Polygamma-toiminto

On matematiikka , polygamma-funktio m on erityinen funktio huomattava tai ja määritellään m + 1 : nnen johdannainen logaritmin gammafunktion : ${\ displaystyle \ psi _ {m} (z)}$ ${\ displaystyle \ psi ^ {(m)} (z)}$ $\ Gamma (z)$

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z) = \ vasen ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ oikea) ^ {m + 1} \ ln \ Gamma (z ) \ qquad}

Joka vastaa johdannainen m e n logaritminen johdannainen gamma funktio : ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ ln \ Gamma (z) = {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}} \ ,}$

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z) = \ psi ^ {(m)} (z) = \ vasen ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ oikea) ^ {m} {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}} \,}

${\ displaystyle \ psi _ {0} (z) = {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}} \,}$ on digamma-toiminto . ${\ displaystyle \ psi (z)}$
${\ displaystyle \ psi _ {1} (z) = \ psi '(z) \,}$ . Funktiota (tai ) kutsutaan joskus trigamma (en) -funktioksi . ${\ displaystyle \ psi _ {1}}$ $\ psi ^ {{(1)}}$

Määritelmä integraalilla

Moniaviofunktio voidaan esittää seuraavasti:

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z) = (- 1) ^ {m + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {m} e ^ {- zt}} {1-e ^ {- t}}} ~ \ mathrm {d} t.}

Tämä pätee vain $Re ( z )> 0$ ja $m > 0$ . Jos $m = 0$ , katso digammafunktion määritelmä .

Esitys monimutkaisessa tasossa

Gammafunktion logaritmin ja polygammafunktion ensimmäisen asteen esitys kompleksitasossa on:


${\ displaystyle \ ln \ Gamma (z)}$ .	${\ displaystyle \ psi _ {0} (z)}$ .	${\ displaystyle \ psi _ {1} (z)}$ .	${\ displaystyle \ psi _ {2} (z)}$ .	${\ displaystyle \ psi _ {3} (z)}$ .	${\ displaystyle \ psi _ {4} (z)}$ .

Toistumissuhde

Se tarkistaa toistuvuussuhteen

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z + 1) = \ psi _ {m} (z) + (- 1) ^ {m} \; m! \; z ^ {- (m + 1)}. \,}

Kertolause

Kertominen teoreema (in) antaa

{\ displaystyle k ^ {m} \ psi _ {m-1} (kz) = \ summa _ {n = 0} ^ {k-1} \ psi _ {m-1} \ vasen (z + {\ frac {n} {k}} \ oikea),}

voimassa $m > 1$ ; ja kun $m = 0$ , digammafunktion kertolaskaava on:

{\ displaystyle k (\ psi (kz) - \ ln (k)) = \ summa _ {n = 0} ^ {k-1} \ psi \ vasen (z + {\ frac {n} {k}} \ oikealla).}

Esitys sarjoina

Polygamma-toiminto on esitetty sarjoina:

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z) = (- 1) ^ {m + 1} \; m! \; \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {( z + k) ^ {m + 1}}},}

mikä pätee vain $m > 0$ ja mihin tahansa kompleksiin $z,$ joka ei ole yhtä suuri kuin negatiivinen kokonaisluku. Tässä esityksessä voidaan kirjoittaa kanssa Hurwitz Zeta funktio mukaan

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z) = (- 1) ^ {m + 1} \; m! \; \ zeta (m + 1, z). \,}

Voidaan päätellä, että Hurwitzin zeta-funktio yleistää polygammafunktion mihin tahansa järjestykseen, joka kuuluu ℂ \ (–ℕ): een.

Taylor-sarja

Taylorin sarja pisteessä $z = 1$ on

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z + 1) = \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m + k + 1} (m + k)! \; \ zeta (m + k + 1) \; {\ frac {z ^ {k}} {k!}}, \,}

joka lähentyy $| z | <1$ . Tässä $ζ$ on Riemannin zeta-funktio .

Huomautuksia ja viitteitä

Polygamma-toiminto osoitteessa mathworld.wolfram.com.

Viitteet

(en) Milton Abramowitz ja Irene Stegun , Matemaattisten toimintojen käsikirja , Dover Publications, 1964 ( ISBN 978-0-486-61272-0 ) , osa 6.4

( fr ) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista " Polygamma function " ( katso kirjoittajaluettelo ) .