Landsberg-Schaar-identiteetti

Vuonna matematiikassa , tarkemmin sanoen määrä teoriassa ja harmoninen analyysi The Landsberg-Schaar identiteetti on seuraava suhde, totta mielivaltaisia positiivisia kokonaislukuja p ja q :

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {p}}} \ sum _ {n = 0} ^ {p-1} \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi \ mathrm {i} n ^ {2} q} {p}} \ right) = {\ frac {1+ \ mathrm {i}} {2 {\ sqrt {q}}}} \ summa _ {n = 0} ^ {2q-1} \ exp \ left (- {\ frac {\ pi \ mathrm {i} n ^ {2} p} {2q}} \ oikea)}

Vaikka tasa-arvon kaksi jäsentä ovat vain rajallisia summia, lopullisilla menetelmillä ei ole vielä löydetty todisteita. Nykyinen todiste koostuu aiheuttavat (kanssa ) seuraavassa identiteetin (johtuen Jacobi , ja joka on lähinnä erityistapaus summattu kaava Poisson on harmoninen analyysi ): ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {2 \ mathrm {i} q} {p}} + \ varepsilon}$ $\ varepsilon> 0$

{\ displaystyle \ summa _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ pi n ^ {2} \ tau} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ tau }}} \ summa _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ pi n ^ {2} / \ tau}}

sitten suuntaamaan 0. $\ varepsilon$

Kun q = 1, identiteetti pienenee kaavaksi, joka antaa Gaussin neliösummien arvon .

Jos pq on tasainen, voimme kirjoittaa identiteetin uudelleen symmetrisemmässä muodossa

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {p}}} \ sum _ {n = 0} ^ {p-1} \ exp \ left ({\ frac {\ pi \ mathrm {i} n ^ { 2} q} {p}} \ oikea) = {\ frac {e ^ {\ pi i / 4}} {\ sqrt {q}}} \ summa _ {n = 0} ^ {q-1} \ exp \ vasen (- {\ frac {\ pi \ mathrm {i} n ^ {2} p} {q}} \ oikea)}

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista ” Landsberg - Schaar-suhde ” ( katso luettelo tekijöistä ) .

(in) Harry Dym (in) ja Henry P. McKean (in) , Fourier-sarja ja Integrals , Academic Press ,1972.