Mosaiikki tasossa on joukko osia tason , esimerkiksi monikulmio , liitto, joka on koko kone, ilman päällekkäisyyttä.
Tarkemmin, se on osio on euklidisen tason elementtien on äärellinen joukko, jota kutsutaan "laatat" (tarkemmin sanottuna, ne ovat tiivistetään ja ei - tyhjä sisätila ). Yleensä harkitsemme laatoitusta "käännöksittäin", toisin sanoen, että kaksi samanlaista laattaa on aina vähennettävä toisistaan käännöksellä (pois lukien kiertymät tai symmetriat).
Voimme myös tasoittaa ei-euklidista tasoa : katso ei-euklidisen avaruuden tasoittaminen .
Näennäisesti vaaraton kysymys koskee eri taso-osien (tai alueiden ) värittämiseen tarvittavien värien määrää siten , että kaksi raja-aluetta (ts. Joilla on yhteinen raja) eivät saa samaa väriä. Jo pitkään on ollut tiedossa, että käytännössä neljä värit ovat riittäviä, mutta se on arvailua totesi vuonna 1852, jota ei ole osoitettu, vasta 1976 ( neljä väriä teoreema ).
Säännölliset taso- tai avaruuslaatat ovat olleet tunnettuja muinaisista ajoista lähtien, ja niitä käytettiin usein koriste-aiheina arkkitehtuurissa.
In kristallografia , nämä tilings mallintaa määräajoin järjestelyt atomien ( kiteet ). Vuonna 1891 venäläinen kristallografi ja matemaatikko Evgraf Fedorov osoitti, että tasokristallografisia ryhmiä oli vain 17 tyyppiä (isometriaryhmät, jotka sisältävät erillisen kaksiulotteisen käännösten alaryhmän).
Myöhemmin Heinrich Heesch osoitti vuonna 1968, että levittäjiä (tai laattoja) oli 28 tyyppiä. Tätä luokitusta voidaan kuitenkin parantaa, koska jotkut 28 tyypistä ovat toisten erikoistapauksia.
Itse asiassa kutakin kristallografista ryhmää, kahta poikkeusta lukuun ottamatta, vastaa yhden tyyppistä päällystekiveä. Kukin näistä poikkeuksista ( pg ja pgg ) liittyy kahden tyyppisiin päällystekiviin. Siksi suunnitelman jaksoittaiselle päällystykselle on yhteensä 19 tyyppistä levittäjää.
Useat näistä tyyppeistä voidaan saavuttaa laatoittamalla, joiden laatat ovat kaikki säännöllisiä polygoneja . Alhambra Granadassa sisältää mosaiikit kuvaten lähes kaikkien päällystys.
Matemaatikot ovat jo pitkään uskoneet, että kaikki laatat, jotka voivat tasoittaa tasoa, voivat tehdä niin säännöllisesti.
Erityisesti Hao Wang arveli vuonna 1961, että näin oli, ja päätteli, että voitaisiin suunnitella tietokoneohjelma , joka päättäisi, saivatko tietyt laatat asettaa suunnitelman päällystämään vai ei. Kuitenkin vuonna 1966, Robert Berger (oppilas Wang) löysi joukko 20426 laattoja, jotka voivat vain ajoittain tessellate koneessa, jota hän käytti osoittaa, että ongelma onko peli laatoitettu kone vai ei. Oli undecidable .
Sittemmin on löydetty pienempiä laattasarjoja, jotka vain ajoittain ajoittain:
Aperiodisissa laatoituksissa jotkut ovat vähemmän kuin toiset ... toisin sanoen voimme kvantifioida aperiodisuuden asteen.
Tällä tavoin voimme mainita esimerkiksi "toistumisen" ja "tasaisen toistumisen" (tai "lähes jaksollisuuden") käsitteet.
Laatan sanotaan olevan toistuva, jos kun kuvio (rajallinen laattasarja) ilmestyy kerran, se näkyy millä tahansa riittävän suurella alueella. Jos lisäksi tämän vyöhykkeen koko voidaan kiinnittää kuvion koon funktiona, niin laatoituksen sanotaan olevan tasaisesti toistuva (tai kvasiiperiodinen).
Täten tasaisesti toistuva tason laatoitus on sellainen, että jos tarkastellaan mitä tahansa kuviota, joka näkyy ympyrässä, jonka säde r on piirretty laatoitukseen, on olemassa luku R , jotta voimme olla varmoja, että tämä kuvio ilmestyy uudelleen missä tahansa ympyrässä on säteen R piirretään päällystys.
Erityisesti jaksoittaiset laatat ovat tasaisesti toistuvia ( a fortiori toistuvia). Tämä pätee myös Penrose-päällystykseen . Itse asiassa voidaan osoittaa, että jos joukko laattoja tasoittaa tasoa, se voi myös laatoittaa sen tasaisesti toistuvalla tavalla (todiste perustuu diagonaaliargumenttiin ).