Aika-aika

Neliö on välin aika-avaruuden kahden tapahtumaa on tila-aika on suhteellisuusteorian tai yleisesti vastaa neliön geometrinen kahden pisteen välisen etäisyyden on euklidinen avaruus . Tämä määrä on invariantti mukaan muutos viitekehyksen ja tarkkailija .

Kun kahden tapahtuman välisen tila-aika- alueen neliö on positiivinen tai nolla (termiä neliö käytetään tässä vain muodollisesti), nämä kaksi tapahtumaa voidaan yhdistää syy-seuraus-linkillä ja tila-aika -välillä (määritelty neliöjuuren ottaminen ) antaa mahdollisuuden määrittää oikea aika näiden kahden tapahtuman välillä.

Kun kahden tapahtuman välinen aika-aika- alueen neliö on ehdottomasti negatiivinen, kumpikaan ei voi olla syynä toiselle, ja aika-aika-väli on määrittelemätön (tai parhaimmillaankin kuvitteellisena lukuna ), mutta ottamalla neliö neliön vastakohdan juuresta saadaan oikea etäisyys näiden tapahtumien välillä.

Neliön tila-aikaväli toimii määritelmä pseudo-metrinen on Minkowskin: n tila on suhteellisuusteorian, sekä äärettömän pieni pseudo-metrinen kaarevassa tilassa yleisen suhteellisuusteorian.

Erityinen suhteellisuusteoria

Kolmiulotteisessa Euclidean tilaa, etäisyyden neliöön kahden pisteen A ja B koordinaatit ( x , y , z ) ja ( x B , y B , z B ) suhteessa erään ortonormaalin Koordinaatisto on ilmaistuna muodossa: Δl{\ displaystyle \ Delta l}

(Δl)2=(xB-xAT)2+(yB-yAT)2+(zB-zAT)2,{\ displaystyle \, (\ Delta l) ^ {2} = (x _ {\ text {B}} - x _ {\ text {A}}) ^ {2} + (y _ {\ text {B} } - y_ {\ text {A}}) ^ {2} + (z _ {\ text {B}} - z _ {\ text {A}}) ^ {2} \ ,,}

mitä yleensä kirjoitetaan tiiviimmin

Δl2=Δx2+Δy2+Δz2.{\ displaystyle \ Delta l ^ {2} = \ Delta x ^ {2} + \ Delta y ^ {2} + \ Delta z ^ {2} \,.}

On selvää, että klassisessa fysiikassa tämä määrä on muuttumaton vertailukehyksen muutoksella. Mutta tämä ei ole enää tapana relativistisessa fysiikassa.

In tila-aika-geometria erityinen suhteellisuusteoria , kirjoitetaan "neliön tila-aikaväli", totesi , kahden tapahtuman välillä A ja B koordinaatit ( t , x , y , z ) ja ( t B , x B , y B , z B ) nelidimensionaalisessa aika-aikaa (yksi aika, eli t ja kolme tilaa) muodossa Δs2{\ displaystyle \ Delta s ^ {2}}

(Δs)2=vs.2(tB-tAT)2-(xB-xAT)2-(yB-yAT)2-(zB-zAT)2{\ displaystyle (\ Delta s) ^ {2} = \, c ^ {2} (t _ {\ text {B}} - t _ {\ text {A}}) ^ {2} - (x _ { \ text {B}} - x _ {\ text {A}}) ^ {2} - (y _ {\ text {B}} - y _ {\ text {A}}) ^ {2} - (z _ {\ text {B}} -z _ {\ text {A}}) ^ {2}}

tai

Δs2=vs.2Δt2-Δl2{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} \,}

ilmaisu, jossa kerroin c 2 ( valon nopeus neliön mukaan) asetetaan Lorentz-muunnosten tai erityisen suhteellisuusteorian periaatteiden avulla menetelmän mukaisesti, jota käytetään perustelemaan sen muuttumattomuus inertiaalisen viitekehyksen muutoksella .

Pseudo-metrinen , huomattava , määritellään tai mukaisesti Etumerkkikäytäntö tai valittu.  Δs{\ displaystyle \ \ Delta s} Δs2=-vs.2(Δt)2+(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = - c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} + (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2}} Δs2=vs.2(Δt)2-(Δx)2-(Δy)2-(Δz)2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2}}(-;+;+;+){\ displaystyle (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ displaystyle \ (+; -; - ;-)}

Invarianssi

Aika -aika-alueen neliön muuttumattomuus inertiaalisen viitekehyksen muutoksella on erityisen suhteellisen suhteellisen ominaisuus . Valitusta esityksestä riippuen tämä muuttamattomuus voidaan asettaa teorian perustava aksioma tai se voidaan päätellä suoraan alkuperäisistä suhteellisuusteoriasta, nimittäin suhteellisuusperiaate ja valon nopeuden muuttumattomuus muuttamalla inertiaalista viitekehystä , tai edelleen johtuu Lorentz-muunnoksista, jotka muuttavat koordinaatit inertiaalisen viitekehyksen muutoksen aikana (nämä muunnokset voidaan päätellä kahdesta alkuperäisestä suhteellisen suhteellisuuden periaatteesta). Koska Hermann Minkowski , jotkut esitykset teorian valita yksi ensimmäisistä kahdesta vaihtoehdosta, käyttöön puhtaasti geometrinen näkökulmasta laajuudeltaan neljä (kolme tilaa ja yhden kerran). Kolmas vaihtoehto vastaa paremmin teorian historiallista kehitystä.

Todiste muuttumattomuudesta kahdesta erityissuhteellisuusteoriasta

Kaksi aksiomia ovat: suhteellisuusperiaate ja valon nopeuden muuttumattomuus vertailukehyksen muutoksella (inertiaalinen, kuten kaikki tässä tarkastellut viitekehykset).

• Jos tietovarastossa, kaksi tapahtumaa erotetaan spatiaalinen etäisyys ja aikaetäisyys siten, että valon nopeus, meidän on: . Δl{\ displaystyle \ \ Delta l} Δt{\ displaystyle \ \ Delta t}|Δl/Δt|=vs.{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | \, = c} Δs2=vs.2Δt2-Δl2=0{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} = 0}

Jos sama kaksi tapahtumaa pidetään toisesta viitekehyksestä, sitten ajallisen ja etäisyydet ovat siellä ja , jossa valon nopeudella, joka on sama arvo tässä toisessa kehyksessä, mukaan toinen selviö. Päätämme, että myös tässä viitekehyksessä meillä on Δl′{\ displaystyle \ \ Delta l '} Δt′{\ displaystyle \ \ Delta t '}|Δl′/Δt′|=vs.{\ displaystyle | \ Delta l '/ \ Delta t' | \, = c} Δs′2=vs.2Δt′2-Δl′2=0{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2} = c ^ {2} \ Delta t' ^ {2} - \ Delta l '^ {2} = 0} Siten, jos yhdessä viitekehyksessä, se on sama muissa. Δs2=0{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = 0}

• Kussakin viitekehyksessä ja minkä tahansa riittävän läheisen tapahtumaparin kohdalla, ja ovat äärettömän pieniä samaa suuruusluokkaa, koska vertailukehysten muutokset ovat affiniteettifunktioita, joilla on vakiokertoimet, joten niiden väliset suhteet yhdestä viitekehyksestä toiseen toiset ovat lineaarisia tai affiinisia. ja peruuttaa toisensa samanaikaisesti, joten on olemassa sellainen luku , että . Tämä luku ei voi riippua kahden viitekehyksen suhteellisesta sijainnista, koska aika-ajan oletetaan olevan homogeeninen , joten se riippuu vain kahden viitekehyksen suhteellisesta nopeudesta. Mutta se ei voi riippua tämän nopeuden suunnasta, koska aika-ajan oletetaan olevan isotrooppinen . Joten se riippuu vain itseisarvo suhteellinen nopeus, tai sen neliö: . Δs2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2}} Δs′2{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2}} Δl,Δt{\ displaystyle \ \ Delta l \ ;, \ Delta t} Δs2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2}} Δs′2{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2}}klo{\ displaystyle a} Δs2=klo.Δs′2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a. \ Delta s '^ {2}} klo=klo(v2){\ displaystyle \ a = a (v ^ {2})}
• Kun otetaan huomioon kolme viitekehystä, suhteellisuusperiaate, joka edellyttää, että lait ovat siellä samat, meillä on: ja . Siten . Nyt riippuu kulmasta ja , kulma ei puutu . Joten, on vakionumero, joka ei ole riippuvainen viitekehysten suhteellisesta nopeudesta. Δs2=klo(v2).Δs′2,{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a (v ^ {2}). \ Delta s '^ {2} \ ,,}  Δs′2=klo(v′2).Δs″2{\ displaystyle \ \ Delta s '^ {2} = a (v' ^ {2}). \ Delta s '' ^ {2}} Δs2=klo(v″2).Δs″2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a (v '' ^ {2}). \ Delta s '' ^ {2}} klo(v″2)=klo(v2).klo(v′2){\ displaystyle \ a (v '' ^ {2}) = a (v ^ {2}). a (v '^ {2})} v″2{\ displaystyle \ v '' ^ {2}} v{\ displaystyle \ v} v′{\ displaystyle \ v '}klo(v2).klo(v′2){\ displaystyle a (v ^ {2}). a (v '^ {2})} klo(v2)=klo{\ displaystyle \ a (v ^ {2}) = a}
• Kuten meillä on . Δs2=1.Δs2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = 1. \ Delta s ^ {2}} klo=1{\ displaystyle \ a = 1}

Johtopäätös . Aika -aika-alueen neliö on muuttumaton muuttamalla viitekehystä. Δs2=Δs′2{\ displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = \ Delta s '^ {2}}   Todiste muuttumattomuudesta Lorentz-muunnoksista, jotka on kirjoitettu klassisessa muodossa

Pienennämme ongelman kahteen ulottuvuuteen luettavuuden lisäämiseksi, joten laiminlyömme yksityiskohdat tilakierroksista.

Ottaen huomioon kaksi viitekehystä ja yhdenmukaisessa suoraviivaisessa muunnoksessa toisiinsa verrattuna nopeudella , käytetyt Lorentz-muunnokset ovat: R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R′{\ displaystyle \ mathbb {R} '} v{\ displaystyle \ v}

 {vs.Δt′=y(vs.Δt-βΔx)Δx′=y(Δx-β.vs.Δt)Δy′=ΔyΔz′=Δz {\ displaystyle \, ~ \ left \ {{\ begin {matrix} c \ Delta t '= \ gamma \ left (c \ Delta t- \ beta \ Delta x \ right) \\\ Delta x' = \ gamma \ vasen (\ Delta x- \ beta .c \ Delta t \ right) \\\ Delta y '= \ Delta y \\\ Delta z' = \ Delta z \ end {matriisi}} \ oikea. \, ~}kanssa ja ,β=vvs.{\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}}y=1/1-β2{\ displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} Joillakin yksinkertaisilla algebrallisilla laskelmilla osoitamme, että meillä on vs.2Δt′2-Δx′2-Δy′2-Δz′2=vs.2Δt2-Δx2-Δy2-Δz2,{\ displaystyle c ^ {2} \ Delta t '^ {2} - \ Delta x' ^ {2} - \ Delta y '^ {2} - \ Delta z' ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2} - \ Delta y ^ {2} - \ Delta z ^ {2} \ ,,}   Todiste muuttumattomuudesta Lorentz-muunnoksilla, jotka ilmaistaan ​​käyttämällä hyperbolisia toimintoja

Seuraava laskelma havainnollistaa läheistä suhdetta Lorentz-muunnoskaavojen ja avaruusvälin neliön muuttumattomuuden ja mahdollisuuden välillä siirtyä yhdestä formalismista toiseen.

Euklidisessa geometriassa koordinaattijärjestelmän kulman rot kiertyminen akselin ympäri Oz jättää kahden pisteen välisen etäisyyden invariantiksi. Kaavat muutos Koordinaattiakselit vastaa tätä kierto ja siihen liittyvät uudet koordinaatit mukaan vanhat kirjoitetaan:

{x′=xcosθ+ysyntiθy′=-xsyntiθ+ycosθz′=z.{\ displaystyle {\ begin {cases} x '= x \ cos \, \ theta + y \ sin \, \ theta \\ y' = - x \ sin \, \ theta + y \ cos \, \ theta \\ z '= z \,. \ loppu {tapaukset}}}

Siksi kahden pisteen A ja B koordinaattierot muuttuvat

{Δx′=Δxcosθ+ΔysyntiθΔy′=-Δxsyntiθ+ΔycosθΔz′=Δz.{\ displaystyle {\ begin {cases} \ Delta x '= \ Delta x \ cos \, \ theta + \ Delta y \ sin \, \ theta \\\ Delta y' = - \ Delta x \ sin \, \ theta + \ Delta y \ cos \, \ theta \\\ Delta z '= \ Delta z \ ,. \ Lopeta {tapaukset}}}

Voimme päätellä

(Δx′)2+(Δy′)2+(Δz′)2=(Δxcosθ+Δysyntiθ)2+(-Δxsyntiθ+Δycosθ)2+(Δz)2≡(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2,{\ displaystyle (\ Delta x ') ^ {2} + (\ Delta y') ^ {2} + (\ Delta z ') ^ {2} = (\ Delta x \ cos \, \ theta + \ Delta y \ sin \, \ theta) ^ {2} + (- \ Delta x \ sin \, \ theta + \ Delta y \ cos \, \ theta) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ equiv (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ ,,}

kaava, joka osoittaa selvästi tämän neliösumman muuttumattomuuden.

Erityisessä suhteellisuusteoriassa Lorentz-muunnokset mahdollistavat siirtymisen "kiinteästä" järjestelmästä järjestelmään, jonka animoi nopeus v akselia Ox pitkin . Käyttämällä kulmaparametria θ, jonka määrittelee

β=v/vs., β=tanh⁡θ{\ displaystyle \ beta = v / c \ ,, \ \ beta \, = \, \ tanh \ theta}   On   θ=klotkloeihβ{\ displaystyle \ theta \, = \, \ mathrm {atanh} \ beta}

Lorentzin kaavat kirjoitetaan kuten akselin kiertokaavat paitsi, että trigonometriset funktiot korvataan hyperbolisilla funktioilla. Meillä on ilmauksia  :

{vs.t′= vs.tcoshθ-xsinhθx′=-vs.tsinhθ+xcoshθy′=yz′=z{\ displaystyle {\ begin {cases} ct '= \ ct \ cosh \, theta -x \ sinh \, theta \\ x' = - ct \ sinh \, \ theta + x \ cosh \, \ theta \ \ y '= y \\ z' = z \ loppu {tapaukset}}}

Siksi, jos tarkastelemme kahta tapahtumaa, koordinaattierot muuttuvat

{vs.Δt′= vs.Δtcoshθ-ΔxsinhθΔx′=-vs.Δtsinhθ+ΔxcoshθΔy′=ΔyΔz′=Δz{\ displaystyle {\ begin {cases} c \ Delta t '= \ c \ Delta t \ cosh \, \ theta - \ Delta x \ sinh \, \ theta \\\ Delta x' = - c \ Delta t \ sinh \, \ theta + \ Delta x \ cosh \, \ theta \\\ Delta y '= \ Delta y \\\ Delta z' = \ Delta z \ loppu {tapaukset}}}

Voimme päätellä:

(vs..Δt′)2-(Δx′)2-(Δy′)2-(Δz′)2=(vs.Δtcoshθ-Δxsinhθ)2-(-vs.Δtsinhθ+Δxcoshθ)2-(Δy)2-(Δz)2.{\ displaystyle \, (c. \ Delta t ') ^ {2} - (\ Delta x') ^ {2} - (\ Delta y ') ^ {2} - (\ Delta z') ^ {2} = (c \ Delta t \ cosh \, \ theta - \ Delta x \ sinh \, \ theta) ^ {2} - (- c \ Delta t \ sinh \, theta + \ Delta x \ cosh \, \ theta ) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2} \,.}

Kuten

(cosh⁡θ)2-(sinh⁡θ)2=1{\ displaystyle \, (\ cosh \ theta) ^ {2} - (\ sinh \ theta) ^ {2} = 1}

päätämme ilmoitettuun muuttumattomuuskaavaan

(vs..Δt′)2-(Δl′)2=(vs..Δt)2-(Δl)2.{\ displaystyle \, (c. \ Delta t ') ^ {2} - (\ Delta l') ^ {2} = \, (c. \ Delta t) ^ {2} - (\ Delta l) ^ { 2} \,.}  

Tapahtumien suhde

Kahden tapahtuman välinen aika-aika-neliö voi olla kolmen tyyppinen:

• kuten aika,
• tilan tyyppi,
• ystävällinen valo.

Aika -aika-intervallineliön suku riippuu sen merkistä, ja koska se on invariantti inertiaalisen viitekehyksen muutoksella, tila-aika-intervallin suku on sama kaikille tarkkailijoille. Täten voimme huomata, että jos kaksi tapahtumaa erotetaan aika-aika-valotyyppisellä väli-aika-neliöllä, ne voidaan yhdistää suoralla syy-yhteydellä , toisaalta, jos ne erotetaan toisistaan , he eivät voi, ja tämä on tarkkailijasta ja hänen inertiaalisesta viitekehyksestään riippumatta.

Ystävällinen aika

Jos aikaväli cΔt on suurempi kuin spatiaalinen etäisyys Δl, sanotaan, että aikaväli on aikatyyppi ja aika -aika-väli on positiivinen:

Δs2=vs.2Δt2-Δl2>0{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2}> 0}

Tämä tapaus vastaa tilannetta, jossa , mikä tarkoittaa, että vertailukehyksessä, jossa mittaukset tehtiin, liikkuva kappale, joka kulkee vakionopeudella oikeaan suuntaan, voi olla tarkassa paikassa ja samanaikaisesti ensimmäisen tapahtuman kanssa, sitten sen siirtymisen jälkeen toisen. Tämän seurauksena nämä matkaviestimen kehyksessä (inertiaalissa) nämä kaksi tapahtumaa sijaitsevat samassa paikassa, mutta eivät samanaikaisesti. Tässä nimenomaisessa viitekehyksessä ja aika-aika-alueen neliön muuttumattomuuden mukaan aikaeroa, joka erottaa nämä kaksi tapahtumaa, kutsutaan oikeaksi niiden väliseksi ajaksi , ja se annetaan kaavalla: |Δl/Δt|<vs.{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | <c}|Δl/Δt|{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t |}Δτ{\ displaystyle \ Delta \ tau}

Δs2=vs.2Δt2-Δl2 = vs.2Δτ2-0,{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2 } - \, 0 \ ,,}

mikä osoittaa, että oikea aika on annettu . Δτ{\ displaystyle \ Delta \ tau}Δτ=Δs2/vs.{\ displaystyle \ Delta \ tau = {\ sqrt {\ Delta s ^ {2}}} / c}

Tässä tapauksessa aika- kuten aikaväli , kaksi tapahtumaa voidaan yhdistää syy-yhteys: läpi liikkuva hiukkanen melko nopeasti yhdestä tapahtumasta toiseen, tai vaikuttaa kuljetetaan valo menee toisiinsa ja vaikutus mikä laukaisi myöhemmin toisen tapahtuman.

Useimmissa tapauksissa maapallolla kohdatut tilanteet ovat aikatyyppisiä, koska planeettamme mitat ovat pienet (suuruusluokkaa 10000 km) ja että lisäksi ihmisten harkitsemat tapahtumat sisältävät yleensä noin ainakin toinen. Tämä ei tarkoita, että kaikilla tapahtumilla on syy-yhteys toisiinsa, mutta että fyysisesti todennäköisesti niillä on sellainen.

Avaruustyyppi

Jos avaruudellinen väli AL suurempi aikaväli cΔt , aikaväli sanotaan olevan tilan tyypin ja neliön tila-aikaväli on negatiivinen:

Δs2 = vs.2Δt2-Δl2<0.{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} <0 \,.}

Tämä tapaus vastaa tilannetta, jossa mikä tarkoittaa, että vertailukehyksessä, jossa mittaukset tehtiin, mikään liikkuva runko, joka menee valoa pienemmällä nopeudella, eikä mikään valosignaali voi olla tarkassa paikassa ja samaan aikaan. kuin ensimmäinen tapahtuma, sitten sen siirtymisen tai etenemisen jälkeen toisen tapahtumaan. Siksi näiden kahden tapahtuman välillä ei voi olla syy- yhteyttä . Voimme osoittaa, että silloin on inertiaalinen viitekehys, jossa tapahtumat ovat samanaikaisia: tässä viitekehyksessä aikaero näiden kahden tapahtuman välillä on nolla, joten |Δl/Δt|>vs.{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t |> c}

Δs2=vs.2Δt2-Δl2 = 0-Δl2{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} ~ = ~ \, 0- \ Delta l ^ {2} \ ,}

Siten tässä erityisessä inertiaalisessa viitekehyksessä aikaero on nolla tapahtumien välillä ja niiden spatiaalinen etäisyys, jota kutsutaan oikeaksi etäisyydeksi , onΔl=-Δs2.{\ displaystyle \ Delta l = {\ sqrt {- \ Delta s ^ {2}}}.}

Tämä tilanne vastaa ajatus- ja tikkaat paradoksi .

Kevyt genre

Jos tila-aika-alueen neliö on nolla, se tarkoittaa, että valo kulkee täsmälleen kahden tapahtuman välisen geometrisen etäisyyden näiden kahden tapahtuman välisen aikavälin aikana.

Δs2 = vs.2Δt2-Δl2=0.{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} = 0 \,.}

Tässä tapauksessa vastaa tilannetta, jossa , joka tarkoittaa sitä, että on viitekehys, jossa mittaukset tehtiin vain hiukkasia on nolla massa , siis menee on valon nopeudella , voi liittyä kaksi tapahtumaa. Valon nopeus on sama kaikissa inertiaalisissa viitekehyksissä. Se on sama, kun nämä tapahtumat nähdään mistä tahansa muusta inertiaalisesta viitekehyksestä. Tämä jättää edelleen mahdollisuuden syy-yhteyteen näiden kahden tapahtuman välillä, yhteys muodostuu valon nopeudella. |Δl/Δt|=vs.{\ displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | = c}

Esimerkki: jos tapahtuma A koostuu lähettämisen laser signaalin Kuuhun ja jos B koostuu vastaanoton Tämän signaalin Moon, tila-aikaväli A ja B on nolla, koska etäisyys AL välillä Maa ja kuu ovat täsmälleen yhtä suuret kuin valon kuljettama etäisyys cΔt ajanjaksolla Δt . Jälkimmäisessä tapauksessa voidaan sanoa, että intervalli on valotyyppiä .

Ajallinen järjestys ja sukupuoli

Periaatteessa viitekehysten fyysisesti realistiset muutokset kunnioittavat aika-akselin suuntaa: sen vuoksi oletetaan, että yhdestä tai toisesta viitekehyksestä katsottuna kellon osoittimet eivät muuta pyörimissuuntaan vain, jos omena putoaa sen haarasta katsottuna toisesta, sitten se ei palaa ylöspäin, kun se katsotaan toisesta. Jos ne erotetaan ajallisella aikavälillä, kaikki tarkkailijat tarkkailevat samaa ajallista järjestystä kahden tapahtuman välillä (mutta erilaisilla ajallisilla aukoilla).

Toisaalta, joissakin tapauksissa ajallinen järjestys havaittu kahden tapahtuman välillä voi muuttua yhdestä viitekehys toiseen: jos kaksi tapahtumaa on erotettu tila-kuin aikaväli, niiden havaittu ajallinen järjestys voi muuttua yhdestä viitekehys toinen. 'toinen, ja on myös arkistoja, joissa nämä kaksi tapahtumaa ovat samanaikaisia.

Osoitus havaitusta ajallisesta järjestyksestä johtuvasta muuttumattomuudesta aika-suvulle

Invarianssi muuttamalla ajallisen järjestyksen viitekehystä kahden aikatyyppivälillä erotetun tapahtuman välillä on tautologisessa ekvivalenssissa sen periaatteen kanssa, että aika-akselia ei käännetä kääntämällä viitekehystä.

Mutta voimme haluta vakuuttaa itsemme joillakin matemaattisilla näkökohdilla, että tämä muuttumattomuus on todellakin seurausta tästä periaatteesta:

Ainoat muutokset on viitekehys, fysiikan avulla kunnioittaa suunta aika-akselin ja suunta kolmiulotteinen viitekehykset (suunta hyväksytään yksimielisesti on se, että on oikealla ), ne ovat myös jatkuvia muutoksia kehyksestä alkuvaiheessa, ja niitä kutsutaan ominais- ja ortokronisiksi transformaatioiksi .

Tarkastellaan muutamaa aikatyyppistä tapahtumaa siten, että väli A t A: sta F: seen on positiivinen ( t (F) on suurempi kuin t (A) tai F on myöhempi kuin A). Jotta tämä aikaväli muuttaisi merkkiä (F: stä tulee aikaisemmaksi kuin A), sen on ylitettävä nolla-arvo, mikä on mahdotonta. Ajanjakson neliö Δ t 2 on todellakin yhtä suuri kuin kahden neliön summa kaavan mukaisesti ,
vs.2Δt2=Δs2+Δl2{\ displaystyle c ^ {2} \, \ Delta t ^ {2} \, = \, \ Delta s ^ {2} + \ Delta l ^ {2}}

jossa toisen jäsenen ensimmäinen termi on ehdottomasti positiivinen (ja muuttumaton viitekehyksen muutoksen vuoksi) ja toinen termi, euklidisen etäisyyden neliö, on positiivinen tai nolla. Näin ollen tämän neliön Δ t 2 ei voi peruuttaa. Sama pätee aikaväli Δ t itse, joka ei voi peruuttaa itse, ei voi jatkuvasti muuttaa merkki. Joten jos A edeltää tietyn tarkkailijan F: tä, se on aina sama kaikille fyysisesti hyväksyttäville tarkkailijoille. Jos A oli ennen F: tä, F ei voi toimia A: n suhteen tulemalla itsensä ennen A.   Osoitus siitä, että havaittu ajallinen järjestys voidaan kääntää avaruuslajin suhteen

Otetaan kaksi tapahtumaa A ja B, kuten tarkkailijan viitekehyksessä , ja olettaen , että akselivalinta on hyvä . (R){\ displaystyle (R)} Δt=tB-tAT>0{\ displaystyle \ \ Delta t = t_ {B} -t_ {A}> 0} Δx=xB-xAT>0{\ displaystyle \ \ Delta x = x_ {B} -x_ {A}> 0} x{\ displaystyle \ x}

Tarkastellaan viitekehystä käännettynä suhteessa kehykseen (R) nopeudella x-akselia pitkin . (R′){\ displaystyle (R ')}v→=ue→x{\ displaystyle {\ vec {v}} = u \, {\ vec {e}} _ {x}}0<u<vs.{\ displaystyle 0 <u <c}

Mukaan Lorentz-muunnos , aika Näiden tapahtumien välillä, katsella arkistossa on: kanssa: . ollessa positiivinen, entä negatiivinen tapaus ? Kulta: . Tästä syystä nämä kaksi tapahtumaa erotetaan välilyönnillä. Yksisuuntainen nuoli estää päinvastainen, mutta olemme: on olemassa positiivinen luku siten, että . Poseeraamalla saadaan ja voidaan aina rakentaa referenssi käännöksessä sillä nopeudella , jolle . (R′){\ displaystyle (R ')}
Δt′=y(Δt-u.Δxvs.2),{\ displaystyle \ Delta t '= \ gamma (\ Delta t - {\ frac {u. \ Delta x} {c ^ {2}}}) \ ,,}y=(1-u2/vs.2)-1/2>0{\ displaystyle \, \ gamma = \ left (1-u ^ {2} / c ^ {2} \ right) ^ {- 1/2}> 0}
Δt{\ displaystyle \ Delta t}Δt′{\ displaystyle \ Delta t '}
Δt′<0⟺Δt<uvs.2Δx⟺vs.2u<ΔxΔt.{\ displaystyle \ Delta t '<0 \ Longleftrightarrow \ Delta t \, <\, {\ frac {u} {c ^ {2}}} \ Delta x \ Longleftrightarrow {\ frac {c ^ {2}} {u }} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \;.}}
0<u<vs.⟺vs.<vs.2u{\ displaystyle 0 <u <c \ Longleftrightarrow c <{\ frac {c ^ {2}} {u}}}
Δt′<0⟺Δt<uvs.2Δx⟺vs.2u<ΔxΔt⇒vs.<ΔxΔt⟺vs.2.Δt2-Δx2<0{\ displaystyle \ Delta t '<0 \ Longleftrightarrow \ Delta t \, <\, {\ frac {u} {c ^ {2}}} \ Delta x \ Longleftrightarrow {\ frac {c ^ {2}} {u }} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Rightarrow c <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Longleftrightarrow c ^ {2}. \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2} <0}
⇒{\ displaystyle \ Rightarrow}vs.<ΔxΔt⇒{\ displaystyle c <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Rightarrow}ϵ<1{\ displaystyle \ epsilon <1}vs.<ϵ.ΔxΔt<ΔxΔt{\ displaystyle c <\ epsilon. {\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}}} u=vs..ϵ<vs.{\ displaystyle \ u = c. \ epsilon <c}vs.2u<ΔxΔt{\ displaystyle {\ frac {c ^ {2}} {u}} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}}}(R′){\ displaystyle (R ')}v→=ue→x{\ displaystyle {\ vec {v}} = u \, {\ vec {e}} _ {x}} Δt′<0{\ displaystyle \ \ Delta t '<0}

Huomaa, että tällä tavalla voimme määrittää myös viitekehyksen, jolle nämä kaksi tapahtumaa ovat samanaikaisia.  

Valon kartio

Jos kiinnitämme tietyn tapahtuman O tutkimuskohteeksi, voimme jakaa aika-ajan alueiksi ryhmittelemällä yhteen tapahtumat, jotka erotetaan O: sta aika-aikaisen aika-ajan välein, ne, jotka erotetaan O: sta valolla genre ja ne, jotka erotetaan O: sta avaruuslajilla. Tämä nelidimensionaalinen aika-aika-osio on kolmiulotteisen kartion muotoinen: sisustus vastaa ensimmäistä tapausta, reuna toiseen ja ulkopuoli kolmanteen. Nämä alueet vastaavat syy-yhteyden mahdollisuuksia tapahtumaan O.

Jokaisella tapahtumalla on tietysti oma valonsäde.

Esityksen vaikeus on se, että tapahtuman luonnehtimiseksi tarvitaan neljä koordinaattia, yksi ajan ja kolmen avaruudesta, ja että kolmiulotteisessa avaruudessa on mahdotonta edustaa pistettä, jolla on neljä koordinaattia. Sen vuoksi kaavion osalta pienennämme spatiaalisten ulottuvuuksien määrän kahteen.

Metrinen

Erityisen suhteellisuusteoria-aika on varattu aika-aika-alueen neliöllä eräänlaisella etäisyydellä, joka on invariantti viitekehyksen muutoksella. Tällä tavalla katsottuna aika-aikaintervallia voidaan pitää avaruuden metriikkana , josta osoitetaan joukko avaruuden ja relativistisen teorian matemaattisia ominaisuuksia.

Kun kaksi tapahtumaa A ja B, joiden välillä laskemme avaruusvälin neliön, ovat hyvin lähellä, niiden koordinaatit eroavat siksi vain äärettömän pienillä määrillä . Tämä seikka on tarpeeton suhteellisuusteorian joiden tila on affiinia , mutta on välttämätöntä, yleinen suhteellisuusteoria, jonka tila on kaareva lajike , jossa ei voida määritellä täsmällisesti, mutta jossa äärettömän elementit ovat määriteltäviä ja kuuluvat avaruuteen. Tangentti . (dxμ)=(vs.dt,dx,dy,dz){\ displaystyle \ scriptstyle (dx ^ {\ mu}) \, = \, (c \, dt, dx, dy, dz)} (Δxμ){\ displaystyle \ scriptstyle (\ Delta x ^ {\ mu}) \,}(dxμ){\ displaystyle (dx ^ {\ mu})}

In suhteellisuusteorian, neliön välillä äärettömän tila-aika on silloin: . ds2=vs.2dt2-dx2-dy2-dz2{\ displaystyle \, ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2}}

Yleissuhteellisuusteoria voidaan määritellä erityisen suhteellisuusteoriasta ottaen huomioon vastaavuusperiaate ja kaikkiin viitekehyksiin yleistetty suhteellisuusperiaate , ja se on rakenteen peruselementti (matemaattisesti). tämän teorian. Se sallii avaruus-aikavälin neliön äärettömän pienen elementin määrittelyn tässä teoriassa.

Yleisesti suhteellisuusteoria on äärettömän pienen aika-aika- alueen neliön kaava , jossa metriikan kertoimet vaihtelevat pisteestä toiseen aika-ajassa tilan kaarevuudesta riippuen . ds2=∑μ=03∑v=03gμv dxμ dxv{\ displaystyle ds ^ {2} = \ sum _ {\ mu = 0} ^ {3} \ sum _ {\ nu = 0} ^ {3} g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d} } x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}gμv{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Olemme myös kirjoittaa kanssa Einsteinin yleissopimusta varten summations: . ds2=gμv dxμ dxv{\ displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}

Mutta tämä äärettömän pienistä elementeistä peräisin oleva määritelmä ja aika-ajan kaarevuus vaikeuttavat sellaisten ominaisuuksien perustelemista, jotka ovat samanlaisia ​​kuin edellä olevissa kappaleissa, paitsi paikallisesti. Tapahtumasta O voimme kuitenkin aina tehdä aika-ajan osion kokonaisuudessaan tapahtumiin, jotka on yhdistetty O: han jonkinlaisen ajan, valon tai avaruuden geodeettisella tavalla (sellainen, joka vastaa pitkän geodeettisen vakion merkkiä ). . ds2{\ displaystyle ds ^ {2}}

Vaihtumattomuuden tapaus hypoteesina

Jos aika-aika-alueen neliön muuttumattomuus vertailukehyksen muutoksella asetetaan alkuhypoteesina suhteellisuusteoriassa, siitä tehdyt vähennykset ovat sitten matemaattisesti yhdenmukaisia ​​teorian kanssa, mutta osa on hylättävä. fyysisistä syistä.

Erityisessä suhteellisuusteoriassa

Tunnistaminen fyysistä tilaa neliulotteisen matemaattinen avaruus varustettuja vastaavan matkan (sanomme pseudo-normi ) johtaa tunnistaa viitearvot on affiinia neliulotteinen avaruus ja inertiaalikoordinaatistot ja viite fysiikan ja etsimällä kaikki muutokset viitekehyksestä, jolla on ominaisuus jättää tila-aika-intervalli invariantiksi, löydämme joitain, jotka ovat suhteellisen relativistisen teorian matematiikan mukaisia, mutta joita ei voida säilyttää viitekehyksen fyysisesti realistisina muutoksina, koska ne eivät noudata suuntautumiskäytäntöä kolmiulotteisten maamerkkien (suunta, jonka yksimielisesti hyväksyttiin olevan oikean käden suunta) tai aika-akselin suuntauksen (kohti tulevaisuutta ).

Transformaatiot, jotka säilyttävät avaruuden ja ajan orientaation, ovat Lorentzin muunnokset , jotka Lorentz on alusta alkaen perustanut, ja niitä kutsutaan tämän ongelmallisen, oikean ja ortokronisen Lorentz-muunnoksen puitteissa . Muita muunnoksia ei käytetä relativistisessä fysiikassa, mutta niitä käytetään relativistisessa kvanttifysiikassa hyödyntämään yhtälöiden matemaattisia symmetrioita. Esimerkiksi T-symmetria ja pariteetti tulkitaan yksinkertaisina muutoksina avaruus- ja ajallisten koordinaattien akselien suuntien sopimuksessa. Siten symmetria P muuttaa oikean käden vertailukehysten valinnan käytännön vasemman käden valinnan käytöksi.

Yleensä suhteellisuusteoria

Vuonna yleinen suhteellisuusteoria , avaruus-aika on oleellisesti jäsennelty algebran, on huolehdittava poissulkemiseksi olettamuksia tai tuloksia, jotka ovat matemaattisesti oikein, mutta fyysisesti epärealistinen. Tämä pätee erityisesti avaruusvälin neliöön, joka on teorian perustekijä (matemaattisesta näkökulmasta), koska se on muuttumaton muuttamalla viitekehystä ja sen yhteyttä painovoimaan (mikä on ilmentymä) kaarevuus). Ne muodostavat jo matriisin, jolla on oltava negatiivinen determinantti fyysisen merkityksen saamiseksi. ds2=gμv dxμ dxv{\ displaystyle \ textstyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}gμv{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Näin ollen tarkkailijan realistisessa viitekehyksessä , jos koordinaatti vastaa ajan mittausta ja koordinaatit vastaavat mitä tahansa spatiaalista viitekehystä, termien on todennettava sekä k = 1, 2, 3 (in lyhyt: allekirjoituksen on pysyttävä muuttumattomana Minkowski-mittarin allekirjoituksesta). x0{\ displaystyle x_ {0}}x1;x2;x3{\ displaystyle x_ {1}; x_ {2}; x_ {3}}gμv{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}g00>0{\ displaystyle g_ {00}> 0}gkk<0{\ displaystyle g_ {kk} <0}

Aika-ajan ominaisuuksien määrittämiseksi yleisen suhteellisuusteoria- matematiikan avulla voidaan käyttää mitä tahansa vertailujärjestelmää tässä nelidimensionaalisessa tilassa ilman velvollisuutta olla huolissaan realismista, ja tässä tapauksessa kertoimet eivät ole näiden rajoitusten alaisia. gμv{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Huomautuksia ja viitteitä

1. Sopimus vastaa anglosaksisissa teksteissä tehtyä valintaa; konventti vastaa esimerkiksi Lev Landaun kuuluisissa pedagogisissa teksteissä tehtyä valintaa . Roger Penrose pitää tätä viimeistä valintaa "fyysisemmänä", koska metriikka on positiivinen aikatyyppisille maailmankaikkeuslinjoille , jotka ovat ainoat, jotka on hyväksytty massiivisten hiukkasten suhteen. (-;+;+;+){\ displaystyle \ (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ displaystyle \ (+; -; - ;-)}
2. Katso esimerkiksi Lev Landau ja Evgueni Lifchits , teoreettinen fysiikka [ yksityiskohdat painoksista ], osa 2 "kenttoteoria", luku 1, §2.
3. katso esim. ( Sisään ) EF Taylor, JA Wheeler, Spacetime Physics, Introduction to special relativity, 2nd edition, Freeman 1992
4. Katso Lev Landau ja Evgueni Lifchits , teoreettinen fysiikka [ yksityiskohdat painoksista ] Osa 2, §2
5. Kun geometrinen ulottuvuus on järjestelmän geometrinen yksikköä on yleisen suhteellisuusteorian välin cΔt sanotaan olevan ajallinen.
6. Koska aika on matemaattinen tilaa vain yksi ulottuvuus, suunta ja aikayksikköä ovat määriteltävissä alkaa mistä tahansa kahdesta tapahtumien tyypin aikaa ja kaikki peräkkäiset (peräkkäiset asennot käsissä kellon, alussa ja lopussa omenan putoaminen tai ...). Mikä tahansa ajanjakso, joka on hypoteesilla mitattavissa tällä yksiköllä, aika-akselin kääntyminen vastaa tämän suuntautuneen yksikön peruuttamista ja tämä edellyttää minkä tahansa käyttökelpoisen keston peruuttamista suuntautuneena aikayksikkönä, näin ollen ei tapahdu ajan kääntymistä kahden aikatyyppisen tapahtuman välillä .
7. Tässä teoriassa, kaarevuus on geometrinen ilmaus painovoiman .
8. maailmankaikkeus Gödel on esimerkki teoria sopusoinnussa yleisen suhteellisuusteorian ja joissa ominaisuudet suhteellisuusteorian ovat voimassa vain paikallisesti: esimerkiksi eron menneisyyden ja tulevaisuuden.
9. Näiden suuntausten säilyttäminen valinnan syynä on esitetty (en) Gregory L. Naberin, Springer-Verlagin ( ISBN 3540978488 ) , 1992 luvussa (en) Minkowski Spacetime : n geometria . 
10. Tämä johtuu siitä, että tämä matriisi on diagonalisoitavissa ja että sen diagonaalisen muodon on vastattava Minkowskin vastaavan metrisen matriisia .
11. Viitekehyksen realistisuus voidaan ymmärtää seuraavasti: on tarkkailija, jolle yksi koordinaatti antaa mitatun ajan ja kolme antaa tilan, ja kelvolliset suuntaukset ovat jo erityisessä suhteellisuusteossa.
12. jotka muodostavat mitä kutsutaan metrinen tensor ja jotka heijastavat kaarevuus aika-avaruuden
13. Lev Landau ja Evgueni Lifchits , teoreettinen fysiikka [ yksityiskohdat painoksista ], Osa 2 "Kenttoteoria", §82.84
14. Esimerkki epärealistisesta viitekehyksestä saadaan korvaamalla ajallinen koordinaatti koordinaatilla, joka seuraa valotyypin geodeesia.

Katso myös

• Metrinen tensori
• Siisti aika
• Juna paradoksi
• Kaksoisparadoksi