Klein-ryhmä

Tämä artikkeli on pääpiirteittäin koskee algebran .

Voit jakaa tietosi parantamalla sitä ( miten? ) Vastaavien projektien suositusten mukaisesti .

On matematiikka , Klein ryhmä on, jopa isomorfismi, yksi kahdesta ryhmää , jossa on neljä elementtiä, toinen on syklinen ryhmä ; se on pienin ei-syklinen ryhmä. Se kantaa saksalaisen matemaatikon Felix Kleinin nimeä , joka vuonna 1884 kutsui sitä "Vierergruppeksi" ( neljän ryhmän ryhmä ) "kurssillaan ikosaedrilla ja viidennen asteen yhtälöiden ratkaisemisella". $C_ {4}$

Määritelmä

Klein-ryhmän määrittelee kokonaan se, että neutraalin elementin e kolmella eri elementillä on järjestys, joka on yhtä suuri kuin 2 (ne ovat invutiivisia ), ja että kahden erillisen tulo on yhtä suuri kuin kolmas. Sen elementit huomioidaan ja sen laki merkitään moninkertaisesti, sen taulukko on kirjoitettu: ${\ displaystyle e, a, b, c}$

$\ cdot$	e	Vastaanottaja	b	vs
e	e	Vastaanottaja	b	vs
Vastaanottaja	Vastaanottaja	e	vs	b
b	b	vs	e	Vastaanottaja
vs	vs	b	Vastaanottaja	e

Tapaamme merkinnät: ( on Vierergruppen alkukirjain). ${\ displaystyle \ {e, a, b, c \} = K_ {4}, V, {\ text {tai}} V_ {4}}$ $V$

Ominaisuudet

Taulukko on symmetrinen, laki on kommutatiivinen: on abelin ryhmä . $K_ {4}$
Lävistäjä e osoittaa, että jokainen elementti on oma symmetrinen, joka vastaa involutivity.
$K_ {4}$ ei ole yksinkertainen ryhmä , sillä sillä on erilaiset alaryhmät . ${\ displaystyle \ {e, a \}, \ {e, b \}, \ {e, c \}}$
$K_ {4}$ syntyy kahdesta sen järjestyksen 2 elementistä, esimerkiksi a ja b , minimisuhteet ovat . ${\ displaystyle a ^ {2} = e, b ^ {2} = e, ab = ba}$
Näin ollen mikä tahansa alaryhmä, joka on muodostettu kahdesta järjestyksen kaksi elementistä, jotka matkustavat, on isomorfinen Klein -ryhmälle.

Klein -ryhmän mallit

1) Kuten mikä tahansa ryhmä, isomorfinen symmetrisen ryhmän alaryhmälle, joka indeksoi sen elementtien määrän tässä . Voimme ottaa tilauksen kahdesta osasta kaksi kahden erillisen transponoinnin kolme tuotetta . Ryhmä on sitten erottaa alaryhmä on . Ja koska nämä permutaatiot ovat tasaisia, se on vaihtuvan ryhmän erotettu alaryhmä ( on ainoa tapaus, jossa se ei ole yksinkertaista ). $K_ {4}$ $S_ {4}$ ${\ displaystyle s_ {1} = (1,2) \ circ (3,4), \, s_ {2} = (1,3) \ circ (2,4), \, s_ {3} = (1 , 4) \ circ (2,3)}$ ${\ displaystyle \ {id, s_ {1}, s_ {2}, s_ {3} \}}$ $S_ {4}$ $A_ {4}$ $n = 4$ $Vuosi}$
2) Voimme myös ottaa järjestyksessä elementteiksi esimerkiksi kaksi kahta erillistä transpositiota ja niiden tuloksen . Ryhmää ei kuitenkaan eroteta . Tämä ryhmä on vastakkaisen kuvaajan automorfismien ryhmä (esimerkiksi). ${\ displaystyle t_ {1} = (1,2), t_ {2} = (3,4), s = (1,2) \ circ (3,4)}$ ${\ displaystyle \ {id, t_ {1}, t_ {2}, s \}}$ $S_ {4}$
3) on isomorfinen , suora tuote on syklisen ryhmän tilauksen 2 itse. K4{\ displaystyle K_ {4}} $K_ {4}$ VS2×VS2=(VS2)2{\ displaystyle C_ {2} \ times C_ {2} = (C_ {2}) ^ {2}} ${\ displaystyle C_ {2} \ times C_ {2} = (C_ {2}) ^ {2}}$
- 3.a) Ottaen lisäaineryhmän malliksi saadaan lisäainetaulukko: $C_2$ ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}} = \ {{\ overline {0}}, {\ overline {1}} \}}$

+	( 0 , 0 )	( 1 , 0 )	( 0 , 1 )	( 1 , 1 )
( 0 , 0 )	( 0 , 0 )	( 1 , 0 )	( 0 , 1 )	( 1 , 1 )
( 1 , 0 )	( 1 , 0 )	( 0 , 0 )	( 1 , 1 )	( 0 , 1 )
( 0 , 1 )	( 0 , 1 )	( 1 , 1 )	( 0 , 0 )	( 1 , 0 )
( 1 , 1 )	( 1 , 1 )	( 0 , 1 )	( 1 , 0 )	( 0 , 0 )

Kertolasku lähettää ja antaa sille yksikköelementin kommutatiivisen rengasrakenteen . Muut kaksi muuta kuin nollaelementtiä ovat neliöyksikköä ja nollatuotetta (rengas ei siis ole kiinteä). ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}}$ ${\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}) ^ {2}}$ ${\ displaystyle ({\ overline {1}}, {\ overline {1}})}$

3.b) Ottaen multiplikatiivisen ryhmän mallina saadaan taulukon multiplikatiivinen ryhmä: $C_2$ ${\ displaystyle \ {1, -1 \}}$

$\ ajat$	(1.1)	(-1,1)	(1, -1)	(-1, -1)
(0.0)	(1.1)	(-1,1)	(1, -1)	(1.1)
(-1,1)	(-1,1)	(1.1)	(-1, -1)	(1, -1)
(1, -1)	(1, -1)	(-1, -1)	(1.1)	(-1,1)
(1.1)	(1.1)	(1, -1)	(-1,1)	(1.1)

3.c) Jälkimmäinen on suoraan isomorfinen multiplikatiivisessa ryhmässä järjestyksessä kaksi lävistäjien neliömatriiseja muodostettu 1 ja -1: . ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ right \}}$

4) Koska kaksisuuntainen ryhmä on isomorfinen ryhmään , Klein-ryhmä on isomorfinen ryhmään . ${\ displaystyle D_ {2n}}$ ${\ displaystyle C_ {n} \ kertaa C_ {2}}$ ${\ displaystyle D_ {4}}$

5) Klein-ryhmä on isomorfinen kahdeksan alkuaineen ryhmän alaryhmille ; Itse asiassa kaikki alaryhmät, jotka on muodostettu kahdesta erillisestä ei-neutraalista elementistä, ovat Klein-ryhmiä. Esimerkiksi mallina : ${\ displaystyle (C_ {2}) ^ {3}}$ ${\ displaystyle (C_ {2}) ^ {3}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}}$ $C_2$
5.a) , jonka matriisin kerrottava ekvivalentti on ${\ displaystyle \ {({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {1}}, {\ overline {1}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {1}}, {\ overline {0}}, {\ overline {1}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {1}}) \}}$
5.b) . ${\ displaystyle \ left \ {{\ text {diag}} (1,1,1), {\ text {diag}} (- 1, -1,1), {\ text {diag}} (- 1, 1, -1), {\ text {diag}} (1, -1, -1) \ oikea \}}$
5.c) tai uudelleen , jonka matriisin kertolasku on ${\ displaystyle \ {({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {1}}, {\ overline {1}}, {\ overline {1}}), ({\ overline {1}}, {\ overline {1}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {1}}) \}}$
5.d) ${\ displaystyle \ left \ {{\ text {diag}} (1,1,1), {\ text {diag}} ( - 1, -1, -1), {\ text {diag}} ( - 1 , -1,1), {\ text {diag}} (1,1, -1) \ oikea \}}$
5.e) tai uudestaan , jonka matriisikerroin on ${\ displaystyle \ {({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {1}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {1}}) \}}$
5.f) ${\ displaystyle \ left \ {{\ text {diag}} (1,1,1), {\ text {diag}} (1,1, -1), {\ text {diag}} (1, -1 , 1), {\ text {diag}} (1, -1, -1) \ oikea \}}$
6) Klein ryhmä on isomorfinen ryhmän on käännettävissä elementtejä rengas , elementtien , sekä elementtejä . Kahdessa muussa tapauksessa ( ), jossa on neljä elementtiä, se on syklinen.(Z/8Z)∗{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {8 {\ mathbb {Z}}}) ^ {*}}Z/8Z{\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {8 {\ mathbb {Z}}}} ${\ displaystyle {\ overline {1}}, {\ overline {3}}, {\ overline {5}} = - {\ overline {3}}, {\ overline {7}} = - {\ overline {1 }}}$ (Z/12Z)∗{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {12 {\ mathbb {Z}}}) ^ {*}} ${\ displaystyle {\ overline {1}}, {\ overline {5}}, {\ overline {7}} = - {\ overline {5}}, {\ overline {11}} = - {\ overline {1 }}}$ ${\ displaystyle n = 5.10}$ (Z/eiZ)∗{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {n {\ mathbb {Z}}}) ^ {*}}
7) Geometrisesti, ulottuvuudessa kaksi, Klein-ryhmä on isomorfinen isometriaryhmälle, joka jättää globaalisti invariantin suorakulmion tai rombin (ei neliön muotoinen), mahdollisesti supistettuna segmentiksi. Neljä elementtiä ovat sitten identiteetin id , kaksi heijastukset pitkin mediaanit, ja keskeinen symmetria Keskustan keskellä monikulmion, joten taulukossa: ${\ displaystyle s_ {x}, s_ {y}}$ ${\ displaystyle s_ {O}}$

$\ Circ$	id	$s_ {x}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {O}}$
id	id	$s_ {x}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {O}}$
$s_ {x}$	$s_ {x}$	id	${\ displaystyle s_ {z}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$
${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {O}}$	id	$s_ {x}$
${\ displaystyle s_ {O}}$	${\ displaystyle s_ {O}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {O}}$	id

Jos kuva on neliö, on lisäksi kaksi heijastusta lävistäjien ja kulmien kiertojen mukaan , toisin sanoen 8 elementtiä, jotka muodostavat sitten järjestyksen 8 kaksijakoisen ryhmän . ${\ displaystyle \ pm 90 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle D_ {8}}$

Siirtymällä edellisten muunnosten matriiseihin saadaan kerrannaismatriisin esitys, joka on esitetty kohdassa 3) c).

9) Kolmannessa ulottuvuudessa Klein-ryhmä on isomorfinen isometriaryhmälle jättäen ei-kuutiomaisen suorakulmaisen yhdensuuntaisen muotoisen globaalisti invariantin . Siksi sitä kutsutaan joskus patjan ryhmäksi ( käännökseksi ) . Kolme toisiinsa kytkeytyvää elementtiä ovat käänteitä rinnakkaisputken kolmen symmetriakselin ympäri. Huomattuna saamme taulukon: ${\ displaystyle s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}}$

$\ Circ$	id	$s_ {x}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {z}}$
id	id	$s_ {x}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {z}}$
$s_ {x}$	$s_ {x}$	id	${\ displaystyle s_ {z}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$
${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {z}}$	id	$s_ {x}$
${\ displaystyle s_ {z}}$	${\ displaystyle s_ {z}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	$s_ {x}$	id

Vastakkaisessa kuvassa kolme suunnanvaihtoa on nimetty niiden ilmailukoostumuksen mukaan: rulla , nousu , haaroitus .

Kun siirrytään edellisten muunnosten matriiseihin, saadaan kohdassa 5.b esitetty multiplikatiivinen matriisiesitys

10) Kolmannessa ulottuvuudessa kolmen heijastuksen muodostama ryhmä kolmeen ortogonaaliseen tasoon kaksi kahdesta muodostaa ryhmän, jossa on kahdeksan elementtiä, joissa on edellä kuvatut kolme käänteistä ja keskipisteen O keskussymmetria. Tämä ryhmä on isomorfinen niin, että kaksi erillistä identiteetin elementtiä luo Klein-ryhmän. Luo esimerkiksi kohdassa 9 nähty ryhmä, generoi, jonka matriisiekvivalentti on 5.f), ja generoi, jonka matriisiekvivalentti on 5.d). Klein-ryhmään kuuluu siis seitsemän isomorfin alaryhmää . ${\ displaystyle xOy, xOz, yOz}$ ${\ displaystyle \ {id, s_ {xy}, s_ {xz}, s_ {yz}, s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}, s_ {O} \}}$ ${\ displaystyle s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}}$ ${\ displaystyle s_ {O}}$ ${\ displaystyle (C_ {2}) ^ {3}}$ ${\ displaystyle s_ {x}, s_ {y}}$ ${\ displaystyle s_ {xy}, s_ {xz}}$ ${\ displaystyle \ {id, s_ {xy}, s_ {xz}, s_ {x} \}}$ ${\ displaystyle s_ {O}, s_ {z}}$ ${\ displaystyle \ {id, s_ {O}, s_ {z}, s_ {xy} \}}$ ${\ displaystyle (C_ {2}) ^ {3}}$
11) Yleisemmin Klein-alaryhmät vastaavat - vektoritilan kaksiulotteisia vektorialatiloja ; niiden lukumäärä on siis binominen Gauss -kerroin . ${\ displaystyle (C_ {2}) ^ {n}}$ (Z/2Z){\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}})}(Z/2Z)ei{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}) ^ {n}} ${\ displaystyle {n \ select 2} _ {2} = {\ frac {(2 ^ {n} -1) (2 ^ {n} -2)} {6}}}$
12) Klein-ryhmä on myös isomorfinen kahden elementin joukon osien joukolle , jolla on symmetrinen ero . Mikä antaa taulukon: $\ {a, b \}$

$\Delta$	$\ mitään$	$\ {Vastaanottaja \}$	$\ {b \}$	$\ {a, b \}$
$\ mitään$	$\ mitään$	$\ {Vastaanottaja \}$	$\ {b \}$	$\ {a, b \}$
$\ {Vastaanottaja \}$	$\ {Vastaanottaja \}$	$\ mitään$	$\ {a, b \}$	$\ {b \}$
$\ {b \}$	$\ {b \}$	$\ {a, b \}$	$\ mitään$	$\ {Vastaanottaja \}$
$\ {a, b \}$	$\ {a, b \}$	$\ {b \}$	$\ {Vastaanottaja \}$	$\ mitään$

"Risteys" -laki antaa sitten yksikköelementin kommutatiivisen rengasrakenteen , joka on renkaan isomorfinen kohdassa 3) a) esitettyyn renkaaseen. ${\ displaystyle (P (\ {a, b \}), \ Delta, \ cap)}$ $\ {a, b \}$

13) Polynomi, jota ei voida pelkistää kentällä, jossa on kaksi elementtiä , osamäärä on kenttä, jolla satunnaisesti on 4 elementtiä ja jonka lisäaineosa on Kleinin ryhmä. Tässä yksikköelementin kaksi erilaista nollasta poikkeavaa elementtiä ovat vastakkain. Meillä on taulukot: ${\ displaystyle P = 1 + X + X ^ {2}}$ $F_2$ ${\ displaystyle F_ {2} (X) / P}$ ${\ displaystyle {\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {X}} = \ varphi, \ varphi ^ {2} = {\ overline {1}} + \ varphi}$

+	0	1	φ	φ ²
0	0	1	φ	φ²
1	1	0	φ²	φ
φ	φ	φ²	0	1
φ ²	φ²	φ	1	0

$\ ajat$	1	φ	φ ²
0	0	0	0
1	1	φ	φ²
φ	φ	φ²	1
φ ²	φ²	1	φ

Soveltaminen etnologiassa

Kirjassa Elementary Structures of Kinship etnologi Claude Lévi-Strauss tunnistaa matemaatikko André Weilin avustamana käsityksen alkeisperäisestä sukulaisuusrakenteesta käyttämällä Kleinin käsitettä ryhmästä. Vuonna rakenne on myyttejä , Lévi-Strauss käyttävät uudelleen Kleinin ryhmien perustaa kanoninen kaava myytti .

Huomautuksia ja viitteitä

(de) Felix Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade , Leipzig, Teubner,1884, 12 ja 13 Sivumäärä ( lue verkossa )
Paul Jolissaint, Lukuhuomautukset : Ryhmät ja etnologia : HTML- tai PDF-versio .