Daniellin olennainen osa

Vuonna matematiikka The Daniellin olennainen on eräänlainen integraation yleistää enemmän peruskonsepti Riemannin integraali , joka on yleensä ensimmäinen opetti. Yksi tärkeimmistä vaikeuksista perinteisen muotoiluun Lebesgue kiinteä on, että se vaatii alustavan kehittämistä teorian toimenpiteen vasta saatuaan tärkeimmät tulokset kiinteä. On kuitenkin mahdollista käyttää toista lähestymistapaa, jonka Percy John Daniell kehitti vuonna 1918 julkaistussa artikkelissa, joka ei esitä tätä vaikeutta, ja jolla on todellisia etuja perinteiseen muotoiluun verrattuna, varsinkin kun halutaan yleistää integraali korkeamman ulottuvuuden tiloihin tai kun haluamme esitellä muita yleistyksiä, kuten Riemann - Stieltjesin integraali . Perusidea esittelee integraalin aksiomatisoinnin .

Daniellin aksiomit

Aloitetaan valitsemalla joukko reaalisesti rajattuja funktioita (kutsutaan perustoiminnoiksi ), jotka määritellään joukolle , joka täyttää kaksi aksiomia: $H$ $X$

$H$ on vektoritila tavallisille lisäys- ja kertolaskuoperaatioille skalaarilla.
Jos funktio on sisällä , myös sen absoluuttinen arvo on . $h$ $H$ ${\ displaystyle | h |}$

Lisäksi, että kunkin toiminnon h on H on määrätty todellinen numero , jota kutsutaan elementary kiinteä ja h , jotka täyttävät kolme aksioomaa: ${\ displaystyle Ih}$

Lineaarisuus. Jos h ja k ovat molemmat H: ssä ja ovat mitä tahansa kahta reaalilukua, niin . $\ alfa$ $\beeta$ ${\ displaystyle I (\ alpha h + \ beta k) = \ alpha Ih + \ beta Ik}$
Positiivisuus. Kyllä sitten . $h (x) \ geq 0$ ${\ displaystyle Ih \ geq 0}$
Jatkuvuus. Jos on laskeva sekvenssi laajassa merkityksessä (ts ) ja toimintoja , jotka suppenee 0 kaikille on , sitten . ${\ displaystyle h_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle h_ {1} \ geq \ cdots \ geq h_ {k} \ geq \ cdots}$ $H$ $x$ $X$ ${\ displaystyle Ih_ {n} \ - 0}$

Siksi määritämme positiivisen jatkuvan lineaarisen muodon perustoimintojen avaruuteen. $Minä$

Nämä perustoiminnot ja niiden perusintegraalit voivat olla mitä tahansa toimintojen ja integraalien määritelmiä niille funktioille, jotka tyydyttävät nämä aksioomat. Kaikkien portaikkotoimintojen perhe tyydyttää ilmeisesti kaksi ensimmäistä aksiomia. Jos määritämme alkuintegraalin portaikkofunktioperheelle portaikkofunktion määrittelemän alueen (suuntautuneeksi) alueeksi, myös kolme alkeisintegraalin aksiomia täyttyvät. Jos sovellamme alla kuvatun Daniell-integraalin rakennetta portaikkofunktioita perustoimintoina, määritämme integraalin, joka vastaa Lebesgue-integraalia. Jos on topologinen tila ja jos käytämme kaikkien jatkuvien funktioiden perhettä perustoimintoina ja perinteistä Riemannin integraalia perusintegraalina, niin tämä johtaa integraaliin, joka on silti vastaava Lebesgue'n määritelmään. Jos teemme saman asian, mutta käyttämällä Riemann - Stieltjes -integraalia ja sopivaa rajoitetun variaation funktiota , saadaan integraalin määritelmä, joka vastaa Lebesgue - Stieltjesin määritelmää . $X$

Merkityksetön asettaa (eli nolla toimenpide) voidaan määritellä elementary toimii seuraavasti. Joukko , joka on osajoukko on vähäinen joukkoon, jos kaikki on olemassa kasvava jono positiivisia alkeisfunktioita on H siten, että ja päälle . $Z$ $X$ $\ epsilon> 0$ ${\ displaystyle h_ {p} (x)}$ ${\ displaystyle Ih_ {p} <\ epsilon}$ ${\ displaystyle \ sup _ {p} h_ {p} (x) \ geq 1}$ $Z$

Sanomme, että ominaisuus on totta melkein kaikkialla, jos se on totta kaikkialla paitsi merkityksettömällä joukolla. $X$

Määritelmä Daniellin integraalista

Voimme laajentaa integraalin käsitteen laajempaan funktioluokkaan perustuen perustoimintojen valintaan, luokkaan , joka on kaikkien sellaisten toimintojen perhe, jotka rajoittavat melkein kaikkialla kasvavaa alkutoimintojen sarjaa , kuten integraalien joukko on rajattu. Integraali toiminto on on määritelty: $L ^ {+}$ $h n}$ ${\ displaystyle Ih_ {n}}$ $f$ $L ^ {+}$

{\ displaystyle If = \ lim _ {n \ - \ infty} Ih_ {n}}

Voimme osoittaa, että tämä integraalin määritelmä on hyvin määritelty, ts. Että se ei riipu sekvenssin valinnasta . $h n}$

Luokkaa ei kuitenkaan yleensä suljeta vähennyslaskua ja kertomista varten negatiivisilla luvuilla, mutta voimme laajentaa sitä määrittelemällä suuremman funktioluokan siten, että mikä tahansa funktio voidaan esittää melkein kaikkialla erona , funktioiden mukaan ja luokkahuoneessa . Tällöin funktion integraali voidaan määrittää seuraavasti: $L ^ {+}$ $L$ $\ phi (x)$ ${\ displaystyle \ phi = fg}$ $f$ $g$ $L ^ {+}$ $\ phi (x)$

{\ displaystyle \ int _ {X} \ phi (x) dx = If-Ig \,}

Siellä taas, voimme osoittaa, että kiinteä on hyvin määritelty, eli se ei riipu hajoaminen osaksi ja . Tämä viimeistelee Daniell-integraalin rakentamisen. $\ phi$ $f$ $g$

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan peräisin englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista " Daniell integral " ( katso luettelo kirjoittajista ) .

(julkaisussa) Percy John Daniell , " General A form of integral " , Annals of Mathematics , voi. 19,1918, s. 279–94

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Bibliografia

(en) Percy John Daniell , ” Integraalit äärettömässä määrin ulottuvuuksia ” , Annals of Mathematics , voi. 20,1919, s. 281–88
(en) Percy John Daniell , ” Rajoitettujen variaatioiden toiminnot loputtomassa ulottuvuudessa ” , Annals of Mathematics , voi. 21,1919, s. 30-38
(en) Percy John Daniell , " Yleisen integraalin lisäominaisuudet " , Annals of Mathematics , voi. 21,1920, s. 203–20
(en) Percy John Daniell , ” Integral-tuotteet ja todennäköisyys ” , Amer. J. Math. , voi. 43,1921, s. 143–62
(en) HL Royden , todellinen analyysi , Prentice Hall ,1988, 3 ja toim. , 444 Sivumäärä ( ISBN 978-0-02-946620-9 )
(fi) G. E Shilov ja BL Gurevich ( Muunto. Richard A. Silverman), Integral, mitata ja Johdannaissopimukset: yhdenmukaisen lähestymistavan , Dover Publications ,1978, 233 Sivumäärä ( ISBN 978-0-486-63519-4 , lue verkossa )
(en) Edgar Asplund ja Lutz Bungart , ensimmäinen integraatiokurssi , Holt, Rinehart ja Winston,1966( ISBN 978-0-03-053145-3 )
(en) Angus Ellis Taylor , yleinen toimintojen ja integraation teoria , Courier Dover Publications ,1985, 437 Sivumäärä ( ISBN 978-0-486-64988-7 , lue verkossa )