Kaksinkertainen eksponentiaalinen toiminto

Kaksinkertainen eksponenttifunktio on eksponentiaalinen funktio, jonka eksponentti on itse eksponenttifunktio.

Yleinen muoto on: $f (x) = a ^ {b ^ x}$

Tämä toiminto kasvaa nopeammin kuin yksinkertainen eksponentiaalinen. Esimerkiksi $a = b = 10$ :

f (-1) ≈ 1,25892541;
f (0) = 10;
f (1) = 1010 ;
f (2) = 10 100 = googoli ;
f (3) = 10 1000 ;
f (100) = 10 10 100 = googolplex .

Kertoma kasvavat nopeammin kuin eksponentiaalinen, mutta paljon hitaammin kuin kaksinkertainen eksponentiaalisesti. Hyper-eksponentiaalinen funktio ja Ackermann funktio kasvaa vielä nopeammin.

Kaksinkertaisen eksponenttifunktion käänteinen muoto on kaksoislogaritmi .

Kaksinkertaiset eksponentiaaliset kasvupaketit

Aho ja Sloane huomasivat, että joillekin tärkeille kokonaislukusekvensseille kukin peräkkäinen termi on yhtä suuri kuin edellisen termin neliö plus vakio. Ne osoittivat, että tällaiset sekvenssit voidaan laskea pyöristämällä muodon kaksoiseksponentin lähimpään kokonaislukuun . $f (x) = a ^ {2 ^ x}$

Tätä järjestelmää noudattavat kokonaislukujen sekvenssit ovat erityisesti:

Fermat numerot :

F (m) = 2 ^ {2 ^ m} +1

Kaksinkertainen Mersenne :

MM (p) = 2 ^ {2 ^ p-1} -1

Peräkkäisten ehdot Sylvester sarja (jatkoa A000058 on OEIS ):

s_ {n} = \ vasen \ lfloor E ^ {{2 ^ {{n + 1}}}} + {\ frac 12} \ right \ rfloor

jossa E ≈ 1.264084735305 on vakio Vardi (jatkuu OEIS: n A076393 kanssa ).

Arity of loogisia operaattoreita :

2 ^ {2 ^ n}

Yleisemmin, jos n : nnen arvon sarjan kokonaislukuja on verrannollinen kaksinkertainen eksponentiaalinen funktio n , Ionescu ja Stanica saada sarja kuin "lähes kaksinkertainen eksponentiaalisesti" ja osoittaa olosuhteet, joissa se voidaan laskea pyöristyksen alaspäin ( kaksinkertaisen eksponentiaalisen sarjan plus valinnaisesti vakiokerroin.

Muita tämän tyyppisiä sviittejä ovat:

Alkulukuja 2, 11, 1 361, ... (jatkoa A051254 on OEIS )

a (n) = \ vasen \ llattia A ^ {3 ^ n} \ oikea \ lattia

missä A ≈ 1.306377883863 on Millsin vakio .

Sovellukset

Algoritminen monimutkaisuus

Vuonna algoritminen kompleksisuusteoria , jotkut algoritmit ovat kaksinkertaisen eksponentiaalinen monimutkaisuus:

Presburger Arithmeticin päätöksentekomenettelyt ;
Gröbner-perustan laskeminen (pahimmassa tapauksessa);
Löydä päätöksenteosta täydellinen yhtenäinen joukko assosiatiivisia-kommutatiivisia operaattoreita
Ratkaistut CTL + -ongelmat (jotka ovat itse asiassa 2-EXP-täydellisiä );
Poistaminen quantifiers on suljetun todellinen ruumis tarvitsee yhä aikaa ainakin mukaan kaksinkertainen eksponentiaalista (mutta emme edes tiedä, onko se laskettavissa käytettäessä ELEMENTARY tunnilla ).

Numeroteoria

Jotkut numeroteorian rajat ovat kaksinkertaiset eksponentiaaliset. Pariton täydellinen numeron kanssa n eri alkutekijöitä, jota emme edes tiedä, jos se on olemassa, on enintään 2 4 n (Nielsen 2003).

Numeroiden määrä on suurin tunnettu alkuluku on kehittynyt kaksinkertaisella eksponentiaalinen riippuen monta vuotta tietokoneet olivat käytettävissä laskea sitä (eli koska Miller ja Wheeler määrittivät 79-numeroisen alkuluvun EDSAC 1 -koneessa vuonna 1951).

Teoreettinen biologia

Vuonna populaatiodynamiikka , oletettiin, että kasvu väestön voitaisiin arvioida kaksinkertainen eksponentiaalifunktion. Gurevich ja Varfolomeyev säätivät toimintoa kokeellisesti

{\ displaystyle N (y) = 375,6 \ cdot 1,001 ~ 85 ^ {1,007 ~ 37 ^ {y-1 ~ 000}} \,}

missä N ( y ) on ihmisväestö vuonna y miljoonina.

Fyysinen

Mallissa oscilateur TODA on itse tykytys , logaritmi amplitudi (suurten amplitudien) kasvaa eksponentiaalisesti ajan myötä; siten amplitudi kasvaa ajan kaksinkertaisen eksponentin mukaan.

Viitteet

Funktioiden kasvun vertailusta , katso Asymptoottinen vertailu .
(sisään) AV Aho ja NJA Sloane , " Jotkut kaksinkertaisen eksponentiaaliset sekvenssit " , Fibonacci Quarterly , voi. 11, 1973, s. 429-437.
(julkaisussa) E. Ionascu ja P. Stanica , " Tehokkaat oireettomuudet joillekin melkein epälineaarisille uusiutumisille ja kaksinkertaisen eksponentiaalisekvensseille " , Acta Mathematica Universitatis Comenianae , voi. LXXIII, n o 1, 2004, s. 78-87.
(in) Deepak Kapur ja Paliath Narendran , " Double eksponentiaalinen monimutkaisuus laskenta on täydellinen AC-unifiers " , Proc. 7. IEEE Symp. Tietojenkäsittelytieteen logiikka (LICS 1992) , 1992, s. 11–21 ( lue verkossa ) ;
(in) tammikuu Johannse ja Martin Lange , " CTL + täysi on kaksinkertainen eksponentiaalisesti enemmän aikaa " , Proc. 30. kansainvälinen Colloq. Automaatit, kielet ja ohjelmointi (ICALP 2003) , Springer-Verlag, voi. 2719, 2003, s. 767-775 ( DOI 10.1007 / 3-540-45061-0_60 , lukea verkossa )
(sisään) Pace P. Nielsen , " Yläraja parittomille täydellisille numeroille " , The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory , voi. 3, 2003, A14 ( lue verkossa )
(sisään) JCP Miller ja DJ Wheeler , " Suuret alkuluvut " , Nature , voi. 168, 1951, s. 838 ( DOI 10.1038 / 168838b0 )
(sisään) SD Varfolomeyev ja KG Gurevich , " Ihmiskunnan yli-eksponentiaalinen kasvu oli makrohistoriallista mittakaavaa " , Journal of Theoretical Biology , voi. 212, n ° 3, 2001, s. 367–372 ( DOI 10.1006 / jtbi.2001.2384 ).
D. Kouznetsov , J.-F. Bisson , J. Li ja K. Ueda , " Itsepulssiva laser oskillaattorina Toda: Approximation through elementary functions ", Journal of Physics A: Mathematical and Theorical , voi. 40, 2007, s. 1–18 ( DOI 10.1088 / 1751-8113 / 40/9/016 , lue verkossa )