Beeta-toiminto

Matematiikkaa, beeta-toiminto on yksi kahdesta Euler integraalit , määritelty kaikille kompleksiluvut $x$ ja $y$ on tiukasti positiivinen todellinen osat mukaan:

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \ mathrm {d} t,}

ja mahdollisesti laajennettu analyyttisesti koko kompleksitasolle negatiivisia kokonaislukuja lukuun ottamatta.

Euler ja Legendre tutkivat beeta-toimintoa, ja sen nimi on velkaa Jacques Binetille . Se liittyy gammatoimintoon .

Beeta-funktiosta on myös epätäydellinen versio, epätäydellinen beeta-funktio sekä sen laillistettu versio, epätäydellinen laillistettu beeta-toiminto .

Ominaisuudet

Muuttujan $u = 1 - t$ muutos osoittaa integraalimuodossaan, että tämä funktio on symmetrinen, eli että:

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (y, x)}

Se voi myös olla kiinteitä muotoja

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = 2 \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ sin ^ {2x-1} \ theta ~ \ cos ^ {2y-1} \ theta ~ \ mathrm {d} \ theta}

(muuttamalla muuttujaa ),

{\ displaystyle t = \ sin ^ {2} \ theta}

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {s ^ {y-1}} {(1 + s) ^ {x + y}} } ~ \ mathrm {d} s}

(muuttamalla muuttujaa ).

{\ displaystyle t = {\ dfrac {1} {1 + s}}}

Se täyttää toiminnalliset yhtälöt , kuten:

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y + 1) = {y \ yli x + y} \ mathrm {B} (x, y)}

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) ~ \ mathrm {B} (x + y, 1-y) = {\ dfrac {\ pi} {x \ sin (\ pi y)}}}

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, x) = 2 ^ {1-2x} \ mathrm {B} \ vasen ({\ tfrac {1} {2}}, x \ oikea)}

Se liittyy gammafunktioon seuraavalla yhtälöllä:

{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}}

Jos $x$ ja $y$ ovat ehdottomasti positiivisia kokonaislukuja , tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudestaan faktoriaaleina tai binomikertoimena : ${\ displaystyle {\ frac {x + y} {xy \ mathrm {B} (x, y)}} = {\ frac {(x + y)!} {x! ~ y!}} = {x + y \ valitse x}}$ .

Jos $x$ ja $y$ ovat kaksi järkeä ja jos kumpikaan $x$ , $y$ , eikä $x + y$ eivät ole kokonaislukuja, niin $Β ( x , y )$ on transsendenttiluku .

Johtaminen

Beeta-funktion osittaiset johdannaiset käyttävät aiemmin nähtyjä funktionaalisia yhtälöitä:

{\ osittainen \ yli \ osittainen x} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ vasen ({\ Gamma '(x) \ yli \ Gamma (x)} - { \ Gamma '(x + y) \ yli \ Gamma (x + y)} \ oikea) = \ mathrm {B} (x, y) (\ psi (x) - \ psi (x + y)),

missä $ψ ( x )$ on digammafunktio .

{\ displaystyle {\ osittainen ^ {2} \ yli \ osittainen x ^ {2}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ vasen [(\ psi (x) - \ psi (x + y)) ^ {2} + (\ psi _ {1} (x) - \ psi _ {1} (x + y)) \ oikea],}

{\ displaystyle {\ osittainen ^ {2} \ yli {\ osittain x \ osaa y}} \ matrm {B} (x, y) = \ matrm {B} (x, y) \ vasen [(\ psi (x ) - \ psi (x + y)) (\ psi (y) - \ psi (x + y)) - \ psi _ {1} (x + y) \ oikea],}

missä $ψ n ( x )$ on polygammafunktio .

Keskeneräinen beetatoiminto

Keskeneräinen beetatoiminto määritellään seuraavasti:

\ mathrm {B} (x; \, a, b) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {{a-1}} \, (1-t) ^ {{b-1}} { \ mathrm d} t

ja tarkastaa triviaalisti :

$\ mathrm {B} (x; \, a + 1, b) + \ mathrm {B} (x; \, a, b + 1) = \ mathrm {B} (x; \, a, b) \ quad {{\ rm {ja}}} \ quad x ^ {a} (1-x) ^ {b} = a \ mathrm {B} (x; \, a, b + 1) -b \ mathrm {B} (x; \, a + 1, b).$

Jos $x = 1$ , se vastaa parametrien $a$ ja $b$ beetafunktiota .

Normalisoitu epätäydellinen beetatoiminto on jakaa epätäydellinen beetafunktio täydellisellä beetafunktiolla

I_ {x} (a, b) = {\ dfrac {\ mathrm {B} (x; \, a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}.

Aikaisemmista suhteista tulee näin

$aI_ {x} (a + 1, b) + bI_ {x} (a, b + 1) = (a + b) I_ {x} (a, b)$ $, \ quad I_ {x} (a, b + 1) -I_ {x} (a + 1, b) = x ^ {a} (1-x) ^ {b} {\ frac {a + b} { ab \ mathrm {B} (a, b)}}.$

Johdamme toisesta ( välittömästi toistuvasti ) seuraavan yhteyden binomikehitykseen ja binomilakiin : $I_ {p} (a, n-a + 1) = \ summa _ {{j = a}} ^ {n} {n \ valitse j} p ^ {j} (1-p) ^ {{nj}}.$

Huomautuksia ja viitteitä

Katso esittely esimerkiksi tästä korjatusta Wikikorkeakoulu- harjoituksesta .
(de) Theodor Schneider , ” Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale ” , J. Queen Angew. Matematiikka. , voi. 183,1941, s. 110-128 ( lue verkossa ).
(in) Aslam Chaudhryn ja Syed M. Zubair , oli luokan epätäydellinen Gamma toiminnot Applications , CRC Press ,2001( ISBN 978-1-58488-143-8 , luettu verkossa ) , s. 218.
(en) Milton Abramowitz ja Irene Stegun , Käsikirja matemaattisista funktioista kaavoilla, kaavioilla ja matemaattisilla taulukoilla [ painoksen yksityiskohta ] ( lue verkossa ), § 6.6.

Ulkoinen linkki

(en) Eric W. Weisstein , “ Beta-toiminto ” , MathWorldissa