Grassmannin kaava
On matematiikka , tarkemmin sanoen lineaarialgebra , Grassmann n kaava ilmaisee ulottuvuus on summa kahden vektorin aliavaruuksia saman vektorin tilaan . Tarkemmin :
Grassmann-kaava - Olkoon F ja G saman vektoritilan E kaksi alatilaa . Niin
Aurinko(F)+Aurinko(G)=Aurinko(F+G)+Aurinko(F∩G).{\ displaystyle \ himmeä (F) + \ himmeä (G) = \ himmeä (F + G) + \ himmeä (F \ korkki G).}
Jos F ja G ovat äärellinen vastaavien mittojen, tästä seuraa, että F + G myös ja että
Aurinko(F+G)=Aurinko(F)+Aurinko(G)-Aurinko(F∩G).{\ displaystyle \ dim (F + G) = \ dim (F) + \ dim (G) - \ dim (F \ cap G).}
Kaksi mielenosoitusta
- Seuraava lineaarinen sovellukset :0→F∩G→F×G→F+G→0,{\ displaystyle 0 \ - F \ cap G \ - F \ kertaa G \ - F + G \ - 0,}
missä toinen kartta on ja kolmas , muodosta lyhyt tarkka sekvenssi . Siksi sijoituslauseen mukaan (jopa äärettömässä ulottuvuudessa) :x↦(x,x){\ displaystyle x \ mapsto (x, x)}
(x,y)↦x-y{\ displaystyle (x, y) \ mapsto xy}
Aurinko(F∩G)+Aurinko(F+G)=Aurinko(F×G).{\ displaystyle \ dim (F \ cap G) + \ dim (F + G) = \ dim (F \ kertaa G).}
Grassmannin kaava on tulos, koska himmeä ( F × G ) = himmeä ( F ) + himmeä ( G ) .
- Toinen ajatus on huomata tämän kaavan analogia seuraavaan (voimassa myös äärettömiin ryhmiin) ja päätellä siitä:kortti-(AT)+kortti-(B)=kortti-(AT∪B)+kortti-(AT∩B).{\ displaystyle {\ text {card}} (A) + {\ text {card}} (B) = {\ text {card}} (A \ cup B) + {\ text {card}} (A \ cap B).}
Tunnistaa termi termillä tämän yhtälön kanssaAurinko(F)+Aurinko(G)=Aurinko(F+G)+Aurinko(F∩G),{\ displaystyle \ himmeä (F) + \ himmeä (G) = \ himmeä (F + G) + \ himmeä (F \ korkki G),}
valita pohja on ja se loppuun , joka perustaa on toisaalta ja pohja on puolestaan: on sitten pohjan ja tulee olemaan sama kuin pohjan jaVS{\ displaystyle C}
F∩G{\ displaystyle F \ korkki G}
AT{\ displaystyle A}
F{\ displaystyle F}
B{\ displaystyle B}
G{\ displaystyle G}
AT∪B{\ displaystyle A \ kuppi B}
F+G{\ displaystyle F + G}
AT∩B{\ displaystyle A \ korkki B}
VS{\ displaystyle C}F∩G.{\ displaystyle F \ korkki G.}
Viitteet
-
(en) Michael Artin , Algebra [ yksityiskohdat painoksesta ], ehdotus 6.9, s. 103 .
-
(en) Serge Lang , Algebra , 1965 [ yksityiskohdat painoksista ] , s. 92 , harjoitus 6.
Aiheeseen liittyvä artikkeli
Toinen isomorfismilause
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">