Friedelin laki

Laki Friedel on laki käytetään crystallography , löysi mineralogi ja kristallografille Georges Friedel vuonna 1913 .

Yksi ensimmäisistä vaiheista kiderakenteen määrittämisessä ( röntgensäteellä , neutronilla tai elektronidiffraktiolla ) on Laue-luokan määrittäminen kiteen diffraktiokuviosta , mikä mahdollistaa sitten avaruusryhmän määrittämisen . Friedel laki sanoo, että Laue luokka kristallin on aina sentrosymmetrinen (eli se on inversio kuin ryhmä elementti ), vaikka tilan ryhmä kristalli ei ole sentrosymmetrinen: voimakkuudet heijastusten HKL ja -hkl ovat yhtä . Toisin sanoen Friedelin laki viittaa siihen, että kide voidaan osoittaa vain yhteen yhdestätoista Laue-luokasta 32 pisteen symmetriaryhmän sijaan.

Esittely

Laue luokka kiteen ollessa pisteryhmään sen käänteishila , sen symmetria määritetään kokeellisesti päässä vastavuoroisesti ristikko ja taipunutta intensiteetit kuhunkin solmuun ( h , k , l ) tai heijastus hkl hilan. Diffraktoitu intensiteetti on verrannollinen rakennekertoimen normin neliöön , joka on kompleksiluku  :

Minä(hkl)∝|F(hkl)|2=|∑jFj(hkl)|2=|∑jfje2iπ(hxj+kyj+lzj)|2=F(hkl)⋅F∗(hkl){\ displaystyle I (h \, k \, l) \ propto | F (h \, k \, l) | ^ {2} = \ vasen | \ summa _ {j} F_ {j} (h \, k \, l) \ oikea | ^ {2} = \ vasen | \ summa _ {j} f_ {j} \ mathrm {e} ^ {2i \ pi (hx_ {j} + ky_ {j} + lz_ {j} )} \ oikea | ^ {2} = F (h \, k \, l) \ cdot F ^ {*} (h \, k \, l)}

jossa F * (hkl) on konjugaatti on F (hkl) .

Friedelin lain eli Laue-luokan sentrosymmetrian tarkistamiseksi riittää, kun lasketaan solmuun kiinnitetty rakennekerroin (- h , - k , - l ):

F(h¯k¯l¯)=∑jfje2iπ[(-h)xj+(-k)yj+(-l)zj] =∑jfje-2iπ(hxj+kyj+lzj) =F∗(hkl){\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} F ({\ bar {h}} \, {\ bar {k}} \, {\ bar {l}}) & = & \ summa _ {j} f_ {j} \ mathrm {e} ^ {2i \ pi \ vasen [(- h) x_ {j} + (- k) y_ {j} + (- l) z_ {j} \ oikea]} \\ [2ex ] ~ & = & \ summa _ {j} f_ {j} \ mathrm {e} ^ {- 2i \ pi (hx_ {j} + ky_ {j} + lz_ {j})} \\ [2ex] ~ & = & F ^ {*} (h \, k \, l) \ end {array}}}

Saamme näin tasa-arvon

Minä(hkl)=Minä(h¯k¯l¯).{\ displaystyle I (h \, k \, l) = I ({\ bar {h}} \, {\ bar {k}} \, {\ bar {l}}).}

Minkä tahansa kiteen diffraktiokuvio ja sen Laue-luokka ovat sentrosymmetrisiä. Heijastukset hkl ja - h - k - l muodostavat "Friedel-parin".

Seuraukset

• Jos kide esittää erillistä mukaan inversio , heijastukset tulevat kaksi henkilöä päällekkäin täsmälleen käänteishila ja amplitudit niiden potenssiin rakenne tekijät ja ovat samat: se ei ole mahdollista erottaa diffraktion kuvia, jonka kaksosrakenne kide ja jota kaksoset kristalli.|F1(hkl)|2{\ displaystyle | F_ {1} (h \, k \, l) | ^ {2}}|F2(h¯k¯l¯)|2{\ displaystyle | F_ {2} ({\ bar {h}} \, {\ bar {k}} \, {\ bar {l}}) | ^ {2}}
• Koska diffraktiokuvio on sentrosymmetrinen, symmetriakeskuksen läsnäoloa tai puuttumista kiteessä ei voida määrittää. Fysikaalisten ominaisuuksien täydentävät mittaukset mahdollistavat epäilyn poistamisen: epälineaarisia ilmiöitä, kuten toisen harmonisen muodostuminen, voidaan havaita vain ei-sentrosymmetrisissä kiteissä.

Rajoitukset

Poikkeava dispersio

Friedelin laki on voimassa vain, kun atomien sirontatekijät ovat todellisia . Jos otetaan huomioon epänormaalin sironnan vaikutukset , ne muuttuvat monimutkaisiksi ja laki tarkistetaan vain kiteille, joilla on sentrosymmetrinen avaruusryhmä. Tarkastellaankin atomin osittaista rakennekerrointa heijastukselle hkl  : fj{\ displaystyle f_ {j}}fj{\ displaystyle f_ {j}}j{\ displaystyle j}

Fj(hkl)=fje2iπ(hxj+kyj+lzj)=(fjR+ifjMinä)eiφj{\ displaystyle F_ {j} (h \, k \, l) = f_ {j} \ mathrm {e} ^ {2i \ pi (hx_ {j} + ky_ {j} + lz_ {j})} = ( f_ {jR} + if_ {jI}) \ mathrm {e} ^ {i \ varphi _ {j}}}

missä ja ovat atomin atomidiffuusiokertoimen todelliset ja kuvitteelliset komponentit ja . fjR{\ displaystyle f_ {jR}}fjMinä{\ displaystyle f_ {jI}}j{\ displaystyle j}φj=2π(hxj+kyj+lzj){\ displaystyle \ varphi _ {j} = 2 \ pi (hx_ {j} + ky_ {j} + lz_ {j})}

-Hkl- heijastuksen osittainen rakennekerroin on:

Fj(h¯k¯l¯)=fje2iπ[(-h)xj+(-k)yj+(-l)zj]=(fjR+ifjMinä)e-iφj{\ displaystyle F_ {j} ({\ bar {h}} \, {\ bar {k}} \, {\ bar {l}}) = f_ {j} \ mathrm {e} ^ {2i \ pi \ vasen [(- h) x_ {j} + (- k) y_ {j} + (- l) z_ {j} \ oikea]} = (f_ {jR} + if_ {jI}) \ mathrm {e} ^ {-i \ varphi _ {j}}}

Voimme sitten kirjoittaa Eulerin kaavan avulla  :

Fj(hkl)=(fjR+ifjMinä)cos⁡φj+i(fjR+ifjMinä)synti⁡φj =FjR(hkl)+iFjMinä(hkl){\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} F_ {j} (h \, k \, l) & = & (f_ {jR} + if_ {jI}) \ cos {\ varphi _ {j}} + i (f_ {jR} + if_ {jI}) \ sin {\ varphi _ {j}} \\ [2ex] ~ & = & F_ {jR} (h \, k \, l) + iF_ {jI} ( h \, k \, l) \ end {array}}}

kanssa

FjR(hkl)=fjRcos⁡φj-fjMinäsynti⁡φjFjMinä(hkl)=fjMinäcos⁡φj+fjRsynti⁡φj{\ displaystyle {\ begin {array} {rcccl} F_ {jR} (h \, k \, l) & = & f_ {jR} \ cos {\ varphi _ {j}} & - & f_ {jI} \ sin {\ varphi _ {j}} \\ [2ex] F_ {jI} (h \, k \, l) & = & f_ {jI} \ cos {\ varphi _ {j}} & + & f_ {jR } \ sin {\ varphi _ {j}} \ end {array}}}

ja

Fj(h¯k¯l¯)=FjR(h¯k¯l¯)+iFjMinä(h¯k¯l¯){\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} F_ {j} ({\ bar {h}} \, {\ bar {k}} \, {\ bar {l}}) & = & F_ {jR} ({\ bar {h}} \, {\ bar {k}} \, {\ bar {l}}) + iF_ {jI} ({\ bar {h}} \, {\ bar {k}} \ , {\ bar {l}}) \ end {array}}}

kanssa

FjR(h¯k¯l¯)=fjRcos⁡φj+fjMinäsynti⁡φjFjMinä(h¯k¯l¯)=fjMinäcos⁡φj-fjRsynti⁡φj.{\ displaystyle {\ begin {array} {rcccl} F_ {jR} ({\ bar {h}} \, {\ bar {k}} \, {\ bar {l}}) & = & f_ {jR} \ cos {\ varphi _ {j}} & + & f_ {jI} \ sin {\ varphi _ {j}} \\ [2ex] F_ {jI} ({\ bar {h}} \, {\ bar { k}} \, {\ bar {l}}) & = & f_ {jI} \ cos {\ varphi _ {j}} & - & f_ {jR} \ sin {\ varphi _ {j}}. \ loppu {array}}}

Siksi voimme nähdä, että yleensä

Minä(h¯k¯l¯)≠Minä(hkl).{\ displaystyle I ({\ bar {h}} \, {\ bar {k}} \, {\ bar {l}}) \ neq I (h \, k \, l).}

Erotus voimakkuudet HKL ja -hkl heijastuksia , nimeltään " Bijvoet ero  ", on verrannollinen:

|F(hkl)|2-|F(h¯k¯l¯)|2=-4fjRfjMinäcos⁡φjsynti⁡φj.{\ displaystyle | F (h \, k \, l) | ^ {2} - | F ({\ bar {h}} \, {\ bar {k}} \, {\ bar {l}}) | ^ {2} = - 4f_ {jR} f_ {jI} \ cos {\ varphi _ {j}} \ sin {\ varphi _ {j}}.}

Jos kide on sentrosymmetrinen, rakennekerroin sisältää osuudet ja kaksi vastaavaa sijaintia ( ) ja ( ): Fj+{\ displaystyle F_ {j +}}Fj-{\ displaystyle F_ {j-}}x,y,z{\ displaystyle x, y, z}-x,-y,-z{\ displaystyle -x, -y, -z}

Fj(hkl)=Fj+(hkl)+Fj-(hkl) =fje2iπ(hxj+kyj+lzj)+fje2iπ[h(-xj)+k(-yj)+l(-zj)] =fje2iπ(hxj+kyj+lzj)+fje2iπ[(-h)xj+(-k)yj+(-l)zj] =Fj+(hkl)+Fj+(h¯k¯l¯).{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} F_ {j} (h \, k \, l) & = & F_ {j +} (h \, k \, l) + F_ {j -} (h \, k \, l) \\ [2ex] ~ & = & f_ {j} \ mathrm {e} ^ {2i \ pi (hx_ {j} + ky_ {j} + lz_ {j})} + f_ { j} \ mathrm {e} ^ {2i \ pi \ vasen [h (-x_ {j}) + k (-y_ {j}) + l (-z_ {j}) \ oikea]} \\ [2ex] ~ & = & f_ {j} \ mathrm {e} ^ {2i \ pi (hx_ {j} + ky_ {j} + lz_ {j})} + f_ {j} \ mathrm {e} ^ {2i \ pi \ vasen [(-h) x_ {j} + (- k) y_ {j} + (- l) z_ {j} \ oikea]} \\ [2ex] ~ & = & F_ {j +} (h \ , k \, l) + F_ {j +} ({\ bar {h}} \, {\ bar {k}} \, {\ bar {l}}). \ End {array}}}

Tässä tapauksessa löydämme

Minä(h¯k¯l¯)=Minä(hkl).{\ displaystyle I ({\ bar {h}} \, {\ bar {k}} \, {\ bar {l}}) = I (h \, k \, l).}

Friedelin laki on edelleen voimassa sentrosymmetrisillä rakenteilla.

Elektronidiffraktio

Friedelin laki on voimassa vain, kun diffraktiota koskevaa kineettistä teoriaa voidaan soveltaa. Saat elektronidiffraktiokuvion , tämä ei pidä paikkaansa: Friedel laki ei enää ole vahvistettu.

Huomautuksia ja viitteitä

1. Georges Friedel , "  Kiteisistä symmetriaista, joita röntgendiffraktio voi paljastaa  ", Proceedings of the Academy of Sciences of Paris , voi.  157,1913, s.  1533-1536
2. (de) Dieter Schwarzenbach , Kristallographie , Springer,2001( ISBN  3-540-67114-5 ) , s.  146-147
3. (de) Walter Steurer ja Michael Estermann , Kristallography II ,2000( lue verkossa ) , s.  48
4. (de) Werner Massa, Kristallstrukturbestimmung , Wiesbaden, Vievveg + Teubner,2009, 6 th  ed. ( 1 st  toim. 1994) ( ISBN  978-3-8348-0649-9 , lukea verkossa ) , s.  179
5. (in) S. Miyake ja R. Uyeda , "  Friedel lakia kohtaan dynaamiset teoria diffraction  " , Acta Cryst. , voi.  8, n o  6,1955, s.  335-342 ( DOI  10.1107 / S0365110X55001023 )
6. (in) R. Serneels , herra Snykers , P. Delavignette , R. Gevers ja S. Amelinckx , "  Friedel laki Electron Diffraktio sovellettuna Study of domeenirakenteet Non-keskussymmetrisiä kristallit  " , Physica Status Solidi , lennon .  58, n o  1,1973, s.  277-292 ( DOI  10.1002 / pssb.2220580127 )

Katso myös

Ulkoiset linkit

• (en) ”  Friedelin laki  ” , IUCr Online Dictionary of Crystallography ( katsottu 17. syyskuuta 2010 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">