Laki ei ole keskitetty

Laki ei-keskitetystä χ{\ displaystyle \ chi}
asetukset	k∈{1,2,...}{\ displaystyle k \ in \ {1,2, \ pisteet \} \,}( vapauden asteet ) λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0 \,}
Tuki	x∈[0;+∞[{\ displaystyle x \ muodossa [0; + \ infty [\,}
Todennäköisyystiheys	e-(x2+λ2)/2xkλ(λx)k/2Minäk/2-1(λx){\ displaystyle {\ frac {e ^ {- (x ^ {2} + \ lambda ^ {2}) / 2} x ^ {k} \ lambda} {(\ lambda x) ^ {k / 2}}} I_ {k / 2-1} (\ lambda x)}
Toivoa	π2L1/2(k/2-1)(-λ22){\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} L_ {1/2} ^ {(k / 2-1)} \ vasen ({\ frac {- \ lambda ^ {2}} { 2}} \ oikea) \,}
Varianssi	k+λ2-μ2{\ displaystyle k + \ lambda ^ {2} - \ mu ^ {2} \,}

Vuonna todennäköisyysteoriaa ja tilastoja , The laki keskikohdanχ{\ displaystyle \ chi} on yleistys lain χ . Jos ovat k satunnaismuuttujat riippumaton ja normaalin lain keskiarvojen ja vastaava keskipoikkeama ja sitten Xi,i=1,...,k{\ displaystyle \ scriptstyle X_ {i}, \, i = 1, \ pisteet, k} μi,i=1,...,k{\ displaystyle \ scriptstyle \ mu _ {i}, \, i = 1, \ pisteet, k}σi,i=1,...,k{\ displaystyle \ scriptstyle \ sigma _ {i}, i = 1, \ pisteet, k}

X=∑1k(Xiσi)2{\ displaystyle X = {\ sqrt {\ sum _ {1} ^ {k} \ vasen ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ oikea) ^ {2}}}}

on ei-keskitetty satunnaismuuttuja . Tällä lailla on kaksi parametria: kokonaisluku, joka määrittää vapausasteiden määrän (eli muuttujien lukumäärän ), ja todellinen suhteessa muuttujien keskiarvoon kaavalla: χ{\ displaystyle \ chi}k{\ displaystyle k}Xi{\ displaystyle X_ {i}}λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0}Xi{\ displaystyle X_ {i}}

λ=∑1k(μiσi)2{\ displaystyle \ lambda = {\ sqrt {\ sum _ {1} ^ {k} \ vasen ({\ frac {\ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ oikea) ^ {2} }}}

Sanomme, että X noudattaa lakia χ, jonka keskellä ei ole k vapausastetta ja parametria λ, huomaammeX∼EIVSχk(λ){\ displaystyle X \ sim NC \ chi _ {k} (\ lambda)}

Ominaisuudet

Todennäköisyys tiheys on:

f(x;k,λ)=e-(x2+λ2)/2xkλ(λx)k/2Minäk/2-1(λx){\ displaystyle f (x; k, \ lambda) = {\ frac {e ^ {- (x ^ {2} + \ lambda ^ {2}) / 2} x ^ {k} \ lambda} {(\ lambda x) ^ {k / 2}}} I_ {k / 2-1} (\ lambda x)}

missä on muokattu Besselin funktio . Minäv(z){\ displaystyle I _ {\ nu} (z)}

Ensimmäiset hetket ovat:

μ1′=π2L1/2(k/2-1)(-λ22){\ displaystyle \ mu '_ {1} = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} L_ {1/2} ^ {(k / 2-1)} \ vasemmalle ({\ frac {- \ lambda ^ {2}} {2}} \ oikea)} μ2′=k+λ2{\ displaystyle \ mu '_ {2} = k + \ lambda ^ {2}} μ3′=3π2L3/2(k/2-1)(-λ22){\ displaystyle \ mu '_ {3} = 3 {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} L_ {3/2} ^ {(k / 2-1)} \ vasemmalle ({\ frac { - \ lambda ^ {2}} {2}} \ oikea)} μ4′=(k+λ2)2+2(k+2λ2){\ displaystyle \ mu '_ {4} = (k + \ lambda ^ {2}) ^ {2} +2 (k + 2 \ lambda ^ {2})}

missä on yleistetty Laguerren polynomi . Huomaa, että toinen hetki on sama kuin ei-keskitetyn law²-lain n- edellinen momentti, jossa parametri korvataan . Lei(klo)(z){\ displaystyle L_ {n} ^ {(a)} (z)}λ{\ displaystyle \ lambda}λ2{\ displaystyle \ lambda ^ {2}}

Linkit muihin lakeihin

• Jos on keskittymätön -²-lain satunnaismuuttuja , niin satunnaismuuttuja on keskittämätön χ-lain satunnaismuuttuja.X{\ displaystyle X}X2{\ displaystyle X ^ {2}}
• Jos on laki χ , niin on laki ole keskellä χ: . Toisin sanoen χ-laki on erityistapaus of-laista, jota ei keskitetä parametrilla .X{\ displaystyle X}X∼χk{\ displaystyle X \ sim \ chi _ {k}}X{\ displaystyle X}X∼EIVSχk(0){\ displaystyle X \ sim NC \ chi _ {k} (0)}λ=0{\ displaystyle \ lambda = 0}
• Lakia χ ole keskellä kaksi vapausastetta on samanlainen laki Rice kanssa .σ=1{\ displaystyle \ sigma = 1}
• Jos X noudattaa-: n keskittämätöntä lakia yhdellä vapausasteella ja parametrilla λ, niin σ X noudattaa taitettua normaalilakia parametreilla σλ ja σ 2 mille tahansa arvolle σ.

Eri lait jaχ{\ displaystyle \ chi}χ2{\ displaystyle \ chi ^ {2}}

Lait	normaalijakaumamuuttujien funktiona
of²-laki	∑i=1k(Xi-μiσi)2{\ displaystyle \ summa _ {i = 1} ^ {k} \ vasen ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ oikea) ^ {2} }
law² laki ei ole keskitetty	∑i=1k(Xiσi)2{\ displaystyle \ summa _ {i = 1} ^ {k} \ vasen ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ oikea) ^ {2}}
χ laki	∑i=1k(Xi-μiσi)2{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ vasen ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ oikea) ^ {2}}}}
law laki ei ole keskitetty	∑i=1k(Xiσi)2{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ vasen ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ oikea) ^ {2}}}}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">