Kysymysmerkkitoiminto
Kysymysmerkki toiminto tai Minkowski tehtävänä , on itse matematiikan , joka on toiminto , totesi ? (tai ).
x↦?(x){\ displaystyle x \ mapsto \ mathop {?} (x)}![{\ displaystyle x \ mapsto \ mathop {?} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68af36c6ca3f457173898c1e54a1793780c2074e)
Tämän toiminnon määritteli Hermann Minkowski vuonna 1904 saadakseen jatkuvan välin] 0, 1 [ toisen asteen irrationaalisten joukon] sovelluksen saman aikavälin rationaalilukuihin . Nykyisen nykyisen määritelmän esitti Arnaud Denjoy vuonna 1938. Sen rajoittaminen rationaalilukuihin on tiukasti kasvava funktio, erotettavissa ja johdannainen kaikkialla nolla.
Määritelmä
Olkoon X olla reaaliluku .
- Jos x on järkevä, sillä on kaksi jatkuvaa murtoesitystä (äärellinen): x = [ a 0 , a 1 , ..., a n ] = [ a 0 , a 1 , ..., a n -1, 1] missä a n on vähintään yhtä suuri kuin 2. Asetamme sitten:
?(x)=klo0+∑k=1ei(-1)k+12klo1+⋯+klok-1{\ displaystyle {\ mathrm {?}} (x) = a_ {0} + \ summa _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {k + 1}} {2 ^ { a_ {1} + \ cdots + a_ {k} -1}}}}![{\ displaystyle {\ mathrm {?}} (x) = a_ {0} + \ summa _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {k + 1}} {2 ^ { a_ {1} + \ cdots + a_ {k} -1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9240b8280a68d668ff7517ea0850b7bd849cb4e)
Tämä lauseke voidaan tehdä yksiselitteiseksi laskemalla summa ja ilmaisemalla tulos
laajennuksen muodossa perustassa 2 alle 1; käyttämällä saamamme numeron merkintää :
(0,e1e2...)2{\ displaystyle (0, \ varepsilon _ {1} \ varepsilon _ {2} \ dots) _ {2}}
(0,e1e2...)2=∑k=1...ek2k{\ displaystyle (0, \ varepsilon _ {1} \ varepsilon _ {2} \ dots) _ {2} = \ summa _ {k = 1} ^ {\ dots} {\ frac {\ varepsilon _ {k}} {2 ^ {k}}}}
?(x)=klo0+(0,0...0⏟klo1-11...1⏟klo2...e...e⏟kloei-11)2{\ displaystyle {\ mathrm {?}} (x) = a_ {0} + (0, \ alatuki {0 \ pistettä 0} _ {a_ {1} -1} \ alatuki {1 \ pistettä 1} _ {a_ {2}} \ dots \ underbrace {\ varepsilon \ dots \ varepsilon} _ {a_ {n} -1} 1) _ {2}}
?(x)=klo0+∑k=1∞(-1)k+12klo1+⋯+klok-1{\ displaystyle {\ mathrm {?}} (x) = a_ {0} + \ summa _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k + 1}} {2 ^ {a_ {1} + \ cdots + a_ {k} -1}}}}
konvergentin sarjan summa . Myös tässä kirjoittamalla summa binääriluvuksi saadaan yksinkertainen lauseke:
?(x)=klo0+(0,0...0⏟klo1-11...1⏟klo20...0⏟klo3...)2{\ displaystyle {\ mathrm {?}} (x) = a_ {0} + (0, \ alatuki {0 \ pistettä 0} _ {a_ {1} -1} \ alatuki {1 \ pistettä 1} _ {a_ {2}} \ underbrace {0 \ dots 0} _ {a_ {3}} \ dots) _ {2}}
Esimerkkejä
- Kokonaisluvulle sen kehitys jatkuvana murtolukuna tulee alas:
∀ei∈Zei=[ei]=[ei-1,1]{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z} \ quad n = \ left [n \ right] = \ left [n-1,1 \ right]}![{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z} \ quad n = \ left [n \ right] = \ left [n-1,1 \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d926f09e6823637d71104b9b767aa5f46521113)
:
?(ei)=ei{\ displaystyle \ mathop {?} \ vasen (n \ oikea) = n}
2417=[1,2,2,2,1]=[1,2,2,3]{\ displaystyle {\ frac {24} {17}} = \ vasen [1,2,2,2,1 \ oikea] = \ vasen [1,2,2,3 \ oikea]}![{\ displaystyle {\ frac {24} {17}} = \ vasen [1,2,2,2,1 \ oikea] = \ vasen [1,2,2,3 \ oikea]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374d9df394d0878d639f09d3a9509cf83018bdc0)
mistä
?(2417)=1+(-1)1+122-1+(-1)2+122+2-1+(-1)3+122+2+2-1+(-1)322+2+2=1+12-18+132-164=1+2564=1+(0,011001)2{\ displaystyle \ mathop {?} \ left ({\ frac {24} {17}} \ right) = 1 + {\ frac {(-1) ^ {1 + 1}} {2 ^ {2-1} }} + {\ frac {(-1) ^ {2 + 1}} {2 ^ {2 + 2-1}}} + {\ frac {(-1) ^ {3 + 1}} {2 ^ { 2 + 2 + 2-1}}} + {\ frac {(-1) ^ {3}} {2 ^ {2 + 2 + 2}}} = 1 + {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {32}} - {\ frac {1} {64}} = 1 + {\ frac {25} {64}} = 1+ (0 , 011001) _ {2}}
2=[1,2,2,...]{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = \ vasen [1,2,2, \ ldots \ oikea]}![{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = \ vasen [1,2,2, \ ldots \ oikea]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b16efd63899f9caad67e02eeaaa51aba7a3483)
mistä
?(2)=1+∑k=1∞(-1)k+122k-1=75=1+(0,01100¯)2{\ displaystyle \ mathop {?} \ left ({\ sqrt {2}} \ right) = 1 + \ summa _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k + 1 }} {2 ^ {2k-1}}} = {\ frac {7} {5}} = 1+ (0,0 {\ yliviiva {1100}}) _ {2}}
Ominaisuudet
Se on tasaisesti jatkuva funktio , tiukasti kasvava, pariton ja todellisten funktioiden yhtälön ? ( X +1) =? ( X ) + 1 todentaminen reaalilukujoukon yli . Se on yksikkö , mikä tarkoittaa sitä, että se on johdettavissa melkein kaikkialta ja nolla johdannainen lähes kaikkialta; erityisesti se on erottuva, nolla johdannainen rationaaliluvuista. Siksi se ei ole ehdottoman jatkuva .
Tämän funktion rationaalijoukon kuva on joukko diadisia perusteluja , ja johtuen neliöllisten algebrallisten numeroiden luonnehdinnasta niiden jatkuvan murto-osan kehityksen jaksollisuuden perusteella, irrationaalisten joukon kuva neliöllinen on joukko ei-rationaalisia -adadinen rationaalia.
Joo s/q ja p '/q 'ovat kaksi pelkistämätöntä jaetta siten, että | pq ' - p'q | = 1 (kaksi peräkkäistä elementtiä Farey-sekvenssistä ) sitten
?(s+s′q+q′)=12(?(sq)+?(s′q′)){\ displaystyle? \ left ({\ frac {p + p '} {q + q'}} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ mathop {?} \ left ({\ frac {p} {q}} \ oikea) + \ mathop {?} \ vasen ({\ frac {p '} {q'}} \ oikea) \ oikea)}
Mikä tahansa murtoluku hajoaa ainutlaatuisesti kahden pienempien osoittajien ja nimittäjien fraktioiden mediaanina (katso artikkeli Stern-Brocot-puusta ); yhdistetty siihen, että ja , mikä antaa määritelmän indusoimalla funktion ? järkevällä.
?(0/1)=0{\ displaystyle \ mathop {?} (0/1) = 0}
?(1/1)=1{\ displaystyle \ mathop {?} (1/1) = 1}![{\ displaystyle \ mathop {?} (1/1) = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dcce1e730487e12eddcaa8cb5f43dc7a0752e57)
Kysymysmerkkitoiminto on erikoistapaus fraktaalikäyristä De Rham (en) .
Conway-laatikkotoiminto
Kysymysmerkkitoiminto on bijektiivinen, ja sen vastavuoroinen bijektio on herättänyt myös erilaisten matemaatikkojen, erityisesti John Horton Conwayn , huomion , joka löysi itsenäisesti uudelleen ja huomasi toiminnon ? −1 ( x ) . Tämä toiminto (joka mahdollistaa sen ratkaista joukko ”vääristynyt fraktiot”) voidaan laskea binary laajennus ( x - ⌊ x ⌋) / 2 , jossa ⌊ x ⌋ tarkoittaa kokonaisluku toiminto . Tämän binäärilaajennuksen muodostaa n 1 nollaa, jota seuraa n 2 nollaa , sitten n 3 nollaa ja niin edelleen. Olettaen, että n 0 = ⌊ x päällä , meillä on sitten
x{\ displaystyle {\ begin {array} {| c |} \ hline x \\\ hline \ end {array}}}![\ begin {array} {| c |} \ hline x \\ \ hline \ end {array}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3756a41a886b19f8f69422aa7bcfe0d28fa5c0ef)
x=[ei0,ei1,ei2,ei3,...]{\ displaystyle {\ begin {array} {| c |} \ hline x \\\ hline \ end {array}} = [n_ {0}, n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}, \ pisteitä]}
,
oikealla oleva merkintä, joka edustaa jatkuvaa murto-osaa .
Conway-laatikkotoiminto saadaan myös Sternin piilevästä sekvenssistä .
Huomautuksia ja viitteitä
(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan peräisin
englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista
" Minkowskin kysymysmerkkitoiminto " ( katso luettelo kirjoittajista ) .
-
(De) H. Minkowski, "Zur Geometrie der Zahlen" , julkaisussa Verhandlungen des III. kansainväliset matemaatikkakongressit Heidelbergissä , Berliinissä,1904, s. 164-173.
-
A. Denjoy, ” Todellisesta Minkowski-toiminnosta ”, J. Math. Pure Appl. , voi. 17,1938, s. 105-151 ( lue verkossa ).
-
Juuri yksikön funktio on jatkuva toiminto, ei vakio, melkein kaikkialla erottuva ja johdannainen melkein kaikkialla nolla, ks. Esim. lähdeluettelossa
-
(in) John H. Conway, numeroita ja pelit , chap. 8.
-
(in) Sam Northshield, " Sternin kaksiatomiseksi järjestyksessä " , Amer. Matematiikka. Kuukausittain , vol. 117, n ° 7,2010, s. 581-598.
Katso myös
Aiheeseen liittyvät artikkelit
Bibliografia
- (en) L. Biblioni, J. Paradis ja P. Viader, ” Uusi valo Minkowskin toiminnalle? (x) Funktio ” , J. Numeroteoria , voi. 73, n ° 21998, s. 212-227 ( DOI 10.1006 / v ..1998.2294 )
- (en) L. Biblioni, J. Paradis ja P. Viader, “ Minkowskin singulaarisen funktion johdannainen ” , Journal of Mathematical Analysis and Applications , voi. 253, n ° 1,2001, s. 107-125 ( DOI 10.1006 / jmaa.2000.7064 )
Ulkoiset linkit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">