Momenttia tuottava toiminto

In todennäköisyys teoria ja tilastoja , toiminto tuottaa hetkiä on satunnainen muuttuja $X$ on funktio $M X$ määritellään

{\ displaystyle M_ {X} (t) = \ mathbb {E} \ vasen (\ operaattorin nimi {e} ^ {tX} \ oikea)}

minkä tahansa todellisen $t: n suhteen$ niin, että tämä odotus on olemassa. Tätä funktiota, kuten nimestä voi päätellä, käytetään tuottamaan satunnaismuuttujan $X$ todennäköisyysjakaumaan liittyvät ajat .

Määritelmä ja laskenta

Jos $X$ liittyy jatkuvaan todennäköisyystiheyteen $f$ , momentinmuodostustoiminto saadaan

{\ displaystyle M_ {X} (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ operaattorin nimi {e} ^ {tx} f (x) \, \ mathrm {d} x}

Lisäämällä tähän yhtälöön eksponentin kokonaislukusarjojen laajennus tämä lauseke vastaa:

{\ displaystyle M_ {X} (t) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ vasen (1 + tx + {\ frac {t ^ {2} x ^ {2}} {2!}} + \ cdots \ right) f (x) \, \ mathrm {d} x}

= 1 + tm_ {1} + {\ frac {t ^ {2} m_ {2}} {2!}} + \ Cdots,

missä viimeinen tasa-arvo saavutetaan dominoidulla konvergenssilauseella ja missä $m i$ on $X:$ n $i-$ s momentti .

Jos todennäköisyystiheys ei ole jatkuva, momentinmuodostustoiminto voidaan saada Stieltjes-integraalilla :

{\ displaystyle M_ {X} (t) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ operaattorin nimi {e} ^ {tx} \, \ mathrm {d} F (x)}

jossa $F$ on kertymäfunktio on $X$ .

Edelliset lausekkeet koskevat satunnaismuuttujia. Kun kyseessä on satunnaisvektori, jolla on todellisia komponentteja, momenttien generaattoritoiminto määritetään sitten seuraavasti:

{\ displaystyle M_ {X} (t) = \ mathbb {E} (\ operaattorin nimi {e} ^ {\ langle t, X \ rangle})}

missä $t$ on vektori ja on pistetulo . $\ langle t, X \ rangle$

Ominaisuudet

$M_ {X} (- t)$ on todennäköisyystiheyden kaksisuuntainen Laplace-muunnos . $f$
Jos on sekvenssi riippumaton (mutta ei välttämättä identtisesti) satunnaismuuttujia ja jossa , niin todennäköisyys tiheys $S$ $n$ on $i-$ painotettu konvoluutio todennäköisyys tiheydet kunkin $X-$ $i$ ja muodostamisen toiminto hetkiä $S$ $n$ saadaan $X_ {1}, X_ {2}, \ pistettä, X_ {n}$ $S_ {n} = \ summa _ {{i = 1}} ^ {n} a_ {i} X_ {i},$ ${\ displaystyle a_ {i} \ sisään \ mathbb {R}}$ $M _ {{S_ {n}}} (t) = M _ {{X_ {1}}} (a_ {1} t) M _ {{X_ {2}}} (a_ {2} t) \ cdots M _ {{X_ {n}}} (a_ {n} t)$ .
Jos generaattorin toimintaa hetkiä olemassa avoin väli noin $t = 0$ , $n$ : nnen hetki satunnaismuuttujan $X$ saadaan $n-$ nnen johdannainen generaattorin toiminta arvioitiin $t = 0$ : ${\ displaystyle \ mathbb {E} (X ^ {n}) = M_ {X} ^ {(n)} (0) = \ vasen. {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n} M_ {X} (t)} {\ mathrm {d} t ^ {n}}} \ oikea | _ {t = 0}}$ . Tämän suhteen avulla voidaan laskea erittäin helposti sellaisen lain momentit, jonka tunnemme generoivan funktion. esimerkiksi ${\ mathbb E} (X) = M_ {X} '(0)$ ja $\ operaattorin nimi {Var} (X) = {\ mathbb E} (X ^ {2}) - {\ mathbb E} (X) ^ {2} = M_ {X} '' (0) - [M_ {X} '(0)] ^ {2}$ .
Kaikki funktiot, jotka tuottavat hetkiä, ovat logaritmisesti kuperia .

Esittely

Hölder epätasa osoittaa, että

{\ displaystyle \ mathbb {E} [UV] \ leq (\ mathbb {E} | U ^ {p} |) ^ {1 / p} (\ mathbb {E} | V ^ {q} |) ^ {1 / q}}

kaikille satunnaismuuttujille U ja V sekä reaaliluvuille p , q siten, että

{\ displaystyle 1 <p, q <\ infty \ quad {\ text {et}} \ quad {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1}

Olkoon X todellinen satunnaismuuttuja ja . Ottamalla huomioon sovelletun eriarvoisuuden logaritmi $0 <\ theta <1$

U = \ exp ((1- \ theta) \ lambda _ {0} X), V = \ exp (\ theta \ lambda _ {1} X), \ quad p = {\ frac 1 {1- \ theta} }, q = {\ frac 1 \ theta}

saamme kuperuuden epätasa-arvon

\ ln {\ mathbb E} [\ exp (((1- \ theta) \ lambda _ {0} + \ theta \ lambda _ {1}) X)] \ leq (1- \ theta) \ ln {\ mathbb E} [\ exp (\ lambda _ {0} X)] + \ theta \ ln {\ mathbb E} [\ exp (\ lambda _ {1} X)].

Esimerkki

Haluamme laskea odotusarvo on eksponentiaalinen lakia . Sen hetkenmuodostustoiminnon antaa:

{\ displaystyle M_ {X} (t) = \ vasen (1 - {\ frac {t} {\ lambda}} \ oikea) ^ {- 1} \, = {\ frac {1} {\ vasen (1- {\ frac {t} {\ lambda}} \ oikea)}}}

Luottaen johdannaisten omaisuuteen, jonka mukaan saamme: $\ left ({1 \ over f} \ right) '= {- f' \ over f ^ {2}}$

{\ displaystyle M_ {X} '(t) \ equiv {\ frac {\ mathrm {d} M_ {X} (t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ vasen (1 - {\ frac {t} {\ lambda}} \ oikea) ^ {- 1}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ frac {1} {\ lambda}} {\ vasen (1 - {\ frac {t} {\ lambda}} \ oikea) ^ {2}}}}

Arvioimalla tämä johdannainen $t = 0$ , saamme ensimmäisen hetken:

{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = M_ {X} '(t = 0) = {\ frac {\ frac {1} {\ lambda}} {\ vasen (1 - {\ frac {0} { \ lambda}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ lambda}}}

Yksilöllinen suhde hetken tuottavan funktion ja tiheysfunktion välillä

Tiheydestä generaattoritoimintoon siirtyminen on helppoa: määritelmän soveltaminen riittää. Käänteinen suhde näyttää vaikeammalta.

Helpoin tapa käsitellä tätä kysymystä on käydä läpi Fourier-muutos . Tätä varten riittää, kun tarkastellaan momenttien funktiota $pisteellä$ $t = iτ$ , missä $i$ on kompleksiluku "se", joka ( $i 2 = -1$ ). Saamme muuttujan $X$ tunnusomaisen funktion :

{\ displaystyle \ phi _ {X} (\ tau) = M_ {x} (\ mathrm {i} \ tau) = \ int \ operaattorin nimi {e} ^ {\ mathrm {i} \ tau x} f (x) \, \ mathrm {d} x}

Fourier-muunnoksena edellinen lauseke voidaan kääntää:

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int \ operaattorin nimi {e} ^ {- \ mathrm {i} \ tau x} \ phi _ {X} (\ tau) \ , \ mathrm {d} \ tau}

Hetkenmuodostustoiminto kuvaa siis tiheyttä täydellisesti.

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Bibliografia

Sheldon Ross ( käännös englanniksi), Initiation aux todennäköisyys [“ Ensimmäinen kurssi todennäköisyydessä ”], Lausanne, PPUR ,2004, 458 Sivumäärä ( ISBN 2-88074-327-3 ) , s. 333-344