Vuonna matematiikan , The Mathieu ryhmät ovat viisi ryhmää yksinkertaisia äärellinen löysi matemaatikko ranskalaisen Emile Mathieu . Ne ovat yleensä mielletään ryhmät permutaatioiden on n pistettä (jossa n voi saada arvoja 11, 12, 22, 23 tai 24), ja ne on nimetty M n .
Mathieun ryhmät olivat ensimmäiset satunnaiset ryhmät .
Ryhmät M 24 ja M 12 ovat 5-transitiivisia , ryhmät M 23 ja M 11 ovat 4-transitiivisia ja M 22 on 3-transitiivisia. Tämä transitiivisuusehdon on myös tiukat M 11 ja M 12 .
Lopullisten yksinkertaisten ryhmien luokittelusta seuraa , että ainoat 4-transitiivisten permutaatioiden ryhmät ovat symmetriset ja vuorottelevat ryhmät (asteikolla ≥ 4 ja ≥ 6 vastaavasti) ja Mathieu-ryhmät M 24 , M 23 , M 12 ja M 11 .
Ryhmä | Tilaus | Faktoroitu järjestys |
---|---|---|
M 24 | 244,823,040 | 2 10 .3 3 .5.7.11.23 |
M 23 | 10 200 960 | 2 7 .3 2 .5.7.11.23 |
M 22 | 443,520 | 2 7 .3 2 .5.7.11 |
M 12 | 95,040 | 2 6 .3 3 .5.11 |
M 11 | 7 920 | 2 4 .3 2 .5.11 |
Vastaavuutta lukuun ottamatta on olemassa ainutlaatuinen Steiner-järjestelmä S (5,8,24). Ryhmä M 24 on tämän Steiner-järjestelmän automorfismien ryhmä , toisin sanoen joukko permutaatioita, jotka käyttävät kutakin lohkoa tiettyyn toiseen lohkoon. Alaryhmät M 23 ja M 22 määritellään yhden pisteen ja vastaavasti kahden pisteen stabiloijiksi.
Samoin on, lukuun ottamatta vastaavuus, ainutlaatuinen Steiner järjestelmä S (5,6,12) ja ryhmä M 12 on sen ryhmä automorphisms. Alaryhmä M 11 on pisteen stabilointiaine.
S: n (5,6,12) vaihtoehtoinen rakenne on Curtisin "Chaton".
Ryhmä M 24 voidaan nähdä myös binäärisen Golay-koodin W automorfismien ryhmänä , toisin sanoen ryhmänä koordinaattien permutaatioita, jotka käyttävät W: tä itseensä. Voimme myös tarkastella sitä S 24: n ja Stab ( W ): n leikkauspisteenä Aut ( V ): ssä. Koodisanat vastaavat luonnollisesti 24 objektijoukon osajoukkoja. Näitä koodisanoja vastaavia alajoukkoja, joiden koordinaatit ovat 8 tai 12, yhtä suuri kuin 1, kutsutaan oktadeiksi tai dodekadiksi . Octadit ovat Steiner S -järjestelmän lohkoja (5,8,24).
Yksinkertaiset alaryhmät M 23 , M 22 , M 12 ja M 11 voidaan määritellä M 24: n alaryhmiksi, yhden koordinaatin vastaaviksi stabiloijiksi, järjestetyksi koordinaattipariksi, komplementaaristen dodekadeiden pariksi ja kahden koordinaatin dodekadeiksi.
M 12: llä on indeksi 2 automorfismiryhmässään. Alaryhmänä M 24 , M 12 vaikuttaa toiseen dodecad kuvana ulko automorphism sen vaikutuksesta ensimmäinen dodecad. M 11 on alaryhmä M 23 , mutta ei M 22 . Tällä M 11: n esityksellä on kiertoradat 11 ja 12. M 12: n automorfismiryhmä on M 24: n suurin alaryhmä indeksillä 1288.
Mathieun ryhmien ja suurempien Conway-ryhmien välillä on hyvin luonnollinen yhteys , koska Golay-binäärikoodi ja Leech-ristikko ovat molemmat 24-ulotteisissa tiloissa. Conwayn ryhmät löytyvät vuorostaan Monster-ryhmästä . Robert Griess viittaa 20 satunnaiseen ryhmään, jotka löytyvät Monsterista onnelliseksi perheeksi ja Mathieun ryhmiksi ensimmäisenä sukupolvena .
M 23 -ryhmän voidaan nähdä katkaistun Witt- kaavion automorfismiryhmänä , 15- säännöllinen graafi, jossa on 506 kärkeä ja 3795 reunaa.
“ Moggie ” ( Arkisto • Wikiwix • Archive.is • Google • Mitä tehdä? ) (Käytetty 29. elokuuta 2017 ) Java-sovelma tutkiakseen Curtisin GOM-rakennetta.