Keskivoima

On klassinen mekaniikka materiaalin pisteen, voimakenttä kutsutaan keskeinen voima alalla , Keskustan O, jos se täyttää . Voiman tuki kulkee kiinteän keskipisteen O läpi. F→(M){\ displaystyle {\ vec {F}} (M) \,}F→=Fer→{\ displaystyle {\ vec {F}} = F {\ vec {e_ {r}}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}} \,}

• Jos keskeinen voima on konservatiivinen, se johtuu potentiaalisesta energiasta (skalaarista) . Usein vakio valitaan tavanomaisesti, jos mahdollista, niin .U(M)=U(r)=-∫0rF(r).dr+vs.te{\ displaystyle U (M) = U (r) = - \ int _ {0} ^ {r} F (r) .dr + c ^ {te}}U(r=∞)=0{\ displaystyle U (r = \ infty) = 0}

• Tutkimus keskeisvoima liike oli yksi ensimmäisistä mekaanisia ongelmia ratkaistaan Newton .

Hooken lineaarinen voima

Robert Hooke (1635-1703) ilmoitti marras- ja joulukuussa 1679 kirjeenvaihdossaan Isaac Newtonin kanssa tämän keskipisteisen voimakentän lain.

F→(M)=-k⋅OM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} (M) = - k \ cdot {\ overrightarrow {OM}}}

Kerroin k on sanottu olevan jousen tuotto vakio (tai myös: kevät jäykkyys); k ilmaistaan ​​N / m: nä.

• Liittyvä potentiaalienergia otetaan tavallisesti yhtä suuri kuin .U(M)=12⋅k⋅r2{\ displaystyle U (M) = {\ frac {1} {2}} \ cdot k \ cdot r ^ {2} \,}

• huomautus: Hooke pidetään liikkeen pallomaisen heilurin hyvin pienten värähtelyjen, koska johtuen liikkeen pienen massan vaikutuksen alaisena keskeisen kentän kanssa , l ollessa säde.-k⋅OM→{\ displaystyle -k \ cdot {\ overrightarrow {OM}}}k=m⋅gl{\ displaystyle k = {\ frac {m \ cdot g} {l}} \,}

Siten hän yleisti Galileon työn yksinkertaisella heilurilla ( 1601 ). Havainnointi on erittäin helppoa, koska liikerata on yksinkertainen ellipsi, jonka keskipiste on piste O: lla (Ranskassa puhutaan Lissajous-ellipsistä, mutta tarkemmin Galileo-Hooke-ellipsistä).

Huomaa: jos värähtelyt eivät ole kovin pieniä, se on pallomainen heiluri , jota on paljon vaikeampi tutkia. Huomautus: Anekdoottina koko talven 1679/1680 Robert Hooke oli aloittanut kirjeenvaihdon Newtonin kanssa. Tästä kirjeenvaihdosta syntyi vuonna 1684 käsikirjoitus " Motu corporum gyrum ", joka voidaan omaksua " Principian " alkioon . Huomaa, että Newton ei maininnut "yhteistyötään" R. Hooken kanssa. Vuonna 1685 käsikirjoituksessa Robert Hooke ehdotti kiertoradojen laskentamenetelmää, jota hän sovelsi onnistuneesti kartiomaisen heilurin liikkeen laskemiseen (luku seitsemän 1685 - Trinity college -käsikirjoitukset)

Newtonin kenttä

Isaac Newton osoitti vuonna 1685 niin sanotun Newton-Gaussin lauseen (ks. Gaussin lause, jota sovellettiin sähköstaattisuuteen ):

universaali lain vetovoima välillä pallomainen tähti, Keskustan O, massan M ja jonka säde on R, on pieni piste massa m sijaitsee P , alan ulkopuolelle (siis r = OP> R) pelkistetään yksinkertainen keskeinen voima . -G⋅M⋅mr2⋅u→r{\ displaystyle - {\ frac {G \ cdot M \ cdot m} {r ^ {2}}} \ cdot {\ vec {u}} _ {r} \,}

• Newtonin kentällä on potentiaalienergiaa (johon on lisättävä vakio, joka usein valitaan nollaksi sopimuksella).U(r)=-G⋅M⋅mr{\ displaystyle U (r) = - {\ frac {G \ cdot M \ cdot m} {r}} \,}

• Planeetojen liike Newtonin aurinkokentän vaikutuksesta, missä on Gaussin vakio, joka tunnetaan huomattavalla tarkkuudella (10 merkitsevää numeroa), on Keplerin lailla kuvattu liike, jonka Newton osoitti vuonna 1684 De Deotu ”, Joka kirjoitettiin uudelleen ( heti kun Newtonilla oli selvä tietoisuus Newton-Gaussin lauseesta painovoiman universaalin lain kautta ), traktaatissa: Principia (1687) (katso Keplerin lakien esittely ).-kr2{\ displaystyle - {\ frac {k} {r ^ {2}}} \,}k=G⋅MS{\ displaystyle k = G \ cdot M_ {S} \,}

• Maan satelliittien (kuu mukaan lukien) liike ymmärretään samalla tavalla.

Tämän lauseen ansiosta Newton yhdisti kaksi maailmaa: maanpäällisen mekaniikan ja taivaanmekaniikan, kuten Galileo arveli dialogeissaan (1632).

• Newtonin kentän yleinen tutkimus on aihe, geotieteissä, gravimetria , sähköstaattisuudessa eristimien kantamien kiinteiden varausten kenttä , potentiaaliteorian matematiikka , aihe, jonka Henri Poincaré , Ito ja Doob ovat kehittäneet paljon .

• Huomautus toisesta kosmisesta nopeudesta: maan tasolla . Ammukselle on siis annettava päinvastainen alku- kineettinen energia, jotta se voi irtautua painopisteestä: vastaava nopeus, luokkaa 11,2 km / s , on toinen kosminen nopeus (toinen avaruuden nopeus): riippumaton m (Galileo laki: hitausmassa ja gravitaatiomassa-maksu ovat aina suhteessa ja sen vuoksi, jos samassa yksikössä on valittu, ovat samat. Tämä laki, nostetaan sijoitus Vastaavuus periaate on kohta d ankkurointi Einsteinin gravitaatio Tämä Periaate on vahvistettava kokeellisesti "mikronisella" satelliitilla.U(R)=-G⋅M⋅mR{\ displaystyle U (R) = - {\ frac {G \ cdot M \ cdot m} {R}} \,} v=2⋅g×R{\ displaystyle v = {\ sqrt {2 \ cdot g \ kertaa R}} \,}

Newton-Gaussin lause

Newton-Gaussin lause on varsin merkittävä ja hämmästynyt syvästi Newtonista, joka piti sitä yhtenä tärkeimmistä löytöistään.

Todellakin päätellään heti, että maapallon, jonka massana pidetään pallomaisena, maanpainovoima g on ja että kuun, jota pidetään omenana, etäisyydellä 60 maasäteestä, maapallon vaikutus on (60) 2 = 3600 kertaa pienempi: tämä laskelma on pysynyt kuuluisana ja aivan oikein ja tehnyt Newtonista kuuluisan. MT{\ displaystyle M_ {T}}G⋅MTR2{\ displaystyle {\ frac {G \ cdot M_ {T}} {R ^ {2}}} \,}

• Newtonin omena  : Newtonin kuuluisa apokryfilainaus on:

Tai omenani pääni yläpuolella: vasen maapallopuolisko, massan M / 2, vetää sitä vasemmalle voimalla, jota on vaikea laskea ja joka on suunnattu pisteeseen C1, joka ei ole pallonpuoliskon painopiste ja symmetrisesti toinen puolipallo, massa M / 2, vetää sitä oikealle kohti pistettä C2. Symmetrisesti nämä kaksi voimaa koostuvat voimasta, joka on suunnattu maapallon keskiosaan O (ja omena putoaa päähäni), mutta on huomattavan yksinkertaista , että laki on 1 / OM2. Tämä anekdootti, perintö fysiikan (vähän kuin Einstein 's E = mc 2 tai Arkhimedeen ' Eureka ) kutsutaan Newtonin omena kaikkialla maailmassa .

• huomautus a-painovoimasta  : erityisesti tämä välitön seuraus johtaa myös huomattavaan, mutta Newtonin nopeasti ymmärtämään: pallomaisen massan kuorelle, jonka massa on M, sisäinen säde , ulkoinen säde, ulkoinen painovoima on , mutta sisäinen painovoima on ehdottomasti nolla! Mikä tahansa esine kelluu siellä painottomuudessa (se on todellakin painottomuutta eikä painottomuutta ). Lause Ivory yleistää tämän ylimääräisen painoton ellipsoideihin kuori. Cavendish ottaa tämän esiin sähköstaatiossa, katso Cavendishin pallonpuoliskojen kokeilu . Jules Vernea huvitti tämä utelias ilmiö yhdessä hänen 80 romaanistaan.R1{\ displaystyle R_ {1}}R2{\ displaystyle R_ {2}}-G⋅Mr2{\ displaystyle - {\ frac {G \ cdot M} {r ^ {2}}} \,}

Riippumatta siitä, kuinka lähellä olet rungon sisäseinää, lähellä oleva seinä houkuttelee yhtä paljon kuin muu runko toiseen suuntaan ja aiheuttaa absoluuttisesti nolla voimaa, millä tahansa tavalla määrität "sulje". Totta puhuen, tämä on "todellinen" Newton-Gaussin lause, merkittävä lause . Koska ulkopuolelta se, että kenttä on 1 / r²: ssa, oli Newtonille selkeä intuitio siitä lähtien, kun hän päätteli samanlaisuudesta 1671, homoteettisillä Keplerin ellipseillä. Lisäksi syvästi hurskas Newton oli myös hyvin tyytyväinen tähän lauseeseen: jos aurinkokunta oli pallomaisen maailmankaikkeuden sisäkuoressa, niin maailmankaikkeuden oikea osa tasapainotti vasemman osan kohdistamaa voimaa. Yksi ainoa Jumala voisi hallita tätä maailmankaikkeutta: Newtonille avaruus ja aika voivat olla absoluuttisia alusta alkaen.

Galileo, Huygens ja monet muut olivat kuitenkin ryhtyneet osoittamaan Galilean suhteellisuusperiaatetta . Newtonin mestarillinen työ tukahduttaa hypoteesien vastaavuuden . Jopa McLaurinia, joka yrittää puolustaa Huygensin "veneen periaatetta", ei noudateta (1742). On odotettava, että Fresnel , Michelson ja sitten Ernst Mach , tämän suhteellisuusperiaatteen löytävän toisen tuulen.

Voimalain kenttä

Kenttä on tällä kertaa , siis potentiaalinen energia (paitsi n = 1). F(r)=-krei{\ displaystyle F (r) = - {\ frac {k} {r ^ {n}}} \,}U(r)=-k(ei-1)⋅rei-1{\ displaystyle U (r) = - {\ frac {k} {(n-1) \ cdot r ^ {n-1}}} \,}

Jos n on negatiivinen, merkitsemme yleensä potentiaalisella energialla . F(r)=-k⋅rs{\ displaystyle F (r) = - k \ cdot r ^ {p} \,}U(r)=+k⋅rs+1s+1+vs.te{\ displaystyle U (r) = + {\ frac {k \ cdot r ^ {p + 1}} {p + 1}} + c ^ {te} \,}

Keskisuuntaisen voiman kohdalla potentiaalienergia kasvaa: sanomme, että hiukkanen liikkuu potentiaalikaivossa .

Näytämme, että kun n <3,

jos kulmamomentti (vakio) ei ole nolla, L→=m⋅OM→∧V→{\ displaystyle {\ vec {L}} = m \ cdot {\ overrightarrow {OM}} \ wedge {\ vec {V}} \,}

liikerata pysyy tukossa perentrisen ympyrän ja eksentrisen ympyrän välillä, tiheä kruunussa, lukuun ottamatta alkutilanteita, jotka eivät ole fyysiseltä kannalta uskottavia.

Kaksi poikkeustapausta ovat edellä mainitut: n = 2 (Newton) ja p = 1 (Hooke): tämä on Bertrandin lause , koska rappeuma on olemassa: radiaalinen jakso on moninkertainen kulmajaksosta. (katso Liike keskusvoimalla ).

Katso myös

• Keskushallinnon liike

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">