Eulerin kaava

Euler kaava on yhtä suuri matemaattinen , johtuu matemaatikko Sveitsin Leonhard Euler . Se on kirjoitettu, mistään reaaliluku $x$ ,

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \, x} = \ cos x + \ mathrm {i} \, \ sin x}

ja yleistyy $x$ kompleksiin .

Tässä numero $e$ on pohja ja luonnolliset logaritmit , $i$ on kuvitteellinen yksikkö , $synti$ ja $cos$ ovat trigonometriset funktiot .

Kuvaus

Tämä kaava voidaan tulkita sanomalla, että funktio $x \mapsto e i x$ , jota kutsutaan cis-toiminto , kuvataan yksikkö ympyrä on kompleksitasossa , kuten $x$ vaihtelee reaalilukujen joukko.
$x$ edustaa suunnatun kulman mittaa (radiaaneina), jonka päätepuoliviiva on alkupisteessä ja kulkee yksikköympyrän pisteen läpi positiivisten reaalien puolilinjalla. Kaava on pätevä vain, jos $sin$ ja $cos$ argumentit ilmaistaan radiaaneina eikä asteina.

Todiste perustuu kompleksimuuttujan $z$ eksponenttifunktion $z \mapsto e z$ kokonaislukusarjalaajennuksiin sekä reaalimuuttujilla tarkasteltuihin $sini-$ ja $cos-$ funktioihin . Itse asiassa sama todiste osoittaa, että Eulerin kaava on edelleen voimassa kaikille kompleksiluvuille $x$ .

Kaava muodostaa tehokkaan yhteyden analyysin ja trigonometrian välille . Mukaan Richard Feynman , se on ”yksi merkittävimmistä kaavat [...] kaikista matematiikan. " Sitä käytetään kuvaamaan kompleksilukuja trigonometrisessä muodossa ja se mahdollistaa logaritmin määrittelyn monimutkaisille argumenteille. Eksponentin ominaisuuksien käyttäminen

{{\ rm {e}}} ^ {{a + b}} = {{\ rm {e}}} ^ {a} {{\ rm {e}}} ^ {b}

({{\ rm {e}}} ^ {a}) ^ {k} = {{\ rm {e}}} ^ {{ak}}

(jotka pätevät myös kaikkiin kompleksilukuihin $a , b$ ja mihin tahansa kokonaislukuun $k$ ), on helppo johtaa useita trigonometrisiä identiteettejä tai johtaa niistä Moivre-kaava . Eulerin kaava mahdollistaa kosini- ja sinifunktioiden tulkinnan eksponenttifunktioiden lineaarisina yhdistelminä :

\ cos (x) = \ displaystyle {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {{{\ mathrm {i}} \, x}} + {\ mathrm {e}} ^ {{- {\ mathrm { i}} \, x}}} {2}}

\ sin (x) = \ displaystyle {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {{{\ mathrm {i}} \, x}} - {\ mathrm {e}} ^ {{- {\ mathrm { i}} \, x}}} {2 {\ mathrm {i}} \,}}

Nämä kaavat (kutsutaan myös Eulerin kaavoiksi ) muodostavat nykyaikaisen funktioiden määritelmän ja (mukaan lukien, kun $x$ on monimutkainen muuttuja ) ja vastaavat Eulerin kaavaa (sovelletaan $x: ään$ ja $-$ $x: ään$ ), josta tulee sitten tautologia . $\ cos$ $\ synti$

Differenciályhtälöissä funktiota $x \mapsto e i x$ käytetään usein yksinkertaistamaan johdannaisia, vaikka ongelmana onkin löytää sini- ja kosiniineilla ilmaistut todelliset ratkaisut. Eulerin identiteetti on välitön seuraus Eulerin kaava.

In sähkö- ja muilla aloilla, signaaleja, jotka vaihtelevat säännöllisesti ajan kuvataan usein lineaarikombinaatioilla sini- ja kosini toimintoja (katso Fourier-analyysi ), ja jälkimmäinen on helpommin ilmaistaan todellinen osia eksponenttifunktioita. Kuvitteellinen eksponentit, Eulerin kaava.

Esittelyt

By Taylor -sarja

Sarja laajeneminen funktion $exp$ on todellinen muuttuja $t$ voidaan kirjoittaa:

{{\ mathrm {e}}} ^ {t} = {\ frac {t ^ {0}} {0 \,!}} + {\ frac {t ^ {1}} {1 \,!}} + {\ frac {t ^ {2}} {2 \,!}} + {\ frac {t ^ {3}} {3 \,!}} + {\ frac {t ^ {4}} {4 \, !}} + \ cdots = \ summa _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {n}} {n \,!}}

ja ulottuu mihin tahansa kompleksilukuun $t$ : Taylor-sarjan laajeneminen pysyy ehdottoman lähentyneenä ja määrittelee kompleksisen eksponentiaalisen.

Erityisesti kun $t = i x$ ja $x$ real:

{{\ mathrm {e}}} ^ {{{{\ \ mathrm {i}} \,} x}} = \ summa _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{{({ {\ mathrm {i}} \,} x)} ^ {n}} {n \,!}} = \ summa _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{{\ mathrm { i}} \,} ^ {n} x ^ {n}} {n \,!}} \ cdot

Tästä kahdeksi jaetusta sarjasta tulee, tosiasia, että : ${\ mathrm {i}} \, ^ {{2k}} = ({\ mathrm {i}} \, ^ {{2}}) ^ {{k}} = (- 1) ^ {{k}}$

{\ mathrm {e}} ^ {{{\ mathrm {i}} \, x}} = \ summa _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{\ mathrm {i}} \ , ^ {{2k}} x ^ {{2k}}} {(2k) \,!}} + \ Summa _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{\ mathrm {i} } \, ^ {{2k + 1}} x ^ {{2k + 1}}} {(2k + 1) \,!}} = \ Summa _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k}}} {(2k) \,!}} + {\ mathrm {i}} \, \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k + 1}}} {(2k + 1) \,!}} \ cdot

Näemme täten Taylor-sarjan kosinus- ja sinifunktioiden laajennukset:

\ cos (x) = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2 \,!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4 \,!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6 \,!}} + \ Cdots = \ summa _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k}}} {(2k) \,!}}

\ sin (x) = x - {\ frac {x ^ {3}} {3 \,!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5 \,!}} - {\ frac {x ^ {7}} {7 \,!}} + \ Cdots = \ summa _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k + 1} }} {(2k + 1) \,!}}

joka korvaa edellisen $e i x$ -lausekkeen korvaamalla :

{\ mathrm {e}} ^ {{{{\ mathrm {i}} \, x}} = \ cos (x) + {\ mathrm {i}} \, \ sin (x).

Mukaan differentiaalilaskenta

Minkä tahansa kompleksiluvun $k$ kohdalla ainoa kartta $f$ : ℝ → ℂ, joka varmistaa $f '= kf$ ja $f (0) = 1,$ on kartta $x \mapsto exp ( kx )$ (todiste on identtinen todellisen $k:$ n todisteen kanssa, joka on annettu yksityiskohtaisesti l artikla).

Sovelluksen $f$ määrittämä $f (x) = \ cos x + {{\ rm {i}}} \ sin x$ tarkastettu $f '= {{\ rm {i}}} f {\ text {ja}} f (0) = 1.$

Siksi se on sama kuin kartta $x \mapsto exp (i x )$ .

Historiallinen

Roger Cotes osoitti Eulerin kaavan ensimmäisen kerran vuonna 1714 muodossa $ln (cos x + i sin x ) = i x$ (missä $ln$ tarkoittaa luonnollista logaritmia , ts. Logaritmin perus $e$ ). Se oli Euler, joka julkaisi kaavan nykyisessä muodossaan vuonna 1748 perustuen todisteisiinsa Moivren kaavaan ja käyttämällä vastaavia ja rajoitettuja kohtia. Kumpikaan matemaatikoista ei antanut kaavan geometrista tulkintaa: kompleksilukujen tulkinta tason pisteiden kiinnitteinä mainittiin oikeastaan vasta viisikymmentä vuotta myöhemmin (ks. Caspar Wessel ).

Sovellukset

Eulerin lause voimme todetaan, että tärkein määrittäminen monimutkainen logaritmin on IS , kaikesta . ${\ displaystyle \ cos x + \ mathrm {i} \, \ sin x}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} x}$ ${\ displaystyle x \ sisään \ vasen] - \ pi, \ pi \ oikea [}$
Esimerkki sovelluksesta sähkömagneettisuudessa on vaihtovirta : koska tällaisen piirin potentiaaliero värähtelee , se voidaan esittää kompleksiluvulla : $V = V_ {0} {{\ rm {e}}} ^ {{{{{\ rm {i}}} \ omega t}} = V_ {0} \ vasen (\ cos \ omega t + {{\ rm {i}}} \ sin \ omega t \ oikea).$ Mitattavan määrän saamiseksi otamme todellisen osan:

${\ mathrm {Re}} (V) = {\ mathrm {Re}} \ vasen [V_ {0} {{\ rm {e}}} ^ {{{{{\ rm {i}}} \ omega t} } \ right] = V_ {0} \ cos \ omega t.$

Linearisointi , joka perustuu Eulerin kaava ja binomisen lause , kaikki transformoidut polynomi on $cos ( x )$ ja $sin ( x )$ , jonka lineaarinen yhdistelmä eri $cos ( nx )$ ja $sin ( nx )$ , joka sitten tekee laskenta sen primitiivit välittömästi .

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Descartes-Euler-lause
Eulerin suhde kolmiossa
Eulerin menetelmä , differentiaaliyhtälöiden ja primitiivien likimääräinen laskenta
Tunnettu Euler , kuuluisa identiteetti: $e iπ$ + 1 = 0

Viitteet

(in) Alan Sultan F. ja Alice Artzt, matematiikka että jokainen lukion matematiikan opettaja haluaa tietää , kandidaattiopinnot ajattelu ja oppiminen, Taylor & Francis, 2010, s. 326 .
(sisään) Richard P.Feynman , Robert B.Leighton (sisään) ja Matthew Sands (sisään) , Feynmanin fysiikan luennot [ julkaisutiedot ], lento. 1, s. 22, Wikikirjoissa olevan ( " ) " Eulerin henkilöllisyyden "mukaan .
Srishti D. Chatterji, analyysikurssi , voi. 2: monimutkainen analyysi , PPUR ,1997( lue verkossa ) , s. 96.
Chatterji 1997 , s. 97.
Ernst Hairer ja Gerhard Wanner, Analyysi historian kautta , Springer,2001, s. 59
Dominique Flament , kompleksilukujen historia: algebran ja geometrian välillä , Pariisi, CNRS Éditions,2003( ISBN 2271 06128 8 ), s. 80.
(in) John Stillwellin , matematiikan ja sen historia [ vähittäiskaupan painokset ], s. 294.
L.Euler, Johdatus äärettömän pieneen analyysiin , artikkeli 138 .
Flament 2003 , s. 83-84.
Katso esimerkkejä: Sähkömagnetismi ( 2 th edition), IS Grant, WR Phillips, Manchester fysiikan Series 2008 ( ISBN 0-471-92712-0 ) .