Tetration
Tetraatio (tai eksponentiaalinen liukas , hyper , Power Tower , super-potenssiinkorotusta tai hyper4 ) on " eksponentiaation iterated." Se on ensimmäinen hyperoperator eksponention jälkeen.
Matkalaukku sana tetraatio keksi Reuben Goodstein perustuvat etuliite tetra (neljä) ja iterointi . Tetraatiota käytetään suurten lukujen kirjoittamiseen. Se seuraa summaamista , kertomista ja eksponentointia alla esitetyllä tavalla:
- kertolasku
klo×b= klo+klo+⋯+klo⏟b ehdot{\ displaystyle {{a \ kertaa b = \} \ atop {\}} {{\ underbrace {a + a + \ cdots + a}} \ atop b {\ text {terms}}}}
![{{a \ kertaa b = \} \ atop {\}} {{\ underbrace {a + a + \ cdots + a}} \ atop b {\ text {terms}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14b0970f56c8eaaaef6eb6c7fa5b82c82d7d177)
- eksponentointi
klob= klo×klo×⋯×klo⏟b tekijät{\ displaystyle {{a ^ {b} = \} \ atop {\}} {\ underbrace {a \ kertaa a \ kertaa \ cdots \ kertaa a} \ atop b {\ text {tekijät}}}}
![{\ displaystyle {{a ^ {b} = \} \ atop {\}} {\ underbrace {a \ kertaa a \ kertaa \ cdots \ kertaa a} \ atop b {\ text {tekijät}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6d7ff8c3f50b0c5e7a7f2db6f42260aeb5fbf6)
- tetration
bklo= kloklo⋅⋅klo⏟b kopiot klo{\ displaystyle {\ ^ {b} a = \ \ atop {\}} {\ underbrace {a ^ {a ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {a}}}}}} atop b {\ text {kopiot alkaen}} -}}
![{\ displaystyle {\ ^ {b} a = \ \ atop {\}} {\ underbrace {a ^ {a ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {a}}}}}} atop b {\ text {kopiot alkaen}} -}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24fb01d6030acc633a29128ae83d83750fbd83e2)
Joka kerta b ilmestyy kirjain a . Kertominen ( a x b ) voidaan nähdä ( b-1 ) toistojen "lisää " toimintaa, potenssiinkorotusta ( b ) kuten ( b-1 ) toistojen "kerrotaan " toiminta siten, b esiintymisiä kirjain a . Vastaavasti tetration ( b a) voidaan ajatella operaation ( b-1 ) iteraatioina "nosta tehoon a ".
Huomaa, että kun arvioidaan monitasoista eksponentointia, eksponentio suoritetaan ensin "syvimmällä" tasolla (merkinnöissä, korkeimmalla tasolla), eli oikealta vasemmalle. Toisin sanoen:
42=2222=2(2(22))=2(24)=216=65536{\ displaystyle \ ^ {4} 2 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}} = 2 ^ {\ vasen (2 ^ {\ vasen (2 ^ {2} \ oikea)} \ oikea)} = 2 ^ {\ vasen (2 ^ {4} \ oikea)} = 2 ^ {16} = 65 \, 536}
2222{\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}}}![{\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61685bc5a0ab178386bd7b107392c66ed3ad8901)
n ' ei ole yhtä suuri kuin .
((22)2)2=22×2×2=256{\ displaystyle \! \ left ({\ left (2 ^ {2} \ right)} ^ {2} \ right) ^ {2} = 2 ^ {2 \ kertaa 2 \ kertaa 2} = 256}
Tämä on yleinen sääntö toistuvaan eksponentointiin liittyvien toimintojen järjestyksestä.
Merkinnät
Edellä olevan ensimmäisen tapauksen (tehojen laskeminen oikealta vasemmalle) yleistämiseksi tetroitumisesta ei-kokonaislukuarvoihin tarvitaan uusi merkintä. Toinen tapaus (laskenta vasemmalta oikealle) voidaan myös kirjoittaa:, joten sen yleisen muodon kirjoittaminen käyttää aina tavallista eksponentointimerkintää.
((22)2)2=22×2×2=223{\ displaystyle \ left (\ left (2 ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} = 2 ^ {2 \ kertaa 2 \ kertaa 2} = 2 ^ {2 ^ {3}} }![{\ displaystyle \ left (\ left (2 ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} = 2 ^ {2 \ kertaa 2 \ kertaa 2} = 2 ^ {2 ^ {3}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449b82765553edf331173e19fe2dc0cd0d6a8ef5)
Merkintöjä, joissa tetratio voidaan havaita (niiden joukossa, jotka mahdollistavat vielä korkeammat iteraatiotasot), ovat:
- vakiomerkintä: b a, jota ensin käytti Hans Maurer; tätä merkintää suositteli Rudy Ruckerin kirja , Ääretön ja mieli .
- merkintä iteroidaan valtuudet Knuth : - voidaan laajentaa käyttämällä enemmän nuolilla (tai vastaavasti, indeksoitu nuoli).klo↑↑b{\ displaystyle a \ ylöspäin \ ylöspäin b}
![a \ ylöspäin \ ylöspäin b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616f8d6044c7705cdf29522aff5965d469c8e7af)
- Conway suoraketjuista nuoli merkintä : - voidaan laajentaa lisäämällä numero 2 (ekvivalentti laajennukset edellä), mutta myös, tehokkaampi laajentamalla ketjun.klo→b→2{\ displaystyle a \ oikeanpuoleinen b \ oikeanpuoleinen 2}
![a \ oikealle b \ oikealle 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de1127c521106159aaba5baaf3947926b0c349f)
- hyper4-merkintä: - voidaan laajentaa lisäämällä lukua 4; tämä antaa hyperoperaattoreiden perheelle .klo(4)b=hyper4(klo,b)=hyper(klo,4,b){\ displaystyle a ^ {(4)} b = \ operaattorin nimi {hyper4} (a, b) = \ operaattorin nimi {hyper} (a, 4, b)}
![a ^ {{(4)}} b = \ operaattorin nimi {hyper4} (a, b) = \ operaattorin nimi {hyper} (a, 4, b)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/532df680e1db57bcc1c5c28d22f305bdea8899f7)
Tapaus a = 2 voidaan kirjoittaa Ackermannin funktiolla :
2↑↑b=AT(4,b-3)+3{\ displaystyle 2 \ ylöspäin \ ylöspäin b = \ operaattorin nimi {A} (4, b-3) +3}![{\ displaystyle 2 \ ylöspäin \ ylöspäin b = \ operaattorin nimi {A} (4, b-3) +3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d837553d5237fc7b5293174d76115bb714be0dcb)
,
ts. .
AT(4,ei)=2↑↑(ei+3)-3{\ displaystyle \ operaattorin nimi {A} (4, n) = 2 \ ylöspäin \ ylöspäin (n + 3) -3}
Ylänuolta käytetään identtisesti laiminlyöntimerkin kanssa, joten tetration-operaattori voidaan kirjoittaa muodossa ^^ ASCII : ssä: a ^^ b.
Virallinen määritelmä
Reaaliluvulle a > 0 ja luonnolliselle luvulle n määritämme induktiolla:
eiklo=klo↑↑ei{\ displaystyle ^ {n} a = a \ ylöspäin \ ylöspäin n}![{\ displaystyle ^ {n} a = a \ ylöspäin \ ylöspäin n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a76b827174080be9d3660b93137a8feef0623e23)
0klo=klo↑↑0=1{\ displaystyle ^ {0} a = a \ ylöspäin \ ylöspäin 0 = 1}![{\ displaystyle ^ {0} a = a \ ylöspäin \ ylöspäin 0 = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a991c4532ead140d38ba4e1460931ae57c303157)
;
ei+1klo=klo↑↑(ei+1)=kloklo↑↑ei{\ displaystyle ^ {n + 1} a = a \ ylöspäin \ ylöspäin (n + 1) = a ^ {a \ ylöspäin \ ylöspäin n}}![{\ displaystyle ^ {n + 1} a = a \ ylöspäin \ ylöspäin (n + 1) = a ^ {a \ ylöspäin \ ylöspäin n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0605aa74caabf5e5aa40ea952992043cc800d3f7)
.
Esimerkkejä
(Pilkulla kirjoitetut esimerkit ovat likimääräisiä)
n = n ↑↑ 1 |
n ↑↑ 2 |
n ↑↑ 3 |
n ↑↑ 4
|
---|
1 |
1 |
1 |
1
|
2 |
4 |
16 |
65,536
|
3 |
27 |
7,63 × 10 12 |
103,64×1012{\ displaystyle 10 ^ {3 {,} 64 \ kertaa 10 ^ {12}}}
|
4 |
256 |
1,34 × 10154 |
108,07×10153{\ displaystyle 10 ^ {8 {,} 07 \ kertaa 10 ^ {153}}}
|
5 |
3 125 |
1,91 × 10 2144 |
101,34×102184{\ displaystyle 10 ^ {1 {,} 34 \ kertaa 10 ^ {2 \, 184}}}
|
6 |
46,656 |
2,70 × 10 36305 |
102,07×1036305{\ displaystyle 10 ^ {2 {,} 07 \ kertaa 10 ^ {36 \, 305}}}
|
7 |
823,543 |
3,76 × 10 695 974 |
103,18×10695974{\ displaystyle 10 ^ {3 {,} 18 \ kertaa 10 ^ {695 \, 974}}}
|
8 |
16 777 216 |
6,01 × 10 15151335 |
105,43×1015151335{\ displaystyle 10 ^ {5 {,} 43 \ kertaa 10 ^ {15 \, 151 \, 335}}}
|
9 |
387420489 |
4,28 × 10 369 693 099 |
104,09×10369693009{\ displaystyle 10 ^ {4 {,} 09 \ kertaa 10 ^ {369 \, 693 \, 009}}}
|
10 |
10 000 000 000 |
10 10 000 000 000 |
10101010{\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10}}}}
|
Laajennus toisen operandin arvoon - 1
Käyttäen suhdetta (päätellä määritelmästä tetraatio), voimme määritellä arvot varten .
ei↑↑k=Hirsiei(ei↑↑(k+1)){\ displaystyle n \ uparrow \ uparrow k = \ log _ {n} \ left (n \ uparrow \ uparrow (k + 1) \ right)}
ei↑↑k{\ displaystyle n \ ylöspäin \ ylöspäin k}
k∈{-1,0,1}{\ displaystyle k \ sisään \ {- 1,0,1 \}}![k \ sisään \ {- 1,0,1 \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a96b4a9f5f063131d1b7de8b8c4908acf0dbf5d)
ei↑↑1=Hirsiei(ei↑↑2)=Hirsiei(eiei)=eiHirsieiei=eiei↑↑0=Hirsiei(ei↑↑1)=Hirsieiei=1ei↑↑-1=Hirsiei(ei↑↑0)=Hirsiei1=0{\ displaystyle {\ begin {matrix} n \ uparrow \ uparrow 1 & = & \ log _ {n} \ left (n \ uparrow \ uparrow 2 \ right) & = & \ log _ {n} \ left (n ^ {n} \ oikea) & = & n \ log _ {n} n & = & n \\ n \ ylöspäin \ ylöspäin 0 & = & \ log _ {n} \ vasen (n \ ylöspäin \ ylöspäin 1 \ oikea) & = & \ log _ {n} n &&& = & 1 \\ n \ uparrow \ uparrow -1 & = & \ log _ {n} \ left (n \ uparrow \ uparrow 0 \ right) & = & \ log _ {n} 1 &&& = & 0 \ end {matrix}}}
Tämä vahvistaa intuitiivisen määritelmän yksinkertaisesti n: stä . Enemmän arvoja ei kuitenkaan voida enää määrittää tällä tavalla toistamalla, koska sitä ei ole määritelty.
ei↑↑1{\ displaystyle n \ ylöspäin \ ylöspäin 1}
ei↑↑-2=Hirsiei(ei↑↑-1)=Hirsiei0{\ displaystyle n \ uparrow \ uparrow -2 = \ log _ {n} (n \ uparrow \ uparrow -1) = \ log _ {n} 0}![{\ displaystyle n \ uparrow \ uparrow -2 = \ log _ {n} (n \ uparrow \ uparrow -1) = \ log _ {n} 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672c72e0154e996b730e5ecd180075b67b0a68b4)
Laajennus perustan arvoon 0
1↑↑ei{\ displaystyle 1 \ ylöspäin \ ylöspäin n}
voidaan määritellä ongelmitta yhtä suureksi kuin 1. Koska se on määrittelemätön ( ), yllä olevaa määritelmää ei voida käyttää, kun n = 1, ja sen on pysyttävä määrittelemättömänä määränä.
Hirsi1x{\ displaystyle \ log _ {1} x}
Hirsi1x=HirsixHirsi1{\ displaystyle \ log _ {1} x = {\ alku {matriisi} {\ frac {\ log x} {\ log 1}} \ end {matriisi}}}
ei↑↑-1=Hirsiei(ei↑↑0){\ displaystyle n \ uparrow \ uparrow {-1} = \ log _ {n} (n \ uparrow \ uparrow 0)}
1↑↑-1{\ displaystyle 1 \ ylöspäin \ ylöspäin {-1}}![1 \ ylöspäin \ ylöspäin {-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7ba93442da278d50f411154a023e5d6bcd0263)
Joskus 0 0 pidetään määrittelemättömänä suureena. Tässä tapauksessa arvon arvot voidaan määrittää olemassa olevalla rajalla :
0↑↑k{\ displaystyle 0 \ ylöspäin \ ylöspäin k}
limx→0x↑↑k{\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0} x \ uparrow \ uparrow k}![{\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0} x \ uparrow \ uparrow k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5feebfdace60c8d1c65af4fda6d39ea14d0726ee)
limx→0x↑↑k={1 varten k tähyillä0 varten k outo{\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0} x \ uparrow \ uparrow k = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {for}} k {\ mbox {pair}} \\ 0 & {\ mbox { kohteelle}} k {\ mbox {outoa}} \ loppu {tapaukset}}}![{\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0} x \ uparrow \ uparrow k = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {for}} k {\ mbox {pair}} \\ 0 & {\ mbox { kohteelle}} k {\ mbox {outoa}} \ loppu {tapaukset}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e5721c47e89912aa9da47e857b5c48087e5a3c2)
0↑↑k{\ displaystyle 0 \ ylöspäin \ ylöspäin k}
voidaan määritellä tällä rajalla ja on yhdenmukainen .
00=1{\ displaystyle 0 ^ {0} = 1}![0 ^ {0} = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478100bc5766c6af537439ef9309f9ddf2f9a6ff)
Tetration laajentaminen emäksen positiivisiin todellisiin arvoihin
Laajentaminen on todellinen määrä on suhteellisen yksinkertainen ja antaa, jokaisen luonnollisen kokonaisluku n , joka on super-teho-toiminto (etuliite Super on joskus korvattu hyper : hyper-teho-toiminto ).
x↑↑b{\ displaystyle x \ ylöspäin \ ylöspäin b}
x>0{\ displaystyle x> 0}
fei(x)=x↑↑ei{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} _ {n} (x) = x \ ylöspäin \ ylöspäin n}![{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} _ {n} (x) = x \ ylöspäin \ ylöspäin n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d99284029aea5d185723b9e329735b173e8009)
Kuten aiemmin on osoitettu, positiivisten kokonaislukujen n kohdalla funktio pyrkii kohti x, kun x on kohti 0, jos n on parillinen, ja kohti 0, jos n on pariton, kun taas funktiolle ja funktio on vakio, arvoilla 1 ja 0.
ei=0{\ displaystyle n = 0}
ei=-1{\ displaystyle n = -1}![{\ displaystyle n = -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e4adfef8131b59aa818f2877c061297f01272c)
Tetration laajentaminen monimutkaisiin emäksiin
Koska kompleksiluku voidaan nostaa monimutkainen teho käyttämällä suuria haara on monimutkainen logaritmin , tetraatio voidaan soveltaa numerot muotoa , jossa
i on imaginääriyksikkö .
klo+bi{\ displaystyle a + b \, \ mathrm {i}}![{\ displaystyle a + b \, \ mathrm {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eddc2d84de5020860b42b37ff7706a65408cfd35)
Joten lasketaan esimerkiksi mikä . Potenssiinkorotusta suoritetaan käyttämällä päähaaran on monimutkainen logaritmi , ja meillä on suhde:
z↑↑k{\ displaystyle z \ ylöspäin \ ylöspäin k}
z=i{\ displaystyle z = \ mathrm {i}}![{\ displaystyle z = \ mathrm {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f92048ee536ca87a58bcbd668c94c1e33b9675e3)
iklo+bi=eiπ2(klo+bi)=e-bπ2(coskloπ2+isyntikloπ2){\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {a + b \ mathrm {i}} = \ mathrm {e} ^ {{\ mathrm {i} \ pi \ over 2} (a + b \ mathrm {i})} = \ mathrm {e} ^ {- {b \ pi \ yli 2}} \ vasemmalle (\ cos {a \ pi \ yli 2} + \ mathrm {i} \ sin {a \ pi \ yli 2} \ oikealle) }![{\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {a + b \ mathrm {i}} = \ mathrm {e} ^ {{\ mathrm {i} \ pi \ over 2} (a + b \ mathrm {i})} = \ mathrm {e} ^ {- {b \ pi \ yli 2}} \ vasemmalle (\ cos {a \ pi \ yli 2} + \ mathrm {i} \ sin {a \ pi \ yli 2} \ oikealle) }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f708ab855947650306d67bcc1676b66e2ffa72fe)
Mikä ehdottaa induktiomääritelmää, kun :
i↑↑(k+1)=klo′+b′i{\ displaystyle \ mathrm {i} \ ylöspäin \ ylöspäin (k + 1) = a '+ b' \, \ mathrm {i}}
i↑↑k=klo+bi{\ displaystyle \ mathrm {i} \ ylöspäin \ ylöspäin k = a + b \, \ mathrm {i}}![{\ displaystyle \ mathrm {i} \ ylöspäin \ ylöspäin k = a + b \, \ mathrm {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e05ab781c66d82304b46ab7f00496dc56690d26)
klo′=e-bπ2coskloπ2{\ displaystyle a '= \ mathrm {e} ^ {- {b \ pi \ yli 2}} \ cos {a \ pi \ yli 2}}
b′=e-bπ2syntikloπ2{\ displaystyle b '= \ mathrm {e} ^ {- {b \ pi \ yli 2}} \ sin {a \ pi \ yli 2}}
Johdamme seuraavat likimääräiset arvot ( on eksponentti ). :
i↑z{\ displaystyle \ mathrm {i} \ ylöspäin z}
iz{\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {z}}![{\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9241ed5be3ecd43ed0d2a596990c0f3eeb776cac)
- i↑↑1=i{\ displaystyle \ mathrm {i} \ ylöspäin \ ylöspäin 1 = \ mathrm {i}}
![{\ displaystyle \ mathrm {i} \ ylöspäin \ ylöspäin 1 = \ mathrm {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac10faeacd66162d8eb8ad3411a153122e74d9b)
- i↑↑2=i↑(i↑↑1)≈0,2079{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 2 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 1 \ right) \ noin 0 {,} 2079}
![{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 2 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 1 \ right) \ noin 0 {,} 2079}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2e314cdb319115f75684aa6f5acc58126f15fe)
- i↑↑3=i↑(i↑↑2)≈0,9472+0,3208i{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 3 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 2 \ right) \ noin 0 {,} 9472 + 0 {,} 3208 \, \ mathrm {i}}
![{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 3 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 2 \ right) \ noin 0 {,} 9472 + 0 {,} 3208 \, \ mathrm {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986ccb29ac59d149354dd6a5c95e959ece40d60d)
- i↑↑4=i↑(i↑↑3)≈0,0501+0,6021i{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 4 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 3 \ right) \ noin 0 {,} 0501 + 0 {,} 6021 \, \ mathrm {i}}
![{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 4 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 3 \ right) \ noin 0 {,} 0501 + 0 {,} 6021 \, \ mathrm {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c66feb7b494d606153cb6ae316fa51a3463962)
- i↑↑5=i↑(i↑↑4)≈0,3872+0,0305i{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 5 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 4 \ right) \ noin 0 {,} 3872 + 0 {,} 0305 \, \ mathrm {i}}
![{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 5 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 4 \ right) \ noin 0 {,} 3872 + 0 {,} 0305 \, \ mathrm {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f964a1f94d308470d2fd09c8291f07c44954e96)
- i↑↑6=i↑(i↑↑5)≈0,7823+0,5446i{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 6 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 5 \ right) \ noin 0 {,} 7823 + 0 {,} 5446 \, \ mathrm {i}}
![{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 6 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 5 \ right) \ noin 0 {,} 7823 + 0 {,} 5446 \, \ mathrm {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e2400d81beaf299bbbacd6917c70cbadb62dde)
- i↑↑7=i↑(i↑↑6)≈0,1426+0,4005i{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 7 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 6 \ right) \ noin 0 {,} 1426 + 0 {,} 4005 \, \ mathrm {i}}
![{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 7 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 6 \ right) \ noin 0 {,} 1426 + 0 {,} 4005 \, \ mathrm {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674e8cf79c715298197fcb438b9b6366ac1a321e)
- i↑↑8=i↑(i↑↑7)≈0,5198+0,1184i{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 8 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 7 \ right) \ noin 0 {,} 5198 + 0 {,} 1184 \, \ mathrm {i}}
![{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 8 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 7 \ right) \ noin 0 {,} 5198 + 0 {,} 1184 \, \ mathrm {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78fd5a2cfa80c5eebdbef4953bc5b5edf729fbef)
- i↑↑9=i↑(i↑↑8)≈0,5686+0,6051i{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 9 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 8 \ right) \ noin 0 {,} 5686 + 0 {,} 6051 \, \ mathrm {i}}
![{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 9 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 8 \ right) \ noin 0 {,} 5686 + 0 {,} 6051 \, \ mathrm {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f01e606d7ccd8d07312411ea021d26efcb4e0adc)
Suhteen ratkaisu johtaa odotettuihin suhteisiin ja .
i↑↑(k+1)=i↑(i↑↑k){\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow (k + 1) = \ mathrm {i} \ uparrow (\ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow k)}
i↑↑0=1{\ displaystyle \ mathrm {i} \ ylöspäin \ ylöspäin 0 = 1}
i↑↑-1=0{\ displaystyle \ mathrm {i} \ ylöspäin \ ylöspäin -1 = 0}![{\ displaystyle \ mathrm {i} \ ylöspäin \ ylöspäin -1 = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e56186bcd8a48efb994d28871dc1ad73f4b487)
On monimutkainen kone , sekvenssi suppenee kierre ( katso alla ). Tällaisia tetrointisekvenssejä on tutkittu Eulerin ajoista lähtien, mutta niitä ei juurikaan ymmärretä niiden kaoottisen käyttäytymisen vuoksi. Eniten julkaistu tutkimus on historiallisesti keskittynyt voimatornitoiminnon lähentymiseen. Nykyinen tutkimus on hyötynyt suuresti voimakkaiden tietojenkäsittelyasemien kehityksestä ohjelmistotuilla symbolisessa ja fraktaalisessa matematiikassa. Suurin osa tetrationista tiedetään monimutkaisen dynamiikan yleisestä tuntemuksesta ja eksponentiaalisten kerrosten erityisestä tutkimuksesta.
i↑↑ei{\ displaystyle \ mathrm {i} \ ylöspäin \ ylöspäin n}![{\ displaystyle \ mathrm {i} \ ylöspäin \ ylöspäin n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e435cd3db8f964fb2abf58ea133c8fb7af6ea1)
Tetration laajentaminen toisen operandin todellisiin arvoihin - - 2
Tähän mennessä ei ole yleisesti hyväksyttyä ratkaisua yleiseen ongelmaan, joka koskee tetration laajentamista todellisiin ja monimutkaisiin numeroihin, vaikka tämä onkin aktiivinen tutkimusalue.
Harkitse supereksponentiaalisen funktion tai hypereksponentiaalisen funktion löytämisen ongelmaa
f(x)=klo↑↑x{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (x) = a \ ylöspäin \ ylöspäin x}
mikä on jatkoa aiemmin määritellyn todellisuuteen ja joka täyttää:
x>-2{\ displaystyle x> -2}![x> -2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0cda3f74c6f999e422cb9537e5c28e6711dceb)
-
klo↑↑(x+1)=klo(klo↑↑x){\ displaystyle a \ ylöspäin \ ylöspäin (x + 1) = a ^ {\ vasen (a \ ylöspäin \ ylöspäin x \ oikea)}}
;
-
f kasvaa (for );klo>1{\ displaystyle a> 1}
![a> 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5b9d9fb0ff9d4455e75ccd29676bd7f33da80e)
-
f on jatkuva.
Kun se on määritelty yksikköpituuden välein, voimme määrittää funktion kokonaisuudeksi kaikelle induktiolla.
x↦klo↑↑x{\ displaystyle x \ mapsto \ ylöspäin \ ylöspäin x}
x>-2{\ displaystyle x> -2}![x> -2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0cda3f74c6f999e422cb9537e5c28e6711dceb)
Yksinkertainen ratkaisu saadaan affinien interpoloinnilla välillä - 1 ja 0:
klo↑↑x=x+1{\ displaystyle a \ ylöspäin \ ylöspäin x = x + 1}![a \ ylöspäin \ ylöspäin x = x + 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4bb31dc4556fda1cd364b9aaec6fc0269b50dd5)
varten ,
-1⩽x⩽0{\ displaystyle -1 \ leqslant x \ leqslant 0}![{\ displaystyle -1 \ leqslant x \ leqslant 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e9a9bc07c8065ee7640b7289ba7b5760496a16)
Siksi :
klo↑↑x=Hirsiklo(x+1){\ displaystyle \, \! a \ ylöspäin \ ylöspäin x = \ log _ {a} {(x + 1)}}![{\ displaystyle \, \! a \ ylöspäin \ ylöspäin x = \ log _ {a} {(x + 1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13652abd413f2bc87acb7613fce5114a3e40f1ff)
varten
-2<x⩽-1{\ displaystyle -2 <x \ leqslant -1}
klo↑↑x=klox{\ displaystyle a \ ylöspäin \ ylöspäin x = a ^ {x}}![a \ ylöspäin \ ylöspäin x = a ^ {x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d2122a1730b9e53d91a49f66bff4ce827db007)
varten ,
0⩽x⩽1{\ displaystyle 0 \ leqslant x \ leqslant 1}
klo↑↑x=kloklo(x-1){\ displaystyle \, \! a \ ylöspäin \ ylöspäin x = a ^ {a ^ {(x-1)}}}![\, \! a \ ylöspäin \ ylöspäin x = a ^ {{a ^ {{(x-1)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1e8e3f25c729272a6f1913982a2fff5fe4141d)
varten
1<x<2{\ displaystyle 1 <x <2}
klo↑↑x=kloklo↑↑(x-1){\ displaystyle \, \! a \ ylöspäin \ ylöspäin x = a ^ {a \ ylöspäin \ ylöspäin {(x-1)}}}![{\ displaystyle \, \! a \ ylöspäin \ ylöspäin x = a ^ {a \ ylöspäin \ ylöspäin {(x-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea528f72b4ff2cf47cffddd2abfc352fd0df562)
varten , jne.
x>2{\ displaystyle x> 2}
Jos a ≠ e, näin määritelty funktio on kuitenkin erotettavissa vain paloittain : x: n kokonaislukuarvoilla johdannainen kerrotaan kahden aikavälin välillä:
lnklo{\ displaystyle \ ln a}![{\ displaystyle \ ln a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c526a8f272c427b1556d5817a9372c38103f88)
10↑↑0,99=9,77{\ displaystyle 10 \ ylöspäin \ ylöspäin 0 {,} 99 = 9 {,} 77}![{\ displaystyle 10 \ ylöspäin \ ylöspäin 0 {,} 99 = 9 {,} 77}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3acb809e301dcf7569c1ca80b3b5a8ab8027c0ad)
,
10↑↑1=10{\ displaystyle 10 \ ylöspäin \ ylöspäin 1 = 10}![{\ displaystyle 10 \ ylöspäin \ ylöspäin 1 = 10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94f44eb57199b2b038d194385c0f0487e5af8c8)
,
10↑↑1,01=10,55{\ displaystyle 10 \ ylöspäin \ ylöspäin 1 {,} 01 = 10 {,} 55}![{\ displaystyle 10 \ ylöspäin \ ylöspäin 1 {,} 01 = 10 {,} 55}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203adb88cd0f3093988ecf1034ab7dadbca37d0c)
.
Muut monimutkaisemmat toiminnot voivat olla säännöllisempiä tai täyttää lisäominaisuudet (analyyttinen toiminto tai toiminto, joka voidaan laajentaa holomorfiseksi toiminnoksi jne. ).
Supereksponentiaalinen funktio kasvaa nopeammin kuin kaksinkertainen eksponentiaalifunktio .
Esimerkiksi, jos a = 10 :
- f(-1)=0{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (-1) = 0}
![{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (-1) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff2413100394a2ec6c4c9c0b44705ca434741e3d)
- f(0)=1{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (0) = 1}
![{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (0) = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1e55fcd950f07ea38873a7d8746f926bd438b0)
- f(0,3)≈2{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (0 {,} 3) \ noin 2}
![{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (0 {,} 3) \ noin 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c564fe45afb90f9496e6cc715238ff528a8abd6)
- f(1)=10{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (1) = 10}
![{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (1) = 10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0cbd4fc03307e75f2c7f7b67ef5e4f9e3f79af)
- f(1,3)≈102{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (1 {,} 3) \ noin 10 ^ {2}}
![{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (1 {,} 3) \ noin 10 ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6577d826bd65dc5946ba67bc1c79561ab55124b3)
- f(2)=1010{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (2) = 10 ^ {10}}
![{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (2) = 10 ^ {10}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ffac67b19e68d2e9d796dbb5f87f5889b64a22)
-
f(2,3)≈10100{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (2 {,} 3) \ noin 10 ^ {100}}
( googol )
- f(3)=101010{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (3) = 10 ^ {10 ^ {10}}}
![{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (3) = 10 ^ {10 ^ {10}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ef33b2c17aced396e5210ebce2b861ace22e3e)
-
f(3,3)≈1010100{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (3 {,} 3) \ noin 10 ^ {10 ^ {100}}}
( googolplex )
Kun määritetään kaikille a, voi olla toinen vaatimus, joka kasvaa a: n kanssa.
klo↑↑x{\ displaystyle a \ ylöspäin \ ylöspäin x}
klo↑↑x{\ displaystyle a \ ylöspäin \ ylöspäin x}![a \ ylöspäin \ ylöspäin x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21001d95f425813ace75183dcd39607edc9bd9fb)
Tetration käänteisoperaatiot: superlogaritmit
Vastavuoroinen toiminnot on tetraatio suhteessa alustaan tai suhteessa toiseen operandin kutsutaan vastaavasti super-juurista tai hyper-juuret , ja super-logaritmi tai hyper-logaritmi .
Käänteinen bijection super-eksponenttifunktio määritellään, jos > 1, kaikki todelliset luvut, myös negatiivisia lukuja.
f(x)=klo↑↑x{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (x) = a \ ylöspäin \ ylöspäin x}![{\ displaystyle \ operaattorin nimi {f} (x) = a \ ylöspäin \ ylöspäin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17de3220bc6c4c4e1edd5821b06918b55cea676)
Super-logaritmitoiminto tarkistaa:
slogklo{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a}}![{\ mathrm {slog}} _ {a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddcdf5e59775714b7917b6de3d6268b648a32dff)
slogklo(klo↑↑x)=slogklo(xklo)=x{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} (a \ ylöspäin \ ylöspäin x) = \ mathrm {slog} _ {a} (^ {x} a) = x}
klo↑↑(slogklox)=slogkloxklo=x{\ displaystyle a \ ylöspäin \ ylöspäin (\ mathrm {slog} _ {a} x) = ^ {\ mathrm {slog} _ {a} x} a = x}
slogklo1=0{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} 1 = 0}
slogkloklo=1{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} a = 1}
slogklo0=-1{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} 0 = -1}
slogkloklox=1+slogklox{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} a ^ {x} = 1 + \ mathrm {slog} _ {a} x}
slogklox=-1+slogkloklox{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = -1 + \ mathrm {slog} _ {a} a ^ {x}}
slogklox=1+slogkloHirsiklox{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = 1 + \ mathrm {slog} _ {a} \ log _ {a} x \,}![{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = 1 + \ mathrm {slog} _ {a} \ log _ {a} x \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7fc05e538b50f47a6a18465e1d2bc9740825a6f)
jos x > 0
slogklox>-2{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x> -2}
Edellisessä kappaleessa olemme määrittäneet:
klo↑↑x=x+1{\ displaystyle a \ ylöspäin \ ylöspäin x = x + 1}![a \ ylöspäin \ ylöspäin x = x + 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4bb31dc4556fda1cd364b9aaec6fc0269b50dd5)
varten ,
-1<x<0{\ displaystyle -1 <x <0}
klo↑↑x=klox{\ displaystyle a \ ylöspäin \ ylöspäin x = a ^ {x}}![a \ ylöspäin \ ylöspäin x = a ^ {x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d2122a1730b9e53d91a49f66bff4ce827db007)
varten ,
0<x<1{\ displaystyle 0 <x <1}
Siksi ( a > 1)
slogklox=Hirsiklox,{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = \ log _ {a} x, \,}![{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = \ log _ {a} x, \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438e76710d9adb8b7c1a26c1dc73d3779434d4c0)
jos (interpoloimme logaritmifunktiolla välillä 1 ja a ):
1<x⩽klo{\ displaystyle \, 1 <x \ leqslant a}
slogklox=-1+x,{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = -1 + x, \,}![{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = -1 + x, \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c48e938114f5028b03dc4728155ff631f921ce7)
jos (interpoloimme affiinifunktiolla välillä 0 ja 1):
0<x⩽1{\ displaystyle \, 0 <x \ leqslant 1}
slogklox=-1+slogkloklox=-2+klox,{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = -1 + \ mathrm {slog} _ {a} a ^ {x} = - 2 + a ^ {x}, \,}![{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = -1 + \ mathrm {slog} _ {a} a ^ {x} = - 2 + a ^ {x}, \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c62fdea19f97589f5c1a0339846f3f9fa54f52)
kyllä .
x⩽0{\ displaystyle x \ leqslant 0}
Esimerkkejä:
-
slog103=Hirsi103≈0,477{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {10} 3 = \ log _ {10} 3 \ noin 0 {,} 477}
;
-
slog1010-3=-1+10-3=-0,999{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {10} 10 ^ {- 3} = - 1 + 10 ^ {- 3} = - 0 {,} 999}
;
-
slog10(-3)=-1+slog1010-3=-1+(-0,999)=-1,999{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {10} (- 3) = - 1+ \ mathrm {slog} _ {10} 10 ^ {- 3} = - 1 + (- 0 {,} 999) = - 1 {,} 999}
;
-
slog10106×1023=1+slog10(6×1023)≈2+slog1023,778≈3+slog101.376=3+Hirsi101.376≈3,139{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {10} 10 ^ {6 \ kertaa 10 ^ {23}} = 1+ \ mathrm {slog} _ {10} (6 \ kertaa 10 ^ {23}) \ noin 2+ \ mathrm {slog} _ {10} 23 {,} 778 \ apm 3+ \ mathrm {slog} _ {10} 1 {,} 376 = 3 + \ log _ {10} 1 {,} 376 \ noin 3 { ,} 139}
.
Torni äärettömän suuria voimia
Sekvenssi yhtyy 2: een . Suuntaus 2: een voidaan nähdä arvioimalla pieni valmis torni:
2↑↑ei=2222...{\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ uparrow \ uparrow n = {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {\ ;. ^ {\ ;. ^ {\;.}}}}}}}![{\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ uparrow \ uparrow n = {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {\ ;. ^ {\ ;. ^ {\;.}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fabab81f5de8f153d130b7f70a49eea912b2f9a9)
222221,41≈22221,63≈2221,76≈221,84≈21,89≈1,93{\ displaystyle {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 { ,} 41}}}}} \ approx {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 63}}}} \ approx {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 76}}} \ approx {\ sqrt {2} } ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 84}} \ approx {\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 89} \ noin 1 {,} 93}![{\ displaystyle {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 { ,} 41}}}}} \ approx {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 63}}}} \ approx {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 76}}} \ approx {\ sqrt {2} } ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 84}} \ approx {\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 89} \ noin 1 {,} 93}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9662bfbcda6b7badacf87d56c985910474c36e1d)
.
Yleensä vallan torni lähentyy vain ja vain .
(eix){\ displaystyle \ vasen (^ {n} x \ oikea)}
e-e≤x≤e1/e{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {e}} \ leq x \ leq \ mathrm {e} ^ {1 / \ mathrm {e}}}![{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {e}} \ leq x \ leq \ mathrm {e} ^ {1 / \ mathrm {e}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e4c421efc1382117851d693bdd448bd09098781)
Mitään todellista r kanssa , jos , niin raja on on r .
e-1≤r≤e{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- 1} \ leq r \ leq \ mathrm {e}}
x=r1/r{\ displaystyle x = r ^ {1 / r}}
∞x=xxx..{\ displaystyle ^ {\ infty} x = x ^ {x ^ {x ^ {..}}}}
(eix){\ displaystyle \ vasen (^ {n} x \ oikea)}![{\ displaystyle \ vasen (^ {n} x \ oikea)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d54d59a85497775fbc779b6fc7f1eafdff41e87)
Funktio voidaan laajentaa kompleksilukuihin z määritelmällä:
x↦r=∞x{\ displaystyle x \ mapsto r = {^ {\ infty} x}}![{\ displaystyle x \ mapsto r = {^ {\ infty} x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95297724f169794d6f0c57cc7ba03e2b558dcfc)
∞z=-W0(-Hirsiz)Hirsiz{\ displaystyle ^ {\ infty} z = - {\ frac {\ mathrm {W} _ {0} (- \ operaattorin nimi {Log} z)} {\ operaattorin nimi {Log} z}}}![{\ displaystyle ^ {\ infty} z = - {\ frac {\ mathrm {W} _ {0} (- \ operaattorin nimi {Log} z)} {\ operaattorin nimi {Log} z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d4a26b21e8cc3f2ef149db9f99ff6f35969eef)
for
z ≠ 1 ,
joka on päähaaran ja Lambert W toiminto ja Log on, että on monimutkainen logaritmin .
W0{\ displaystyle \ mathrm {W} _ {0}}![{\ displaystyle \ mathrm {W} _ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb23dc85082cf0176a5ab6882ca35d574be4469)
Esimerkiksi :
∞i=2iπW0(-πi2){\ displaystyle ^ {\ infty} \ mathrm {i} = {\ frac {2 \ mathrm {i}} {\ pi}} \; W_ {0} \ vasen (- {\ frac {\ pi \ mathrm {i }} {2}} \ oikea)}
≈ 0,4383 0,3606 + i (sviittiä
A077589 ja
A077590 of
OEIS ) ja
moduulin ≈ 0567 555 (
A212479 ).
2π|W0(-πi2)|{\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} \ vasen | W_ {0} \ vasen (- {\ frac {\ pi \ mathrm {i}} {2}} \ oikea) \ oikea |}
Huomautuksia ja viitteitä
(
fr ) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian
englanninkielisestä artikkelista
" Tetration " ( katso kirjoittajaluettelo ) .
-
(De) Hans Maurer, " Über die Funktion für ganzzahliges Argument (Abundanzen)y=x[x[x(⋯)]]{\ displaystyle y = x ^ {[x ^ {[x (\ cdots)]}]}}
" , Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft Hampurissa , voi. 4,1901, s. 33-50, Knoebelin 1981 jälkeen .
-
E489: (la) Leonhard Euler, " De formulis exponentialibus replicatis " , Acta Acad. Sci. Imp. Petrop. , voi. 1,1778, s. 38-60 ( lue verkossa ).
-
Katso E489 ja sen viitteet ( IN Baker ja PJ Rippon 1984 ja 1985, Knoebel 1981 , Rippon 1983).
-
Esittely: Jean-Baptiste Campesato, " Äärettömän tetrationin tai äärettömän voimatornin ongelmasta " , osoitteessa http://citron.9grid.fr ,2010.
-
(in) Ulrich H. Kurzweg, " ominaisuudet Lambertin Function W (z) " on University of Florida , Department of Mechanical ja Aerospace Engineering .
Katso myös
Aiheeseen liittyvä artikkeli
Ackermannin toiminto
Bibliografia
- (en) Reuben Louis Goodstein , ” Transfinite ordinals in recursive number theory ” , Journal of Symbolic Logic , voi. 12,1947
- (en) R. Arthur Knoebel , ” Exponentials reiterated ” , American Mathematical Monthly , voi. 88,yhdeksäntoista kahdeksankymmentäyksi, s. 235-252 ( lue verkossa )
- ( Fr ) Jonathan Sondow ja Diego Marques, ” Algebrallinen ja transsendentaalinen ratkaisuja joidenkin räjähdysmäinen yhtälöt ” , Annales Mathematicae et Informaticae , voi. 37,2010, s. 151-164 ( lue verkossa )
Ulkoiset linkit
- (en) I. Galidakis ja E. Weisstein, ” PowerTower ” , MathWorldissa
-
(en) IN Galidakis, "Jatkuva laajennus Hyper4-operaattorille" (versio 20. toukokuuta 2009 Internet-arkistossa ) , osoitteessa ioannis.virtualcomposer2000.com ( päivätty , 2006 tai vanhempi; yksinkertaisempi ja helpompi luettavissa seuraavasti: viite)
-
(en) IN Galidakis, ”Hyper4: n ja Knuthin ylänuolen merkinnän laajentamisesta sopimuksiin” (versio 25. toukokuuta 2006 Internet-arkistossa ) , osoitteessa ioannis.virtualcomposer2000.com
-
(en) IN Galidakis, "Mathematics" (versio 20. huhtikuuta 2009 Internet-arkistossa ) , osoitteessa ioannis.virtualcomposer2000.com (luettelo viitteitä tetroitumistutkimukseen . Lukuisia tietoja Lambertin W-toiminnosta, Riemannin pinnoista ja analyyttisestä jatkeesta )
-
( fr ) Daniel Geisler, tetration.org
- (in) Albert Gural, ” Infinite Power Towers ” , osoitteessa albertgural.com
- (en) Joseph MacDonell, ” Joitakin suuritehotoiminnon kriittisiä kohtia y = xxx. . » , Tiedekunta.fairfield.edu/jmac
- (en) Robert Munafo, " Hyper4-funktion laajentaminen todellisiin arvoihin " , osoitteessa mrob.com
-
(en) Andrew Robbins, "Tetration and Super-logarithm for Analytic Piecewise Extension of the Tetration and the super-logarithm" -ratkaisun ratkaiseminen (versio 1. helmikuuta 2009 Internet-arkistossa ) , osoitteessa tetration.itgo.com
-
(en) Lode Vandevenne, " Kahden neliön juuren tetretointi " , osoitteessa groups.google.com/forum/#!topic/sci.math/ ,2004 (tetration laajentamistesti reaalilukuihin)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">