki .

Megaminx on palapelin johdettu Rubikin kuution muotoinen säännöllinen dodekaedri.

Jotkut pöytälevyn roolipelit käyttävät 12-puolisia noppia pelijärjestelmässään toiminnan ratkaisemiseksi. Nämä 12-puoliset nopat ovat dodekaedreja.

Huomautuksia ja viitteitä

Jean de Meung, Le dodechedron de Fortune: kirja yhtä miellyttävä ja vapaa, kuin hienovarainen ja nerokas välillä kaikki pelit ja kuluttaa aikaa onnen , Nicolas Bonfons , Pariisi, 1577 .