Määritys (joukko teoria)

Määritys on alikunta on joukko teorian , sivuliikkeen matematiikan, jossa tarkastellaan, millä edellytyksillä joko pelaaja peliin on voittostrategia sekä seurauksia tällaisista strategioista. Vaihtoehtoisesti ja vastaavasti "determinismi" on pelin ominaisuus, jossa tällainen strategia on olemassa.

Sarjateoriassa tutkitut pelit ovat yleensä Gale - Stewart Games - kahden pelaajan täydellistä tietoa sisältävät pelit, joissa pelaajat tekevät loputtoman sarjan liikeita eikä tasapeliä ole. Alalla teorian ja pelien tutkimusten yleisemmän tyyppisiä pelejä, kuten pelejä tulosteita, kuten Ristinolla The epäonnistumiset tai loputon shakki tai pelejä epätäydellisen informaation kuten pokeria .

Perusasiat

Pelit

Ensimmäinen pelityyppi, jota aiomme harkita, on täydellinen informaatio kahden pelaajan peli , jonka pituus on ω , jossa pelaajat pelaavat luonnollisia numeroita . Näitä pelejä kutsutaan usein nimellä Gale - Stewart.

Tämäntyyppisessä pelissä on kaksi pelaajaa, usein nimetty I ja II , jotka vuorotellen pelaa luonnolliset luvut, joissa olen aloittaa. He soittavat "ikuisesti"; eli heidän pelinsä indeksoidaan luonnollisilla numeroilla. Kun ne on tehty, ennalta määrätty ehto päättää voittaneen pelaajan. Tätä ehtoa ei saa määritellä määriteltävällä säännöllä ; se voi olla yksinkertaisesti mielivaltainen (äärettömän pitkä) hakutaulukko, joka osoittaa, kuka voitti tietyn pelisarjan.

Formaalisemmin Tarkastellaan osajoukko on tilaa ja Baire ; Muistakaamme, että jälkimmäinen koostuu kaikista luonnollisten numeroiden numerosekvensseistä. Sitten peli G A I pelata luonnollinen luku 0, sitten II pelaa 1, niin minä pelata 2, ja niin edelleen. Joten en voittaa pelin, jos ja vain jos

${\ displaystyle \ langle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots \ rangle \ sisään A}$

ja jos ei, minä voittaa. Kutsuu sitten joukko on vahvistus G A.

Oletetaan, että jokainen pelaaja näkee kaikki liikkeet, jotka edeltävät jokaista liikkeensä, ja että he tietävät myös voittotilan.

Strategiat

Epävirallisesti pelaajan strategia on tapa pelata, jossa pelit määräytyvät kokonaan aiempien pelien perusteella. Jälleen tällaisen "polun" ei tarvitse välttämättä olla kiinni selitettävällä "säännöllä", vaan se voi olla yksinkertaisesti hakutaulukko.

Muodollisemmin pelaaja I: n strategia (edellisessä alaosassa tarkoitetulle pelille) on toiminto, joka hyväksyy argumenttina minkä tahansa rajallisen, luonnollisen, tasaisen pituisen sarjan, ja palauttaa luonnollisen luvun. Jos σ on tällainen strategia ja <..., > on sarja pelejä, niin σ <..., > on seuraava peli I 'm menossa pelaamaan, jos se seuraa strategiaa σ. II: n strategiat ovat samat, korvaamalla "pariton" sanalla "parillinen".

Huomaa, että me ei sanonut mitään, mutta, onko strategia on vain hyvä järkeä. Strategia voi pakottaa pelaajan tekemään aggressiivisia huonoja laukauksia, ja se olisi silti strategia. Itse asiassa ei ole edes välttämätöntä tietää pelin voittotilannetta, tietää mitä strategioita pelille on olemassa.

Voittavat strategiat

Strategia voittaa, jos sitä noudattavan pelaajan on välttämättä voitettava riippumatta siitä, mitä vastustaja pelaa. Esimerkiksi, jos σ on strategia, I , sitten σ on voittava strategia I pelin G , jos jostakin sekvenssin luonnollisia lukuja voidaan soittaa II , eli <a 1 , joka on 3 , joka on 5 ,. ..>, kappaleiden järjestys, jonka σ tuottaa, kun II soittaa näin, nimittäin

${\ displaystyle \ langle \ sigma (\ langle \ rangle), a_ {1}, \ sigma (\ langle \ sigma (\ langle \ rangle), a_ {1} \ rangle), a_ {3}, \ ldots \ rangle }$

on A: n osa .

Määrätietoiset pelit

Peli (luokat) määritetään, jos jokaiselle pelaajalle (joka ei välttämättä ole sama pelaaja kullekin esiintymälle) on voittava strategia kaikissa pelitilanteissa. Huomaa, että molemmille pelaajille ei voi olla voittavaa strategiaa samasta pelistä, koska jos sellainen on, näitä kahta strategiaa voidaan pelata toisiaan vastaan. Saatu tulos olisi tällöin hypoteesilla molempien pelaajien voitto, mikä on mahdotonta.

Määrittäminen alkeellisista näkökohdista

Kaikki valmiit, täydellistä tietoa sisältävät pelit, joissa ei ole arvonta, määritetään.

Todelliset täydellisen tiedon pelit, kuten tik-tac-toe , shakki tai ääretön shakki , päättyvät aina rajalliseen määrään liikkeitä (shakkipeleissä tämä edellyttää, että 50 siirron sääntöä sovelletaan). Jos tällaista peliä muutetaan niin, että tietty pelaaja voittaa kaikissa olosuhteissa, joissa sitä olisi kutsuttu tasapeliksi, päätös tehdään. Ehto, että peli on aina ohi (eli että kaikki mahdolliset äärellisen sijainnin laajennukset johtavat voittoon samalle pelaajalle) rajallisessa määrässä liikkeitä, vastaa topologista ehtoa, että joukko A, joka antaa voiton ehdon G A: lle, on suljettu. että topologia on tilaa ja Baire .

Esimerkiksi shakkisääntöjen muuttaminen siten, että piirretyt pelit ovat Blackin voitto, tekee shakista päättäväisen pelin. Osoittautuu, että shakilla on rajallinen määrä asemia ja tasapelisääntö. Joten näiden muutettujen sääntöjen avulla, jos peli jatkuu riittävän kauan ilman Whitein voittoa, Black voi pakottaa voiton (heiton muutoksen vuoksi). = voittaa mustalle).

Todiste siitä, että tällaiset pelit määräytyvät on varsin yksinkertainen: pelaaja, minä vain pelaan , jotta ei menetä ; eli hän pelaa varmistaa Player II ei ole voittostrategia jälkeen minun ammuttu. Jos en pysty siihen, se tarkoittaa, että pelaaja II: lla oli alusta alkaen voittava strategia. Toisaalta, jos pelaaja, jonka voin pelata tällä tavalla, hänen on voitettava, koska peli on ohi lopullisen määrän siirtoja eikä hän voi olla hävinnyt siihen mennessä.

Tämä todiste ei vaadi, että peli päättyy aina rajalliseen määrään siirtoja, vaan vain rajalliseen määrään liikkeitä, kun Hän voittaa. Tämä ehto on topologisesti se, että joukko A on suljettu . Tätä tosiasiaa - että kaikki suljetut pelit määritetään - kutsutaan Gale - Stewart-lauseeksi . Huomaa, että symmetrian avulla määritetään myös kaikki avoimet välykset. (Peli on avoin, jos voin voittaa vain voittamalla lopullisen määrän siirtoja.)

ZFC: n määrittäminen

Gale ja Stewart ovat osoittaneet, että sekä avoimet että suljetut pelit ovat tarkoituksenmukaisia. Päätöksen Borelin hierarkian toiselle tasolle osoitti Wolfe vuonna 1955. Seuraavien 20 vuoden aikana yhä monimutkaisempien argumenttien avulla tehdyt lisätutkimukset osoittivat, että Borelin hierarkian kolmas ja neljäs taso määritettiin.

Vuonna 1975 Donald A.Martin osoitti, että kaikki Borelin pelit oli määritetty. että on, jos on Borel osajoukko Baire tilaa, niin G määritetään. Tämä Borelin määritykseksi kutsuttu tulos on paras mahdollinen määritystulos, joka voidaan todistaa ZFC: ssä , koska seuraavan korkeamman Wadge-luokan määritystä ei voida todistaa ZFC: ssä.

Vuonna 1971, ennen kuin Martin sai todisteensa, Harvey Friedman osoitti, että Borelin päättäväisyyttä osoittavien todisteiden oli käytettävä korvaavaa aksiomia välttämättömällä tavalla voidakseen toistaa voima-aksiooman äärettömällä tavalla . Friedmanin työ antaa taso kerrallaan tuloksen, jossa esitetään yksityiskohtaisesti tarvittavan voimaksiooman iterointien määrä Borelin hierarkian kullakin tasolla päättämisen varmistamiseksi .

Kunkin kokonaisluku n , ZFC \ P osoittaa määrittämiseen n- nnen hierarkiatason ero sarjaa, mutta ZFC \ P ei osoita, että mikä tahansa kokonaisluku n n : nnen hierarkiatasolla ero asetetaan määritetään. Katso käänteisestä matematiikasta muut määrityksen ja toisen asteen aritmeettisten alijärjestelmien väliset suhteet. ${\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {3} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {3} ^ {0}}$

Päättäväisyys ja suuret kardinaalit

Päättäväisyyden ja suurten kardinaalien välillä on läheinen suhde . Yleensä suuret kardinaali aksioomat todistaa vahvempi päättäväisesti pistettä luokissa enemmän suuria , korkeammalle hierarkiassa Wadge sekä määritetään näiden pisteiden luokkien todistaa olemassaolon sisäisten mallien suuren kardinaali aksioomat joidenkin heikompia kuin käytetään todistamaan pointclass päättäväisyyttä ensiksi .

Mitattavat kardinaalit

Mitattavan kardinaalin olemassaolosta seuraa, että jokainen analyyttinen peli (jota kutsutaan myös Σ 1 1 -peliksi) määritetään tai että kukin vastaava koanalyyttinen (tai Π 1 1) peli määritetään. (Katso määritelmät kohdasta Projektiivinen hierarkia .)

Todellisuudessa mitattava kardinaali on enemmän kuin tarpeeksi. Heikompi periaate - 0 #: n olemassaolo riittää todistamaan koanalyyttisen määrityksen, ja vähän enemmän: tarkka tulos on, että 0 #: n olemassaolo vastaa erojen hierarkian kaikkien tasojen määrittämistä tason 2 alapuolella , Olkoon kullekin determ · n- Π 1 1 määritys . $ei$

Mitattavasta kardinaalista voimme parantaa tätä määritystä hyvin vähän, kunnes määritetään ω 2 - Π 1 1 . Mitattavampien kardinaalien olemassaolosta voimme todistaa erohierarkian useiden tasojen määritettävyyden Π 1 1: llä.

Todiste terävyyden määrittämisestä

Kunkin reaaliluku r , määritys on vastaava olemassa r # . Havainnollistamaan kuinka suuret kardinaalit johtavat determinismiin, tässä on todiste päättäväisyydestä, kun otetaan huomioon r #: n olemassaolo . ${\ displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {1} (r)}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {1} (r)}$

Olkoon BE osajoukko Baire tilaa. A = p [ T ] puulle T (rakennettavissa r: stä ) päälle (, ω). (Tämä on x A, jos ja jos y , on polku T.: n läpi . ) ${\ displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {1} (r)}$ ${\ displaystyle ((x_ {0}, y_ {0}), (x_ {1}, y_ {1}), ...)}$

Annetaan osajoukko s , anna olla T: n osapuu, joka on yhteensopiva s: n kanssa, jolle max (y 0 , y 1 , ..., y len (s) -1 ) <len (s). Lisäehto takaa, että se on valmis. Johdonmukaisuus tarkoittaa, että kukin reitti on muotoa , jossa on ensimmäinen segmentti s . $T_ {s}$ $T_ {s}$ $T_ {s}$ ${\ displaystyle ((x_ {0}, y_ {0}), (x_ {1}, y_ {1}), ..., (x_ {i}, y_ {i})}}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, ..., x_ {i})}$

Todistaaksesi, että A on määritetty, määritä apusarja seuraavasti:

Tavallisten liikkeiden lisäksi pelaajan 2 on pelattava kartoitus ortaaleihin (riittävän suuren asteikon κ alla), kuten $T_ {s}$

jokainen uusi liike pidentää edellistä kartoitusta ja
ordinaalien järjestys on Kleene - Brouwer le -järjestyksen mukainen . $T_ {s}$

Muistakaamme, että Kleene - Brouwer-järjestys on samanlainen kuin leksikografinen järjestys, paitsi että jos s ulottuu oikein t, niin s < t . Se on hyvin järjestetty, jos puu on perustettu.

Apupeli on avoinna. Todiste: Jos pelaaja 2 ei häviä loppuvaiheessa, kaikkien liitto (joka on peliä vastaava puu) on perusteltu ja ei-apupelin tulos ei siis ole A: ssa. $T_ {s}$

Täten määritetään lisäetäisyys. Todiste: Laske äärettömällä induktiolla kullekin järjestyslukemalle α joukko paikkoja, joissa pelaaja 1 voi pakottaa voiton vaiheissa α, jossa pelaajan 2 häviävä sijainti häviää (pelaajalle 2) αsi-lisäyksin, jos ja jokaisen osuman kohdalla tulos häviää alle α. Yksi strategia pelaajalle 1 on vähentää α: ta kussakin paikassa (esimerkiksi valita pienin α ja rikkoa siteet valitsemalla vähiten liikettä), ja pelaaja 2: n strategiana on valita heikoin liike (todellisuudessa mikä tahansa työ, joka ei johda) asentoon, jolle on annettu α. Huomaa, että L ( r ) sisältää kaikki voittopositiot sekä yllä esitetyt voittostrategiat.

Alkuperäisen pelin voittajastrategia johtaa voittajastrategiaan apupelissä: voittoprategiaa vastaava T: n osapuu on hyvin perusteltu, joten pelaaja 2 voi valita ordinaalit puun Kleene - Brouwer järjestyksen perusteella. Lisäksi, triviaalisti, pelaajan 2 voittajastrategia apupelissä johtaa voittajastrategiaan pelaajalle 2 alkuperäisessä pelissä.

Vielä on osoitettava, että r #: lla edellä mainittu apupelin pelaaja 1: n strategia voidaan muuntaa alkuperäisen pelin voittavaksi strategiaksi. Jos apuvasteessa käytetään vain erottamattomia ordinaaleja , pelaajan (erotettavissa olevat) liikkeet eivät riipu lisäliikkeistä, joten strategia voidaan muuntaa alkuperäisen pelin strategiaksi (koska pelaaja 2 voi pysyä erottamattomana määrällisessä määrässä vaiheita). Oletetaan, että pelaaja 1 häviää alkuperäisessä pelissä. Näytelmää vastaava puu on sitten hyvin perusteltu. Siksi pelaaja 2 voi voittaa apupelin käyttämällä apuliikkeitä, jotka perustuvat erottamattomiin osiin (koska välttämättömien järjestystyyppi ylittää puun Kleene - Brouwer -järjestyksen), mikä on ristiriidassa apupelin voittavan pelaajan 1 kanssa.

Woodinin kardinaalit

Jos on kardinaali Woodin, jonka yläpuolella on mitattava kardinaali, niin 1 Π 2 määritettävyys pätee. Yleisemmin, jos on n Woodin-kardinaalia, joiden mitattava kardinaali on ennen kaikkea, niin determinni 1 n + 1 -määritys on pätevä. Alkaen determ 1 n + 1 määritys, siitä seuraa, että on olemassa sisäinen transitive mallin , joka sisältää n Woodin kardinaalit. {\ displaystyle \ Delta _ {2} ^ {1}} Määritys (valopinta) vastaa Woodin-kardinaalin määritystä. Jos määritys on pätevä, x : n Turingin kartion (eli minkä tahansa todellisen x: n kanssa, jolla on riittävän korkea Turingin aste ) L [ x ] tyydyttää OD: n määrityksen (ts. Pelien määrittämisen kokonaislukujen yli ja järjestyksessä määritettävissä) voitto), ja HOD: ssa L [ x ] on Woodin-kardinaali. ${\ displaystyle \ Delta _ {2} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {2} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2} ^ {L [x]}}$

Projektiivinen määritys

Jos Woodin-kardinaaleja on ääretön, projektiivinen määritys on voimassa; eli määritetään jokainen peli, jonka voittava ehto on projektiivinen sarja . Projektiivisesta determinismistä seuraa, että minkä tahansa luonnollisen luvun n kohdalla on olemassa sisäinen transitiivinen malli, joka varmistaa n Woodin-kardinaalin läsnäolon .

Päättämisen aksioma

Aksiooma määrityksen tai AD todetaan, että jokainen kahden pelaajan peli sisältää täydellisen tietojen pituudesta ω, jossa pelaajat pelaavat luonnollisesti määritetään.

AD on selvästi väärä ZFC: ltä; valitsemamme aksiooman avulla voimme todistaa määrittelemättömän pelin olemassaolon. Jos kuitenkin on ääretön määrä ylittämättömiä Woodin-kardinaaleja, L (R) on ZF: n malli, joka tyydyttää AD: n.

Determinismin seuraukset

Todellisuusjoukkojen säännöllisyysominaisuudet

Jos on osajoukko Baire avaruudessa siten, että Banach - Mazur peli varten määritetään sitten joko II on voittostrategia, jolloin on laiha , tai minä on voittostrategia, jolloin on erilainen joidenkin . avoin naapurusto.

Tämä ei välttämättä tarkoita, että A: lla on Bairen ominaisuus , mutta lähestyy: argumentin yksinkertainen muokkaus osoittaa, että jos Γ on riittävä pisteiden luokka siten, että jokainen setjoukko määritetään, niin jokainen Γ: n reaalijoukko omistaa kirjoittanut Baire.

Itse asiassa tämä tulos ei ole optimaalinen. Tarkastelemalla Banach - Mazurin avautunutta joukkoa voimme osoittaa, että Γ: n määrittäminen (Γ: lle, jolla on riittävät sulkeutumisominaisuudet) tarkoittaa, että jokaisella reaalilukujoukolla, joka on joukon ection projektio , on Baire-ominaisuus. Niin, esimerkiksi, että on olemassa mitattavissa Cardinal merkitsee määritys Π 1 1 , mikä tarkoittaa, että jokainen Σ 1 2 sarja reals on Baire ominaisuus.

Kun otetaan huomioon muut pelit, voimme osoittaa, että Π 1 n: n määrittäminen tarkoittaa, että jokaisella reaaliryhmällä reaali 1 n +1 on Bairen ominaisuus, Lebesgue voi mitata (itse asiassa yleisesti mitattavissa ) ja että sillä on ominaisuus d täydellinen joukko .

Jaksollisuuslauseet

Ensimmäinen jaksollisuuden lause merkitsee sitä, että kunkin luonnollinen luku n, jos Δ 1 2 n + 1 determinability omistaa, sitten Π 1 2 n + 1 ja Σ 1 2 n + 2 on prewellordering ominaisuus (ja että Σ 1 2 n + 1 ja Π 1 2 n +2: lla ei ole ennakkotilausominaisuutta, vaan pikemminkin erotusominaisuus ).
Toinen jaksollisuuden lause merkitsee, että kunkin luonnollinen luku n, jos Δ 1 2 n + 1 determinability omistaa, sitten 1 Π 2 n + 1 ja Σ 1 2 n on ominaisuus mittakaavassa . Erityisesti, jos projektiivista determinismiä kunnioitetaan, jokaisella projektiivisella suhteella on projektiivinen yhdenmukaistaminen .
Kolmas jaksotus Lause antaa riittävä edellytys peli on määriteltävissä voittoisa strategia.

Sovellukset tiettyjen toisen asteen teorioiden ratkaistavuuteen

Vuonna 1969 Michael O. Rabin osoitti, että n toisen seuraajan toisen asteen teoria on ratkaistavissa . Keskeinen osa näyttöä on osoittaa määrittämiseksi ja pariteetti pelejä , jotka sijaitsevat kolmannen tason Borel hierarkian .

Wadgen määritys

Wadge määritys on mainittava, että kaikki parit A, B subsets of Baire tilaa , Wadge set G (A, B) määritetään. Samoin pisteiden luokan osalta määritetään Wadge-määritys on lause, että kaikille joukoille A, B sisään määritetään Wadge-joukko G (A, B).

Määrittämiseksi Wadge liittyy periaate on osittain - lineaarinen luokittelu varten järjestyksessä Wadge . Toinen seuraus Wadgen päättäväisyydestä on täydellinen asetettu ominaisuus .

Yleensä ad-wadin määrittäminen on seurausta Boolen joukkoyhdistelmien määrittämisestä. Vuonna projektiivisen hierarkia , Π 1 1 Wadge determinity vastaa Π 1 1 determinity, niin kuin on osoitettu Harrington. Hjorth laajensi tätä tulosta osoittaakseen, että Π 1 2 Wadge -määritettävyys (ja itse asiassa puolilineaarisen Π 1 2 : n ohjausperiaate ) merkitsee jo Π 1 2 -määritettävyyttä .

Yleisempiä pelejä

Pelit, joissa pelatut kohteet eivät ole luonnollisia numeroita

Pelien määrittäminen normaalilla, jolla on määritettävissä oleva järjestysvoitto ja pituus, tarkoittaa, että jokaiselle tavalliselle kardinaalille κ> ω ei ole olemassa järjestyksessä määriteltävää yhteistä lopullista osajoukkoa, joka koostuisi yhteisominaisuuksista. Määrittävän oletuksen johdonmukaisuuden vahvuutta ei tunneta, mutta sen odotetaan olevan erittäin korkea.

Pelit puilla

Pitkät pelit

Olemassaolo on 1 Woodin kardinaalit merkitsee, että jokaista numeroituva järjestysluku α, kaikki pelit yli kokonaislukuja pituuden α ja projektiiviselle voitot määritetään. Karkeasti sanottuna Woodin-kardinaalit α vastaavat pelien määritystä α-pituisilla todellisilla realiteeteilla (yksinkertaisilla vahvistussarjoilla). Jos oletetaan, että Woodin-kardinaalien κ arvo on o (κ) = κ ++, ja Woodin-kardinaalien raja on suurempi kuin κ, vaihtelevan pituiset pelit, kun peli päättyy heti, kun sen pituus on sallittu pelilinjaan nähden ja projektiivisesti vahvistetaan. Olettaen, että tietyn iteroitavuuden oletukset voidaan todistaa, mitattavan Woodin-kardinaalin olemassaolo merkitsee avoimien pelien, joiden pituus on ω 1, ja projektiivisen vahvistuksen määrittämisen. (Näissä peleissä ensimmäisen pelaajan voiton ehto laukaistaan kirjanpitovaiheessa, joten voitto voidaan koodata reaalina.)

Suhteessa Woodin raja Woodin kardinaalit ja mitattava arvo niiden yläpuolella, se on yhdenmukainen, että kukin sarja yli kokonaislukuja pituus co 1 ja määriteltävissä järjestysluku vahvistus määritetään. Oletetaan, että määrityshypoteesi on sopusoinnussa Woodin-kardinaalien Woodin-raja-arvon kanssa. ω 1 on maksimaalinen sikäli kuin on olemassa määrittelemättömiä pelejä kokonaisluvuilla, joiden pituus on 1 + palkka ja määritettävät järjestysvoitot.

Epätäydelliset tietojoukot

Kaikissa mielenkiintoisissa peleissä, joissa on epätäydellistä tietoa , voittavasta strategiasta on sekoitettu strategia : toisin sanoen se antaa todennäköisyyden erilaisiin vastauksiin samaan tilanteeseen. Jos sekoitettuja strategioita, pelin tulos ei voi varmasti määrittää pelaajien optimaalisia strategioita (kuten puhtaisille strategioille , koska ne ovat deterministisiä ). Mutta todennäköisyys jakelu sekä tulosten päinvastainen mixed strategiat voidaan laskea. Peli, joka vaatii sekoitettu strategiat on määritelty määritetään , jos on olemassa strategia, joka antaa minimi odotettu arvo (ulos useista mahdollisista vasta-strategiat), joka ylittää tietyn arvon. Tämän määritelmän mukaan kaikki pelit valmiiksi kahden pelaajan nollasummapeliä selkeästi määritelty. Kuitenkin, määrittämiseksi ääretön sarjaa epätäydellisen informaation (Blackwell sarjaa) on vähemmän selvä.

Vuonna 1969 David Blackwell osoitti, että tietyt "äärettömät pelit, joissa on epätäydellistä tietoa" (nyt kutsutaan "Blackwell-peleiksi") määritettiin, ja vuonna 1998 Donald A. Martin osoitti, että rohkea pisteluokka tavallinen determinismi (täydellinen tietopeli) merkitsee Blackwellin determinismiä pisteluokka. Tämä yhdistettynä Martinin Borelin determinismin lauseeseen merkitsee, että kaikki Blackwell-pelit, joissa on Borel-maksutoiminnot, määritetään. Martin oletti, että tavallinen determinismi ja Blackwellin determinismi äärettömiin peleihin ovat vahvassa mielessä samanlaisia (ts. Blackwellin päättäväisyys rohkean pisteen luokalle puolestaan merkitsee tavallista determinismiä tälle pisteille), mutta vuodesta 2010 lähtien ei ole osoitettu, että Blackwellin määrittäminen sisältää täydellisen tietojoukon määrittämisen.

Huomautuksia ja viitteitä

Robert I.Soare , Laskettavuus: teoria ja sovellukset ,2016, 217ff s. ( ISBN 978-3-642-31932-7 )
Alexander S.Kechris , Klassisen kuvaavan sarjan teoria , voi. 156, Springer-Verlag , kokoonpano "Matematiikan valmistuneet tekstit",1995( ISBN 978-0-387-94374-9 ) , s. 52
https://www.math.uni-hamburg.de/Infinite Games, Yurii Khomskii (2010) Infinite Games, Yurii Khomskii (2010)
"Infinite Chess, PBS Infinite Series" PBS Infinite -sarja, lähteineen J. Hamkinsin akateemiset artikkelit (ääretön shakki: https://arxiv.org/abs/1302.4377 ja https://arxiv.org/abs/1510.08155 ).
" Determinacy Maximum " , mit.edu
Rabin, ” Toisen kertaluvun teorioiden ja automaattien päätettävyys äärettömissä puissa ”, Transaction of the American Mathematical Society , voi. 141,1969, s. 1–35 ( DOI 10.2307 / 1995086 , JSTOR 1995086 , lue verkossa [ arkisto1. st toukokuu 2016] )
MR Vervoort , Blackwell Games , voi. 30, kokoonpano "Matemaattisten tilastojen instituutin luennot - Monografiasarja",1996, 369–390 Sivumäärä ( ISBN 978-0-940600-42-3 , DOI 10.1214 / lnms / 1215453583 , lue verkossa )
Martin, " The determinacy of Blackwell games ", Journal of Symbolic Logic , voi. 63, n o 4,joulukuu 1998, s. 1565–1581 ( DOI 10.2307 / 2586667 , JSTOR 2586667 )
Shmaya, " Äärettömien pelien määräävyys lopulta täydellisellä seurannalla ", Proc. Katkera. Matematiikka. Soc. , voi. 30, n ° 10,2011, s. 3665-3678 ( DOI 10,1090 / S0002-9939-2011-10987-0 , Bibcode 2009arXiv0902.2254S , arXiv 0902,2254 )
(in) Benedikt Löwe, " SET THEORY OF INFINITE IMPERFECT INFORMATION " , Amsterdamin yliopisto , CiteSeerX,2006