Rhumb viiva

Päätepisteeseen (alkaen Kreikan LOX (o) - ja - dromie kurssi ( δρόμος) vino ( λοξός), in Englanti loksodromilta ), on käyrä, joka leikkaa meridiaaneja pallomaisen tasaisella kulmassa. Se on polku, jota alus kuljettaa tasaisen suunnan jälkeen .

Loksodromi on edustettuna Mercator projektio merenkulku- tai ilmailu- kaavion suora viiva, mutta se ei edusta lyhin etäisyys kahden pisteen välillä. Lyhin reitti, nimeltään ympyräreitti tai suuri ympyrä, on pallon suuri ympyrä.

Rumbussi on polku, jolla on vakio oikea kurssi . Se on nimensä vuoksi velkaa portugalilaiselle maanmittaajalle Pedro Nunesille , joka erottaa ensimmäisen sen ympyrästä (noin 1537 ).

Loksodrominen navigointi

Esitetty ongelma on ratan ja lärmin määrittäminen kahden pisteen välillä. Tämä on siis kuolleiden laskelmien päinvastainen ongelma .

Myöhemmin huomaamme

• Rv{\ displaystyle R_ {vb}}tosi reitti (termiä käytetään ilmailu-, nimeltään maa reitti ,, merenkulun alalla);Rf{\ displaystyle R_ {f} \,}
• M{\ displaystyle M \,}tielle kuljettu matka  ;Rv{\ displaystyle R_ {vb}}
• φAT,GAT{\ displaystyle \ varphi _ {A}, G_ {A} \,}ja pisteiden A ja B maantieteelliset koordinaatit (leveys- ja pituusaste);φB,GB{\ displaystyle \ varphi _ {B}, G_ {B} \,}
• φm=φAT+φB2{\ displaystyle \ varphi _ {m} = {\ frac {\ varphi _ {A} + \ varphi _ {B}} {2}} \,} keskileveysaste;

Yksiköt, jos on tarpeen, on merkitty yläindeksinä hakasulkeissa: varten merenkulku- , radiaaniarvoissa, sillä kulmaminuutin . [eiq]{\ displaystyle ^ {[nq]}}[rklod]{\ displaystyle ^ {[rad]}}[,]{\ displaystyle ^ {[,]}}

Etäisyyden arvo todellisen tien funktiona ilmaistaan ​​tasa-arvolla

M[eiq]=φB[,]-φAT[,]cos⁡Rv{\ displaystyle M ^ {[nq]} = {\ frac {\ varphi _ {B} \, ^ {[,]} - \ varphi _ {A} \, ^ {[,]}} {\ cos R_ { v}}} \,}

Todellisen reitin arvioimiseksi voidaan käyttää likimääräistä tai tarkkaa arvoa.

• Jos nämä kaksi pistettä A ja B eivät ole kovin kaukana toisistaan, voimme olla tyytyväisiä likimääräiseen kaavaan käyttämällä keskimääräistä leveyttä

rusketus⁡Rv=GB-GATφB-φATcos⁡φm{\ displaystyle \ tan R_ {v} = {\ frac {G_ {B} -G_ {A}} {\ varphi _ {B} - \ varphi _ {A}}} \ cos \ varphi _ {m} \, } tämä kaava johtuu pallon ja kartan etäisyyksien sekoituksesta. Sitä sovelletaan pisteisiin, jotka ovat pienemmällä etäisyydellä (alle 300 meripeninkulmaa) ja leveysasteilla, jotka ovat kaukana pylväistä (leveysasteet alle 60 °).

• Tarkka kaava ( kasvavat leveydet Mercator-projektiossa):

rusketus⁡Rv=GB-GATλB-λAT{\ displaystyle \ tan R_ {v} = {\ frac {G_ {B} -G_ {A}} {\ lambda _ {B} - \ lambda _ {A}}} \,} λ{\ displaystyle \ lambda \,}kutsutaan kasvavaksi leveyspiiriksi ja on yhtä suuri radiaaneina: λ=ln⁡rusketus⁡(π4+φ[rklod]2){\ displaystyle \ lambda = \ ln \ tan \ vasen ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi ^ {[rad]}} {2}} \ oikea) \,}mikä on käänteinen Gudermannin funktio.

Kaavat eivät sovellu lähelle 90 ° ja 270 °, koska ne johtaisivat jakamiseen lukulla, joka on lähellä nollaa. Näissä tapauksissa merilaskelmissa odotetaan etäisyyden laskemisessa käyttävän siniä. Heti kun reitti sulaa neljännes on yli 89 °, käytetään seuraavaa likimääräistä kaavaa: Rv{\ displaystyle R_ {vb}} Rfq{\ displaystyle Rf_ {q}}

M[eiq]=|GB[,]-GAT[,]|cos⁡φmsynti⁡Rfq{\ displaystyle M ^ {[nq]} = {\ frac {\ vasen | G_ {B} \, ^ {[,]} - G_ {A} \, ^ {[,]} \ oikea | \ cos \ varphi _ {m}} {\ sin Rf_ {q}}}}

• Loxodrome-napa napaan

• Loksodromia päiväntasaajalta nähtynä

• Loksodromia pohjoisnavalta nähtynä

Matemaattinen tutkimus

Maapallolla loksodromit vastaavat (kun ne eivät ole "rappeutuneita", toisin sanoen kun annettu alkukulma ei ole nolla) napan (pohjoisnapa, jos alkukulma on ja siirtymä on ) ympäri kiertyviä spiraaleja. leveysasteen kasvun suuntaan ). Pylvään läheisyydessä nämä spiraalit ovat suunnilleen tasaisia, tangentti muodostaen kiinteän kulman säteen vektorin kanssa, mikä on logaritmisen spiraalin ominaisuus . ]0,π[{\ displaystyle] 0, \ pi [}

Tarkemmin sanottuna haluamme määrittää loksodinaalin yhtälön ja laskea päiväntasaajalta napaan kuljetun pituuden L todellisen kurssin funktiona (eli kulman seuraaman suunnan ja maantieteellisen pohjoisen välillä); pituutta on huomattava ja leveysasteen , se on siis ratkaistava, funktion . Laskelma antaa lopulta ja . Rv∈]0,π/2[{\ displaystyle R_ {v} \ sisään \,] 0, \ pi / 2 [}G{\ displaystyle G} φ{\ displaystyle \ varphi}G↦φ(G){\ displaystyle G \ mapsto \ varphi (G)}φ(G)=2arktaani⁡(exp⁡(Grusketus⁡(Rv)))-π/2{\ displaystyle \ varphi (G) = 2 \ arctan (\ exp ({G \ over \ tan (R_ {v})})) - \ pi / 2}L=π2cos⁡(Rv){\ displaystyle L = {\ pi \ yli 2 \, \ cos (R_ {v})}}

Yksityiskohtainen laskelma

Loxodromie on kaari on alalla, joka on oletettu määritelty funktio luokka  : ja suunnattu suuntaan kasvaa pituusasteet. Antaa olla funktio, joka yhdistää pituuden kanssa nykyisen pisteen loksodromin pituus- ja leveyspiiristä . VS1{\ displaystyle C ^ {1}}G↦φ(G){\ displaystyle G \ mapsto \ varphi (G)}f:G↦M(G,φ(G)){\ displaystyle f: G \ mapsto M (G, \ varphi (G))}G{\ displaystyle G}G{\ displaystyle G}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}

Tällöin laktodiviivan tangentti on vektori . Tämä vektori, joka ohjaa tangentin valokaareen, muodostaa siten hypoteesin mukaan kulman minkä tahansa (ei-nollan) vektorin kanssa, joka ohjaa meridiaania tarkasteltavaan pisteeseen. Vektori, joka ohjaa meridiaania itään , kun taas vektori, joka ohjaa rinnakkaisuutta, on . f′(G)=∂M→∂G(G,φ(G))+φ′(G)⋅∂M→∂φ(G,φ(G)){\ displaystyle f '(G) = {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen G} (G, \ varphi (G)) + \ varphi' (G) \ cdot {\ osittainen {\ vec { M}} \ yli \ osittainen \ varphi} (G, \ varphi (G))}Rv{\ displaystyle R_ {vb}}M(G,φ(G)){\ displaystyle M (G, \ varphi (G))}∂M→∂φ(G,φ(G)){\ displaystyle {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen \ varphi} (G, \ varphi (G))}∂M→∂G(G,φ(G)){\ displaystyle {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen G} (G, \ varphi (G))}

Seuraavassa kirjoituksen yksinkertaistamiseksi ei enää määritetä kohtaa, johon funktiot ja niiden osittaiset johdannaiset otetaan, ja muistutetaan sen sijaan ja johdannainen suhteessa . (G,φ(G)){\ displaystyle (G, \ varphi (G))}φ{\ displaystyle \ varphi}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}φ′{\ displaystyle \ varphi '}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}G{\ displaystyle G}

Suorittamalla loksodin tangentin ohjaavan vektorin ja meridiaanin ohjaavan vektorin skalaaritulos saadaan näiden vektoreiden normien tulo muodostaman kulman kosinilla. Tämä kulma on juuri oikea suunta, kun  : Rv{\ displaystyle R_ {vb}}0<Rv<π{\ displaystyle 0 <R_ {v} <\ pi}

(∂M→∂φ|∂M→∂G+φ′∂M→∂φ)=‖∂M→∂φ‖‖∂M→∂G+φ′∂M→∂φ‖cos⁡(Rv){\ displaystyle \ left ({\ osal {{vec {M}} \ yli \ osaa \ varphi} \; {\ Bigg |} \; {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen G} + \ varphi '{\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen \ varphi} \ oikea) = \ vasen \ | {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen \ varphi} \ oikea \ | \, \ vasen \ | {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen G} + \ varphi '{\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen \ varphi} \ oikea \ | \ cos (R_ { v})}, Ilmaiseva piste tuote kuin .(u→|v→){\ displaystyle ({\ vec {u}} \; | \; {\ vec {v}})}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}

Koska rinnakkaispiirteet ja meridiaanit ovat kohtisuorassa, vektorit ja ovat kohtisuoria, ja edellinen lauseke yksinkertaistuu ∂M→∂φ{\ displaystyle {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen \ varphi}}∂M→∂G{\ displaystyle {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen G}}

φ′‖∂M→∂φ‖2=‖∂M→∂φ‖‖∂M→∂G+φ′∂M→∂φ‖cos⁡(Rv){\ displaystyle \ varphi '\ left \ | {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen \ varphi} \ oikea \ | ^ {2} = \ vasen \ | {\ osittainen {\ vec {M}} \ over \ osittainen \ varphi} \ oikea \ | \, \ vasen \ | {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen G} + \ varphi '{\ osallinen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen \ varphi} \ oikea \ | \ cos (R_ {v})}

sitten:

φ′‖∂M→∂φ‖=‖∂M→∂G+φ′∂M→∂φ‖cos⁡(Rv){\ displaystyle \ varphi '\ vasen \ | {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen \ varphi} \ oikea \ | = \ vasen \ | {\ osallinen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen G} + \ varphi '{\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen \ varphi} \ oikea \ | \ cos (R_ {v})}

Neliöimällä ja käyttämällä Pythagoraan lauseen saamme:

φ′2‖∂M→∂φ‖2=(‖∂M→∂G‖2+φ′2‖∂M→∂φ‖2)cos2⁡(Rv){\ displaystyle \ varphi '^ {2} \ vasen \ | {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen \ varphi} \ oikea \ | ^ {2} = \ vasen (\ vasen \ | {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen G} \ oikea \ | ^ {2} + \ varphi '^ {2} \ vasen \ | {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen \ varphi} \ right \ | ^ {2} \ right) \ cos ^ {2} (R_ {v})}

Mistä, kanssa 1-cos2⁡(Rv)=synti2⁡(Rv){\ displaystyle 1- \ cos ^ {2} (R_ {v}) = \ sin ^ {2} (R_ {v})}

synti2⁡(Rv)φ′2‖∂M→∂φ‖2=‖∂M→∂G‖2cos2⁡(Rv)(1){\ displaystyle \ sin ^ {2} (R_ {v}) \ varphi '^ {2} \ vasen \ | {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen \ varphi} \ oikea \ | ^ {2 } = \ vasen \ | {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen G} \ oikea \ | ^ {2} \ cos ^ {2} (R_ {v}) \ qquad \ mathbf {(1) }}.

Laskemme tämän yhtälön kaksi normia:

On tunnettua, mukaan pallomainen kokoonpano ilmoitetaan suorakulmaisten koordinaattien pohja , on suunnattu pitkin maapallon akseli, että jos on yksikkö säteen vektorin ekvatoriaalisen tason määritelty . Määritellään kuten vektoriperäistä suhteen on  : . Joten ja . Siten ja . (i→,j→,k→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}OM→(G,φ)=synti⁡(φ)k→+cos⁡(φ)u→G{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} (G, \ varphi) = \ sin (\ varphi) \; {\ vec {k}} + \ cos (\ varphi) \; {\ vec {u}} _ { G}}u→G{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {G}}u→G=cos⁡(G)i→+synti⁡(G)j→{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {G} = \ cos (G) \; {\ vec {i}} + \ sin (G) \; {\ vec {j}}}v→G{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {G}}G{\ displaystyle G}u→G{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {G}}v→G=du→GdG=-synti⁡(G)i→+cos⁡(G)j→{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {G} = {d {\ vec {u}} _ {G} \ over dG} = - \ sin (G) \; {\ vec {i}} + \ cos (G) \; {\ vec {j}}}∂M→∂G=cos⁡(φ)v→G{\ displaystyle {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen G} = \ cos (\ varphi) \; {\ vec {v}} _ {G}}∂M→∂φ=cos⁡(φ)k→-synti⁡(φ)u→G{\ displaystyle {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen \ varphi} = \ cos (\ varphi) \; {\ vec {k}} - \ sin (\ varphi) {\ vec {u}} _ {G}}‖∂M→∂G‖=cos⁡(φ){\ displaystyle \ vasen \ | {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen G} \ oikea \ | = \ cos (\ varphi)}‖∂M→∂φ‖=1{\ displaystyle \ vasen \ | {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen \ varphi} \ oikea \ | = 1}

Yhtälö supistuu: (1){\ displaystyle \ mathbf {(1)}}

synti2⁡(Rv)φ′2=cos2⁡(φ)cos2⁡(Rv){\ displaystyle \ sin ^ {2} (R_ {v}) \ varphi '^ {2} = \ cos ^ {2} (\ varphi) \ cos ^ {2} (R_ {v})}

Jos oletamme, että aloitamme päiväntasaajan ( ) pituutta ja mene Pohjois-idässä, sitten , ja on kasvava funktio siis (muissa tapauksissa, päätellään kaaren, jonka keskus- symmetria ja / tai sopivaa kierto (s), joten emme menetä yleisyyttä) seurauksena: φ=0{\ displaystyle \ varphi = 0}G=0{\ displaystyle G = 0}Rv∈]0,π/2[{\ displaystyle R_ {v} \ sisään \,] 0, \ pi / 2 [}φ{\ displaystyle \ varphi}G{\ displaystyle G}φ′>0{\ displaystyle \ varphi '> 0}

synti⁡(Rv)φ′=cos⁡(φ)cos⁡(Rv){\ displaystyle \ sin (R_ {v}) \ varphi '= \ cos (\ varphi) \ cos (R_ {v})} ja epälineaarinen differentiaaliyhtälö, jossa muuttujat voidaan erottaa1cos⁡(φ)dφdG=1rusketus⁡(Rv){\ displaystyle {1 \ over \ cos (\ varphi)} {d \ varphi \ over dG} = {1 \ over \ tan (R_ {v})}}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}

Integroimalla 0 ja  : G{\ displaystyle G}

∫0φ(G)dφcos⁡(φ)=1rusketus⁡(Rv)∫0GdG{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ varphi (G)} {d \ varphi \ over \ cos (\ varphi)} = {1 \ over \ tan (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {G} dG}, joko (vrt . trigonometristen toimintojen primitiivit ) ln⁡(rusketus⁡(π4+φ(G)2))=Grusketus⁡(Rv){\ displaystyle \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi (G)} {2}} \ right) \ right) = {G \ yli \ tan (R_ {v})}}

Kuljettu pituus L on silloin määritelmän mukainen:

L=∫0+∞‖f′(G)‖dG{\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ | f '(G) \ | \, dG} missä ja samasta syystä .f′(G)=∂M→∂G(G,φ(G))+φ′(G)∂M→∂φ(G,φ(G)){\ displaystyle f '(G) = {\ osittainen {\ vec {M}} \ yli \ osittainen G} (G, \ varphi (G)) + \ varphi' (G) {\ osittainen {\ vec {M} } \ over \ osittainen \ varphi} (G, \ varphi (G))}‖f′(G)‖2=cos2⁡(φ)+φ′2=cos2⁡(φ)+cos2⁡(φ)rusketus2⁡(Rv)=cos2⁡(φ)synti2⁡(Rv){\ displaystyle \ | f '(G) \ | ^ {2} = \ cos ^ {2} (\ varphi) + \ varphi' ^ {2} = \ cos ^ {2} (\ varphi) + {\ cos ^ {2} (\ varphi) \ over \ tan ^ {2} (R_ {v})} = {\ cos ^ {2} (\ varphi) \ over \ sin ^ {2} (R_ {v})} }‖f′(G)‖=cos⁡(φ)synti⁡(Rv){\ displaystyle \ | f '(G) \ | = {\ cos (\ varphi) \ over \ sin (R_ {v})}} L=1synti⁡(Rv)∫0+∞cos⁡(φ(G))dG{\ displaystyle L = {1 \ yli \ sin (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ cos (\ varphi (G)) \, dG}

Muuttamalla muuttujan kanssa leveyttä 0 , kun vaihtelee 0  : dGdφ=rusketus⁡(Rv)cos⁡(φ){\ displaystyle {dG \ over d \ varphi} = {\ tan (R_ {v}) \ over \ cos (\ varphi)}}φ{\ displaystyle \ varphi}π2{\ displaystyle \ pi \ yli 2}G{\ displaystyle G}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Meillä on L=rusketus⁡(Rv)synti⁡(Rv)∫0π2dφ=1cos⁡(Rv)∫0π2dφ{\ displaystyle L = {\ tan (R_ {v}) \ over \ sin (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {\ pi \ over 2} \, d \ varphi = {1 \ over \ cos (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {\ pi \ yli 2} \, d \ varphi} L=π2cos⁡(Rv){\ displaystyle L = {\ pi \ yli 2 \, \ cos (R_ {v})}}

Tulos on helppo tarkistaa nollalla. Näemme, että ylitetty kaari on pituuspiiri ja sen pituus on yhtä suuri kuin neljännes kehästä. Rv{\ displaystyle R_ {vb}}

Sama laskelma, joka suoritetaan kahden lokaalilinjalla sijaitsevan pisteen A ja B välillä, antaa pituuden:

M=1cos⁡(Rv)∫φATφBdφ=φB-φATcos⁡(Rv){\ displaystyle M = {1 \ yli \ cos (R_ {v})} \ int _ {\ varphi _ {A}} ^ {\ varphi _ {B}} \, d \ varphi = {\ frac {\ varphi _ {B} - \ varphi _ {A}} {\ cos (R_ {v})}}}

Huomautuksia ja viitteitä

1. Pallon "suuri ympyrä" on pallon leikkauspiste pallon kanssa, joka kulkee pallon keskipisteen, kuten Päiväntasaajan ja kaikkien meridiaanien, läpi.
2. Stevin ja Harriot tutkivat sitä (n. 1580 ): se on yksi ensimmäisistä tunnetuista "vaikean integraation" tapauksista
3. LOxodromie , s.5-6, Marseillen kauppalaivaston kansallisen koulun paikalla
4. Robert Rolland "JOITA NAVIGOINTIIN LIITTYVIÄ MATEMAATTISIA ONGELMIA (VERSIO 7)" (sivu 26)
5. LOxodromie , s.8; 10, Marseillen kauppalaivaston kansallisen koulun paikalla
6. Robert Rolland "JOITA NAVIGOINTIIN LIITTYVIÄ MATEMAATTISIA ONGELMIA (VERSIO 7)" (sivu 19)

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Geodeettinen
• Rhumb viiva
• Kuollut laskenta
• Ortodromia
• Reitti (navigointi)

Ulkoiset linkit

• (fr) "Joitakin navigointiin liittyviä matemaattisia ongelmia"
• (fr) "Ohjelmisto etäisyyksien (rumbin ja suuren ympyrän) ja suunnan laskemiseksi"

Bibliografia

• Raymond d'Hollander, Loxodromy and Mercator -projekti , Merentutkimuslaitos,2005, 239  Sivumäärä ( ISBN  978-2-903581-31-2 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">