Ominaisuusfunktio (todennäköisyydet)

In matematiikan ja erityisesti todennäköisyys teoria ja tilastoja , karakteristinen funktio on satunnainen muuttuja todellinen $X$ on numero, joka yksilöllisesti määrittää sen todennäköisyysjakauman . Jos tällä satunnaismuuttujalla on tiheys , ominaisfunktio on tiheyden käänteinen Fourier- muunnos. Ominaisfunktion peräkkäisten johdannaisten nolla-arvot mahdollistavat satunnaismuuttujan momenttien laskemisen .

Ominaisfunktiota kutsutaan joskus ensimmäiseksi ominaisfunktioksi, kun taas toinen ominaisfunktio (tai myös toinen ominaisfunktio ) on sen logaritmimuunnos .

Lause, Bochner ja lause Khintchine antaa tarpeelliset ja riittävät olosuhteet toiminto on karakteristinen funktio satunnaismuuttuja.

Määritelmät

Todelliselle muuttujalle

Karakteristinen funktio todellinen satunnainen muuttuja $X$ on moni- arvostettu funktio määritellään mukaan $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ varphi _ {X} (t) & = \ mathbb {E} \ left [\ operaattorin nimi {e} ^ {\ mathrm {i} tX} \ right] \\ & = \ mathbb {E} \ vasen [\ cos (tX) \ oikea] + \ mathrm {i} \ \ mathbb {E} \ vasen [\ sin (tX) \ oikea]. \ end {tasattu}}}

Jos tällä satunnaismuuttujalla on tiheys , sano sitten $f X$

{\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ int _ {\ mathbb {R}} f_ {X} (x) \ operaattorin nimi {e} ^ {\ mathrm {i} tx} \, \ mathrm {d } x.}

Siten satunnaisen muuttujan, jolla on tiheys, ominaisfunktio on tiheyden käänteinen Fourier- muunnos (enintään

2π-

kertoimeen eksponentissa sopimuksen mukaan). Todennäköisesti tästä syystä sattuu, että valitaan toinen käytäntö eli . On huomattava, että vaikka todennäköisyystekijöiden käytön on puhuttava Fourier-muunnoksesta, kyse on ehdottomasti käänteisestä Fourier-muunnoksesta .

{\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ mathbb {E} [\ operaattorin nimi {e} ^ {2 \ mathrm {i} \ pi tX}]}

Jos tällä muuttujalla on arvot luonnollisten numeroiden joukossa, niin

{\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} \ mathbb {P} (X = k) e ^ {\ mathrm {i} tk} = G_ {X } (e ^ {\ mathrm {i} t})}

missä

G X

tarkoittaa yleistettyä todennäköisyyksien muodostamistoimintoa monimutkaiseksi parametriksi.

Euklidisen avaruuden muuttujalle

Yleisemmin karakteristinen funktio satunnaismuuttujan $X$ kanssa arvot on funktio monimutkaisia arvot määritetään mukaan $\ mathbb {R} ^ {d}$ $\ mathbb {R} ^ {d}$

{\ displaystyle \ varphi _ {X} (u) = \ mathbb {E} \ left [\ operaattorin nimi {e} ^ {\ mathrm {i} \ langle u, X \ rangle} \ right]}

jossa on piste tuote on $U$ kanssa $X$ . ${\ displaystyle \ langle u, X \ rangle}$

Jakamistoiminnolle

Ominaisuus funktio kertymäfunktio $F$ on moni- arvostettu funktio määritellään mukaan $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle \ varphi _ {F} (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ textrm {e}} ^ {\ mathrm {i} tz} \, \ mathrm {d} F (z)}

missä integraali on Stieltjesin integraali .

Ominaisuudet

Ominaisfunktio määrää ainutkertaisesti satunnaismuuttujan lain siinä mielessä, että " $φ X = φ Y$ " (toimintojen tasa-arvo) vastaa " $X: llä$ ja $Y: llä$ on sama laki".
Jos $X$ ja $Y$ ovat kaksi satunnaismuuttujaa riippumaton , $φ X + Y = φ X φ Y$ . Yleisemmin, jos $X 1 , ..., X n$ ovat riippumattomia satunnaismuuttujia kokonaisuutena, niin $φ X 1 + ... + X n = φ X 1 ... φ X n$ . Soveltamalla Fourier-muunnosta $φ X + Y$ se auttaa löytämään $X + Y-$ lain .
Momenttien ja satunnaismuuttujan ominaisfunktion välillä on suhde . Kun minkä tahansa asteen momentteja on ja niiden eksponentiaalisella generoivalla sarjalla on nollasta poikkeava konvergenssisäde $R$ : ${\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {i} ^ {k} \ mathbb {E} [X ^ {k} ]} {k!}} t ^ {k} ~~~ \ kaikki t \ sisällä \ vasemmalla] -R, R \ oikea [}$ .

Esittely

Joko , meillä on . ${\ displaystyle t \ kohdassa [0, R [}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ mathbb {E} \ left [\ operaattorin nimi {e} ^ {\ mathrm {i} tX} \ right] = \ mathbb {E} \ left [\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ mathrm {i} tX) ^ {k}} {k!}} \ oikea] = \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} { \ frac {\ mathrm {i} ^ {k}} {k!}} t ^ {k} \ mathbb {E} \ vasen [X ^ {k} \ oikea]}$

Summan ja odotuksen välisen inversion perustelemiseksi riittää osoittamaan, että se on äärellinen, ja soveltamaan Fubinin teoreemaa. Huomaa, että kaikesta : ${\ displaystyle \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathbb {E} [| X | ^ {k}]} {k!}} t ^ {k}}$ ${\ displaystyle k \ geq 0}$

{\ displaystyle \ mathbb {E} [| X | ^ {2k + 1}] = \ mathbb {E} [| X | ^ {2k + 1} \ mathbf {1} _ {| X | \ leq 1}] + \ mathbb {E} [| X | ^ {2k + 1} \ mathbf {1} _ {| X |> 1}] \ leq 1+ \ mathbb {E} [X ^ {2k + 2}]}

Joten meillä on kaikesta : ${\ displaystyle t \ sisään \ vasen [0, R \ oikea [}$

{\ displaystyle \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathbb {E} [| X | ^ {k}]} {k!}} t ^ {k} \ leq e ^ { t} +2 \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathbb {E} [X ^ {2k}]} {(2k)!}} t ^ {2k} \ leq e ^ {t} +2 \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {| \ mathbb {E} [X ^ {k}] |} {k!}} t ^ {k} <+ \ infty}

Viimeinen summa on todellakin yhteneväinen, koska tiedämme, että koko sarja on ehdottoman lähentynyt lähentymislevynsä sisätiloissa. Jatkamme sitten samalla tavalla . ${\ displaystyle t \ sisään \ vasen] -R, 0 \ oikea]}$

Tätä suhdetta käytetään joskus laskemaan odotus (järjestyshetki 1) ja satunnaismuuttujan varianssi . Tarkemmin: ${\ displaystyle \ varphi _ {X} ^ {(k)} (0) = \ mathrm {i} ^ {k} \ mathbb {E} [X ^ {k}]}$ siksi : ${\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = - \ mathrm {i} \ varphi _ {X} ^ {\ prime} (0)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ vasen [X ^ {2} \ right] = - \, \ varphi _ {X} ^ {\ prime \ prime} (0)}$ ${\ displaystyle {\ textrm {Var}} (X) = - \, \ varphi _ {X} ^ {\ prime \ prime} (0) + \ left (\ varphi _ {X} ^ {\ prime} (0 ) \ oikea) ^ {2}}$ .
Seuraavaa relaatiota käytetään esimerkiksi pienennetyn keskitetyn muuttujan ominaisfunktion laskemiseen lähtömuuttujan ominaisfunktiosta: ${\ displaystyle \ varphi _ {aX + b} (t) = \ varphi _ {X} (at) \, \ operaattorin nimi {e} ^ {\ mathrm {i} tb}}$ .
Levy lähentyminen lauseen sanoo, että lähentyminen jakelussa vastaa yksinkertaisen lähentyminen on Ominaisfunktion missään vaiheessa.

Toinen ominaisuusfunktio

Määritelmä

Todellisen satunnaismuuttujan $X$ toinen ominaisfunktio on kompleksin arvoinen funktio, jonka määrittelee

{\ displaystyle \ psi _ {X} (t) = {\ text {Log}} \ varphi _ {X} (t) = {\ text {Log}} \ mathbb {E} [e ^ {\ mathrm {i } tX}]}

missä Log tarkoittaa logaritmin päähaaraa, joka on määritelty ja holomorfinen kompleksitasolla, jolta on poistettu negatiivisten tai nollatodellisuuksien puolilinja ja joka on yhtä suuri kuin 0 in 1.

Koska ominaisfunktio on aina jatkuva ja on yhtä suuri kuin 1 0: ssa, toinen ominaisuusfunktio on aina hyvin määritelty 0: n naapurustossa.

Yhteys kumulanttien generaattoritoimintoon

Toista ominaisfunktiota kutsutaan joskus kumulanttien generaattoritoiminnoksi . Matemaatikko Eugène Lukacz huomauttaa kirjassaan Karakteristiset toiminnot valitun termin " kumulanttien generaattoritoiminto" valitettavaa käyttöä, koska toinen generaattorifunktio on aina olemassa nollan läheisyydessä, kun taas kumulantteja ja $X:$ n momentteja ei voisi olla hyvin olemassa. . Hän lisää myös, että termi "toinen ominaisuusfunktio" tulee ranskalaisesta matemaattisesta kirjallisuudesta.
Cumulant generaattoritoiminto myös kuvaamaan luonnollinen logaritmi on hetki generaattoritoiminto .

Viitteet

(in) Eugene Lukacz, luonteenomaisia toimintoja , Lontoo, Griffin,1970, s. 27

Aiheeseen liittyvä artikkeli

Momenttia tuottava toiminto