Perustoiminto

On matematiikka , alkeisfunktio on funktio , joka muuttuja rakennettu äärellinen määrä exponentials , logaritmit , vakioita , ja n : nnen juuret mukaan koostumus ja yhdistelmien avulla neljästä toiminnot (+ - x ÷). Jonka avulla nämä toiminnot (ja vakiot) olevan monimutkainen , trigonometriset funktiot ja niiden käänteisesti verrannollisia ovat elementaarisia.

Alkeisfunktioita otettiin ensimmäisen kerran käyttöön Joseph Liouville vuonna sarjassa julkaisuja 1833-1841 . Joseph Ritt aloitti näiden toimintojen algebrallisen hoidon 1930-luvulla.

Esimerkkejä

Joitakin esimerkkejä perustoiminnoista ovat:

• lisäys, esim. : x + 3;
• kertolasku, esim. : 8 x  ;
• (x+synti2⁡x)2(synti⁡(x2)+xsynti⁡(x3)) ;{\ displaystyle \ left (x + \ sin ^ {2} x \ right) ^ {2} \ left ({\ dfrac {\ sin (x ^ {2}) + x} {\ sin (x ^ {3} )}} \ oikea) ~;}
• -iln⁡(x+i1-x2).{\ displaystyle - {\ rm {i}} \ ln (x + {\ rm {i}} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}).}

Kaksi esimerkkiä ei- perusfunktioista on Gaussin virhetoiminto

erf⁡(x)=2π∫0xe-t2dt{\ displaystyle \ operaattorinimi {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} \, \ mathrm {d} t}

ja integraali sinifunktio

Joo⁡(x)=∫0xsynti⁡ttdt.{\ displaystyle \ operaattorin nimi {Si} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sin t} {t}} \ mathrm {d} t.}

Tämä tosiasia johtuu Liouvillen lauseesta  ; Risch algoritmi yleensä on mahdollista määrittää, onko vai ei tietty alkeisfunktio on ala-primitiivinen.

Huomautuksia

1. Katso erityisesti Liouville 1833a , Liouville 1833b ja Liouville 1833c .
2. Ritt 1950 .

Viitteet

• Joseph Liouville , "  Ensimmäinen väitöskirja integraalien määrittämisestä, joiden arvo on algebrallinen  ", Journal de l'École Polytechnique , voi.  osa XIV, 1833a, s.  124-148 ( lue verkossa ).
• Joseph Liouville , ”  Toinen väitöskirja integraalien määrittämisestä, joiden arvo on algebrallinen  ”, Journal de l'École Polytechnique , voi.  osa XIV, 1833b, s.  149-193 ( lue verkossa ).
• Joseph Liouville , "  Huomaa integraalien määrittämisestä, joiden arvo on algebrallinen  ", Journal für die reine und angewandte Mathematik , voi.  10, 1833c, s.  347-359 ( lue verkossa ).
• Joseph Ritt , differentiaalialgebra , AMS ,1950( lue verkossa ).
• Maxwell Rosenlicht , "  Integration in finite terms  ", American Mathematical Monthly , voi.  79, n o  9,1972, s.  963–972 ( DOI  10.2307 / 2318066 , JSTOR  2318066 ).

Laajuus

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista "  Elementary function  " ( katso kirjoittajaluettelo ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">