Kahdeksan Degen-neliön identiteetti

On matematiikka , ja tarkemmin sanottuna algebran , identiteetti Degen kahdeksan neliöt osoittaa, että tuote on kaksi numeroa, joista kukin on summa kahdeksan neliöt, on itsessään summa kahdeksan ruutua.

Degen-identiteetti

Jos i ja b j ovat kokonaislukuja, reaali- tai kompleksilukuja, tai yleisemmin elementtejä kommutatiivinen rengas , meillä on:

{\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2} + a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2} + b_ {5} ^ {2} + b_ {6} ^ {2} + b_ {7} ^ {2} + b_ {8} ^ {2}) = \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4} -a_ {5} b_ {5} -a_ {6} b_ {6} -a_ {7} b_ {7} -a_ {8} b_ {8}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3} + a_ {5} b_ {6} -a_ {6} b_ {5} -a_ {7} b_ {8} + a_ {8} b_ {7}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} + a_ {5} b_ {7} + a_ {6} b_ {8} -a_ {7} b_ {5} -a_ {8} b_ {6}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1} + a_ {5} b_ {8} -a_ {6} b_ {7} + a_ {7} b_ {6} -a_ {8} b_ {5}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {5} -a_ {2} b_ {6} -a_ {3} b_ {7} -a_ {4} b_ {8} + a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {6} + a_ {2} b_ {5} -a_ {3} b_ {8} + a_ {4} b_ {7} -a_ {5} b_ {2} + a_ {6} b_ {1} -a_ {7} b_ {4} + a_ {8} b_ {3}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {7} + a_ {2} b_ {8} + a_ {3} b_ {5} -a_ {4} b_ {6} -a_ {5} b_ {3} + a_ {6} b_ {4} + a_ {7} b_ {1} -a_ {8} b_ {2}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {8} -a_ {2} b_ {7} + a_ {3} b_ {6} + a_ {4} b_ {5} -a_ {5} b_ {4} -a_ {6} b_ {3} + a_ {7} b_ {2} + a_ {8} b_ {1}) ^ {2} \,}

Tämän identiteetin, jonka Carl Ferdinand Degen (da) löysi noin vuonna 1818, löysivät itsenäisesti uudelleen John Thomas Graves (vuonna) (1843) ja Arthur Cayley (1845). Viimeksi mainitut saivat sen opiskellessaan kvaternionien , oktonionien , laajennusta ; tämä identiteetti tarkoittaa itse asiassa, että standardi on octonions on multiplicative, toisin sanoen, tuotestandardin kahden octonions on tuote niiden standardit: . Vastaavat identiteetit liittyvät kvaternioninormiin ( Eulerin neljän neliön identiteetti ) ja kompleksilukujen moduuliin ( Brahmagupta-identiteetti). ${\ displaystyle \ | uv \ | = \ | u \ | \ | v \ |}$ ). Kuitenkin vuonna 1898 Adolf Hurwitz osoitti, että sedeneenejä ei voida käyttää yleistämään näitä kaavoja edelleen, ja itse asiassa bilineaarista identiteettiä ei ollut missään muussa neliössä kuin 1, 2, 4 ja 8 ..

Huomaa, että jokainen kvadrantti muodostuu muunnokseksi neljän Eulerin neliön identiteetistä :

{\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) = \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2} \,}

{\ displaystyle (a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) = \,}

{\ displaystyle (a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {5} b_ {2} -a_ {6} b_ {1} + a_ {7} b_ {4} -a_ {8} b_ {3}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {5} b_ {3} -a_ {6} b_ {4} -a_ {7} b_ {1} + a_ {8} b_ {2}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {5} b_ {4} + a_ {6} b_ {3} -a_ {7} b_ {2} -a_ {8} b_ {1}) ^ {2} \,}

ja sama kahdelle muulle neljännekselle.

Viitteet

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista " Degenin kahdeksan neliön identiteetti " ( katso kirjoittajien luettelo ) .
(en) Eric W. Weisstein , ” Degenin kahdeksan neliön identiteetti ” , MathWorldissa

Pascal Boyer, pieni numeroiden ja niiden sovellusten kumppani , Calvage ja Mounet,2019, 648 Sivumäärä ( ISBN 978-2-916352-75-6 ) , I. ℤ: n aritmeetti, luku . 4.3. ("Hurwitzin lause (1, 2, 4, 8)", s. 67-70.

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Kuudentoista neliön identiteetti Pfister (in)
Hyperkompleksiluku

Ulkoiset linkit