Fibonači -sana fraktaali

Fibonacci sana Fractal on taso Fractal käyrä määritellään päässä Fibonacci sanasta .

Määritelmä

Tämä käyrä rakennetaan iteratiivisesti soveltamalla Fibonacci-sanaan : 0100101001001 ... OEDR-sääntöä (pariton-parillinen piirtosääntö). Jokaiselle sijainnissa k olevalle numerolle :

jos luku on 1: piirrä segmentti, jonka pituus on 1 edelliseen suuntaan
jos luku on 0, piirrä segmentti, jonka pituus on 1 neljänneskierroksen jälkeen:
- oikealla, jos k on tasainen
- vasemmalla, jos k on pariton

Fibonacci-sanan pituus, joka on n- edes Fibonacci-luku , liittyy segmentteihin muodostuvaan käyrään . Käyrä esitetään kolmella eri näkökulmalla riippuen siitä, onko n muodon 3 k , 3 k +1 vai 3 k +2. $F_ {n}$ $F_ {n}$ $F_ {n}$

Ominaisuudet

Ominaisuudet.

Käyrä , jossa on segmenttejä, esittelee oikean kulmat ja tasainen kulmat. ${\ mathcal {F}} _ {n}$ $F_ {n}$ $F _ {{n-1}}$ $F _ {{n-2}}$
Käyrällä ei ole koskaan itsepistettä tai kaksinkertaisia pisteitä. Viime kädessä se esittää äärettömän asymptoottisesti lähellä olevia kohtia.
Käyrä osoittaa omaa samankaltaisuutta kaikissa asteikoissa. Pienennyskerroin on voimassa . Tätä numeroa, jota kutsutaan myös hopeanumeroksi , esiintyy monissa alla käsitellyissä geometrisissa ominaisuuksissa. ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {Ag} = \ varphi _ {2}}$
Automaattisesti samanlainen kopioluku asteessa n on Fibonacci-luku miinus 1 (tarkemmin :) . $F _ {{3n + 3}} - 1$
Käyrä rajaa pienen koon neliömäisten rakenteiden äärettömyyden suhteessa . ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$
Tämä neliömäärä on Fibonacci-luku.
Käyrä voidaan myös rakentaa monin tavoin (katso galleria ):
- järjestelmä iteroidaan toimintoja 4 ja 1 homothety suhteena ja ; ${\ displaystyle 1 / \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle 1 / \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2}}$
- käyrien n - 1 ja n - 2 rinnakkaisuus ;
- Lindermayer-järjestelmä ;
- iteroitu 8 neliön kuvion rakentaminen jokaisen neliökuvion ympärille;
- kahdeksankulmioiden iteroitu rakenne.
Hausdorff ulottuvuus käyrä on , kanssa , kultainen suhde . ${\ displaystyle {\ frac {3 \ log \ varphi} {\ log \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right)}} \ noin 1 {,} 6379}$ $\ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt 5}} 2}$
Yleistämällä minkä tahansa kulman välillä 0 ja sen Hausdorff-ulottuvuus on sama kuin . $\ alfa$ $\ pi / 2$ ${\ displaystyle {\ frac {3 \ log \ varphi} {\ log \ left (1 + a + {\ sqrt {(1 + a) ^ {2} +1}} \ oikea)}}}$ ${\ displaystyle a = \ cos \ alpha}$
Rajan Hausdorff-ulottuvuus on kelvollinen . ${\ displaystyle {\ frac {\ log 3} {\ log \ vasen (1 + {\ sqrt {2}} \ oikea)}} \ noin 1 {,} 2465}$
"0": n ja "1": n roolin vaihtaminen Fibonacci-sanassa tai säännössä tuottaa saman käyrän, mutta suunnattu 45 °.
Vuodesta Fibonacci sana, voimme määritellä "tiheä Fibonacci sana" koskevasta aakkoset 3 kirjainta: 102210221102110211022102211021102110221022102211021 ... (jatkoa A143667 on OEIS ). Tällä sanalla "luonnollisen" piirtosäännön soveltaminen antaa mahdollisuuden määrittää käyrän ääretön joukko muunnelmia, joista:
- ”diagonaalinen” muunnos;
- "hakaristi" -vaihtoehto;
- "kompakti" variantti.
Me arvelevat, että kuvio fraktaali Fibonacci sana on löytynyt mitään Sturmian sana , jonka direktiivin sekvenssin (siis laajentamiseen kaltevuus jatkui jakeet ) päät ääretön sekvenssi "1".

Galleria

Käyrä iteraatioiden jälkeen . $\ textstyle {F _ {{23}}}$
Itsensä samankaltaisuudet
Mitat
Rakentaminen rinnakkain (1)
Rakentaminen rinnakkain (2)
Rakennustila toistamalla neliöt.
Rakennusmenetelmä toistetaan kahdeksankulmioilla.
Iteratiivinen rakenne neliöiltä.
60 ° kulmassa.
"0": n ja "1": n roolien kääntäminen.
Tiheästä Fibonacci-sanasta syntyvät muunnelmat.
"Kompakti" variantti
Vaihtoehto "hakaristi"
"Diagonaalinen" variantti
Vaihtoehto "pi / 8"

Fibonacci-laatta

Neljän tyyppisen Fibonacci-käyrän rinnakkaisuus mahdollistaa suljetun käyrän rakentamisen, joka rajaa yhdistetyn pinnan, joka ei ole nolla. Tätä kuvaa kutsutaan "Fibonacci-laataksi". $F _ {{3k}}$

Fibonacci-laatta melkein tasoittaa koneen. Neljän laatan rinnakkaisuus (katso kuva) jättää keskelle vapaan neliön, jonka pinta on kohti nollaa, kun k on kohti ääretöntä. Viime kädessä Fibonacci-laatta tasoittaa tasoa.
Jos Fibonacci-laatta sopii neliöön, jonka sivu on 1, sen pinta pyrkii kohti . ${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {2}} \ noin 0 {,} 5857}$

Fibonacci-hiutale

Fibonacci-hiutale on Fibonacci-laatta, joka on määritelty seuraavan säännön mukaisesti:

${\ displaystyle q_ {n} = q_ {n-1} q_ {n-2}}$ jos ; ${\ displaystyle n \ equiv 2 {\ pmod {3}}}$
${\ displaystyle q_ {n} = q_ {n-1} {\ overline {q_ {n-2}}}}$ jos ei.

Kanssa ja , "käänny vasemmalle" ja "käänny oikealle", ja , $q_ {0} = \ epsilon$ $q_ {1} = D$ $G =$ $D =$ ${\ displaystyle {\ overline {D}} = G}$

Joitakin merkittäviä ominaisuuksia:

Se on Fibonacci-laatta, joka liittyy edellä määriteltyyn "diagonaaliseen" muunnokseen.
Hän laatii suunnitelman missä tahansa toistossa (missä tahansa järjestyksessä)
Se tasoitti konetta käännöksellä kahdella eri tavalla, joten se on kaksinkertainen pseudoneliö.
sen kehä tilauksesta on arvoinen . $ei$ ${\ displaystyle 4F_ {3n + 1}}$
sen pinta-ala seuraa järjestyksessä Pell-sekvenssin peräkkäisiä parittomia indeksejä (määritelty , ja ). $ei$ ${\ displaystyle P_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle P_ {1} = 1}$ ${\ displaystyle P_ {n} = 2P_ {n-1} + P_ {n-2}}$

Huomautuksia ja viitteitä

(in) A. Monnerot-Dumaine, Fibonacci Fractal Word , maaliskuussa 2009 annetun HAL .
(en) A. Blondin-Massé, S. Labbé ja S. Brlek, Christoffel- ja Fibonacci-laatat , syyskuu 2009.
(sisään) A. Blondin Masse, S. Labbé, S. Brlek ja Mendes-France, " Fibonacci-lumihiutaleet " ( Arkisto • Wikiwix • Archive.is • Google • Mitä tehdä? ) ,2010.

Katso myös

Aiheeseen liittyvä artikkeli

Luettelo fraktaaleista Hausdorff-ulottuvuuden mukaan

Ulkoinen linkki

(en) S. Brlek, Kaksoisneliöiden yhdistävät näkökohdat ,heinäkuu 2009 (konferenssimateriaali, A. Blondin-Massé ja S. Labbé)