Mercator-projektio

Mercator projektio tai Mercator projektio on kartografista projektio Maan, joka tunnetaan nimellä "sylinterimäinen", tangentti päiväntasaajaa ja maanpäällisten maapallo tasaiselle kartan virallistaa Flanderin maantieteilijä Gerardus Mercator , vuonna 1569.

Se on vakiinnuttanut asemansa planiksfäärinä maailmassa merimatkojen tarkkuuden ansiosta . Se ei ole, tiukasti katsottuna , keskeinen projektio : leveyspiiriä $φ$ ei lähetetä, kuten voisi odottaa, ordinaattipisteessä, joka on verrannollinen $rusketukseen ( φ ),$ vaan ordinaatipisteeseen, joka on verrannollinen $ln [tan (φ / 2 + π / 4)]$ .

Mercator-projektio on konformaalinen projektio , eli se säilyttää kulmat . Sillä on kuitenkin muodonmuutosten vaikutus etäisyyksiin ja alueisiin . Itse asiassa, vääristymä kasvaa etäisyyden päiväntasaajan kohti napaa . Mercator-kartta ei siis voi peittää pylväitä: ne olisivat äärettömän suuria. Esimerkiksi tämä johtaa visioon Grönlannin ja Afrikan pinnan tasa-arvosta, kun jälkimmäinen on 14 kertaa suurempi.

Motivaatio ja rakenteet

Dicearque , Strabo oli luonnostellut ortogonaalisen kankaan esittämisperiaatteen ja sitä käytti Tyroksen Marinos . Hän oli myös tunnettu kiinalaisten ja X : nnen vuosisadan.

XVI e- vuosisadan navigaattorien toive oli tietää reitti, jota tulisi seurata tasaisessa suunnassa päästäksesi maapallon pisteestä toiseen. Tämä navigointijärjestelmä ei kulje lyhintä polkua (eli suurta ympyrää ), mutta sen avulla voit navigoida kompassilla. Kompromissi suuren ympyrän (lyhin polku) ja rumbumblinjan (polku, jolla on jatkuva suunta) välillä on liikerata, jonka avulla voidaan yhdistää useita suuren ympyrän pisteitä loksodromilla. Tätä varten oli toivottava kartta, joka mahdollisti kulmien säilyttämisen ja siten lormaviivojen piirtämisen helposti. Maanpäällisen alueen ennusteita, jotka säilyttivät kulmat, oli todellakin antiikin jälkeen: stereografisia projektioita , mutta ne eivät muuttaneet meridiaaneja yhdensuuntaisiksi viivoiksi ja vaikeuttivat siten loksodin rakentamista. Siksi navigaattorit halusivat kartografisen esityksen maapallosta, jossa meridiaaneja edustaisivat yhtä kaukana yhdensuuntaiset viivat ja rinnakkaispiirteet meridiaaneihin kohtisuoria viivoja (ts. Suora lieriömäinen projektio). He halusivat myös, että tämä projektio olisi konforminen , toisin sanoen se säilyttää kulmat.

Mercator aloitti tehtävän ja antoi vuonna 1569 kartan, joka melkein täytti navigaattoreiden kaksi vaatimusta. Emme tiedä hänen päättelyään tarkalleen, mutta voimme rekonstruoida sen. Hän ei käytä palloa tangenttia palloon eikä yritä tehdä keskiprojektiota, mutta rakentaa ruudukkokartan, jossa kaikki meridiaanit ovat yhdensuuntaiset ja yhtä kaukana toisistaan, ja kaikki rinnakkaisuudet ovat kohtisuorassa meridiaaneihin nähden. Leveysasteella $φ$ esiintyy muodonmuutos yhdensuuntaisuudessa - todellakin maapallolla leveyspiirin parallel suuntaisen pituuden pituus on tekijällä $cos ( φ )$ pienempi kuin päiväntasaajan, kun taas kartalla rakenteeltaan kaikilla rinnakkaisilla on sama pituus. Tämä muodonmuutos absissiin $1 / cos ( φ )$ on toistettava ordinaatissa, jos kulmien säilyttämistä halutaan. Tämä johtaa tasa-arvoon ${\ displaystyle \ mathrm {d} y = {\ frac {1} {\ cos (\ varphi)}} \ mathrm {d} \ varphi}$

Tällä differentiaaliyhtälöllä on ratkaisu, kun kulmat ilmaistaan radiaaneina: ${\ displaystyle y = \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {\ varphi} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) \ right).}$

Kuitenkin XVI : nnen vuosisadan hammaskivi ei ole vielä syntynyt ja luonnollisen logaritmifunktiota ei ole vielä tutkittu. Sen vuoksi on erillisistä summattu että Mercator vahvistetaan paikka eri yhtäläisyyksiä vaiheen 5 °: jos leveyspiiri $φ i$ sijoitetaan kartalle etäisyyden $y i$ päiväntasaajan, rinnakkain ja $φ i + 5$ on sijoitettu kartalle etäisyydelle $y i + 5 ⁄ cos ( φ i )$ .

Hänen karttansa, joka julkaistiin vuonna 1569, epätarkkuudestaan huolimatta saavutti tietyn menestyksen. Sitten Edward Wright paransi hänen malliaan vuonna 1599 tietyissä navigointivirheissä ottamalla hienomman askeleen kuin 1 '.

Vasta logaritmien keksimisen jälkeen yhteys muodostettiin Wrightin laskelman ja logaritmitaulukoiden (Henry Bond n. 1645) välille ja että tarkka kaava vahvistettiin. Tämän osoittivat matemaattisesti James Gregory vuonna 1668 ja Edmund Halley vuonna 1696.

Ominaisuudet

Kiinnostus navigointiin

Suurin osa merikartoista käyttää Mercator-projektiota. Tämä konformaalinen projektio pitää kulmat (mikä sallii kompassilla mitattujen kulmien siirtämisen suoraan kartalle ja päinvastoin) mutta ei etäisyyksiä (kartan mittakaava vaihtelee leveyden mukaan) tai pintoja (toisin kuin projektiot. Vastaava) ). Mikä tahansa suora viiva Mercator-kartalla on vakion atsimuutin viiva , toisin sanoen loksodromi . Tämä tekee siitä erityisen hyödyllisen merimiehille , vaikka näin määritelty polku ei yleensä olisikaan suurella ympyrällä eikä siten ole lyhyin polku. Kun tämä on tarpeen matkan pituuden vuoksi (esimerkiksi San Francisco - Yokohama), ortodromia voidaan näyttää Mercator-kartalla. Päätämme seurattavan kurssin.

Epämuodostumat

Mercatorin navigointiin suunnitellun työn innoittamien perinteisten karttojen päävika on se, että ne antavat virheellisen kuvan maailman eri alueiden käyttämistä alueista ja siten kansojen välisistä suhteista. Joten:

Etelä-Amerikka näyttää pienempi kuin Grönlannin ; Itse asiassa se on kahdeksan kertaa suurempi: 17,84 miljoonaa neliökilometriä verrattuna 2,16 miljoonaan.
India (3,3 miljoonaa neliökilometriä) näkyvät samankokoisia Skandinaviassa (878258 neliökilometriä).
Europe (9,7 milj neliökilometriä) vaikuttaa suuremmalta kuin Etelä-Amerikassa , mutta lähes kaksi kertaa niin suuri (17,8 miljoonaa neliökilometriä).
Venäjä (17000000km) näyttää paljon suurempi kuin Afrikassa (30000000km) kun taas jälkimmäinen on suurempi kuin Intia, Kiina, Yhdysvallat, Eurooppa ja Japani yhdistettiin.
Alaska näkyvät yhtä iso kuin Brasilia , joka on kuitenkin 5 kertaa suurempi.
Etelämantereen näkyy suurimpana maanosa, vaikka se on oikeastaan vasta viides alueittain.
Afrikka näkyy vastaa kooltaan Grönlannissa, kun hän on 14-15 kertaa suurempi.

Näiden muodonmuutosten kompensoimiseksi Arno Peters ehdotti sylinterimäistä projektiota (kuten Mercatorissa), joka säilyttää suhteelliset alueet: Petersin projektion . Toisaalta se ei enää ole vaatimusten mukainen , toisin sanoen se ei säilytä maanosien kulmia ja siten muotoa.

Matemaattiset kaavat

Mercator-projektio on suora sylinterimäinen kartografinen projektio, ts. Mercator-kartan pisteen x- ja y- koordinaatit määritetään sen leveyspiiristä φ ja pituudesta λ (λ 0 kartan keskellä) muodon yhtälöillä

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x & = & n (\ lambda - \ lambda _ {0}) \\ y & = & f (\ varphi) \ end {matriisi}}}

Pallomalli

Jos maapalloa mallinnetaan pallo, yhtälöt ovat:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x & = & n (\ lambda - \ lambda _ {0}) \\ y & = & n \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} { 4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \ right] \ end {matrix}}}

missä pituuspiirit ja leveyspiirit ilmaistaan radiaaneina. Kun nämä ilmaistaan asteina, muunnos kertomalla $π / 180$ on välttämätön.

Esittely

Koska käytämme sylinterimäistä projektiota, x on λ: n affiinifunktio ja y riippuu vain φ: sta. Koska muunnos on konforminen, maapallon äärettömän pienen suorakulmion on oltava samanlainen kuin sen kuva kartalla. Joka antaa

{\ displaystyle \ forall \ varphi, \ lambda \: {\ frac {\ partial y} {\ partitux}} = {\ frac {R \ osittainen \ varphi} {Rcos (\ varphi) \ osittainen \ lambda}}}

Ja koska valitsemme

{\ displaystyle {\ frac {\ partituali} {\ osittainen \ lambda}} = n}

Löydämme

{\ displaystyle {\ frac {\ partituaalinen y} {\ osallinen \ varphi}} = {\ frac {n} {\ cos (\ varphi)}} = {\ frac {n} {\ sin ({\ frac {\ pi} {2}} + \ varphi)}} = n {\ frac {1} {2 \ sin ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}}) \ cos ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}})}} = n {\ frac {{\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {\ cos ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}}) ^ {2}}}} {\ tan ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}})}} = n {\ frac {\ frac {\ osal (\ tan ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} { 2}})} {\ partituali \ varphi}} {\ tan ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}})}}}

sitten integroimalla ${\ displaystyle y = n \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \ right)}$

Funktio , joka tunnetaan nimellä Mercator- funktio tai leveysasteen kasvamisen funktio , on käänteinen Gudermann-funktiosta . ${\ displaystyle f: \ varphi \ mapsto \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \ right]}$

Mallinnus ellipsoidilla

Jos otetaan huomioon se tosiasia, että maapallo on muodoltaan melko ellipsoidinen ja epäkeskeinen $e$ , on tehtävä korjaus ja yhtälöt ovat:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x & = & n (\ lambda - \ lambda _ {0}) \\ y & = & n \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} { 4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \ right] + n {\ frac {e} {2}} \ ln {\ frac {1-e \ sin \ varphi} {1 + e \ sin \ varphi}} \ end {matriisi}}}

Käytännön toteutukset

Maanpäällisessä planeetassa 0101H kartta on mittakaavassa 1: 40 000 000 ja on keskitetty 65 ° länteen. Mittakaava täsmentää siis, kun otetaan huomioon maan kehä 40 000 km , että 100 cm edustaa 2 π radiaania, joten n: n arvo on 50 / π tai noin 15,9. X 0: n arvo on 65 °. Siksi leveyspiirin 45 ° leveyssuunta tulee olemaan 15,9 × ln (ruskea (67,5 °)) cm tai noin 139 mm: n etäisyydellä päiväntasaajasta. Pieni ero on olemassa, koska olisi tarpeen ottaa huomioon elliptisen mallin korjaus.

Tarkastellaan tätä artikkelia havainnollistavaa karttaa (jonka korkeus h = 724 ja leveys w = 679 pikseleinä ). Kartta on keskitetty leveys- ja pituusasteeseen 0. Pikseli (0,0) on vasemmassa yläkulmassa.

Pituuden λ (asteina) edustavan vaakapikselin sijainnin saamiseksi riittää, että käytetään aiemmin annettua kaavaa:

${\ displaystyle x = w \ kertaa {\ frac {\ lambda +180} {360}}}$ .

Saadaksesi leveyspiirin φ pystypikselin sijainnin (radiaaneina):

${\ displaystyle y = {\ frac {h} {2}} - {\ frac {w} {2 \ pi}} \ ln \ vasen (\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ oikea) \ oikea)}$

Huomautuksia ja viitteitä

" Sivusto osoittaa, että suurin osa maailmankartoista on vääriä ", Franceinfo ,9. syyskuuta 2015( lue verkossa , tutustunut 2. elokuuta 2018 )
"On todellakin melko välinpitämätöntä, että niiden ympyröiden sijasta, jotka auttavat meitä määrittämään pallolla ilmasto, tuulen suunnat ja yleensä erottamaan maapallon eri osat ja osoittamaan niille todellisen maantieteellisen sijainnin ja tähtitieteellisesti piirrämme suorat viivat (yhdensuuntaiset viivat päiväntasaajaan nähden kohtisuorassa olevien ympyröiden sijasta, kohtisuorat viivat rinnakkaisiin nähden kohtisuorien ympyröiden sijasta), ajatus pystyy aina helposti kuljettamaan pyöreälle ja pallomaiselle pinnalle luvut ja mitat, jotka silmät näkevät kuvattuna tasaisella pinnalla. », Strabo, maantiede , L.II, luku. 5.10.
Picouet 2019 , s. 95.
Patrick Sillard, " Kartan ennusteet ja viitteet " , National School of Geographic Sciences , s. 26
Picouet 2019 , s. 96.
Deetz Ch. & Adams, O., Karttaprojektion elementit , 5. painos, 1945, s .; 35, " Tässä matemaattisessa muunnoksessa Mercator ei käyttänyt tangenttisylinteriä eikä sitä koskaan käytetä tässä projektiossa. Tämä käsitys ei syntynyt häneltä, vaan on myöhempi keksintö. "
Lue verkossa
Picouet 2019 .
Monmonier 2010 .
"Todellinen Afrikan kartta ei ole se, jota tiedät" julkaistu24. syyskuuta 2014 sivustolla SlateAfrique.
Katso Vagnon de navigation -artikkeli
Hugues Masy, Mercator, merimiehet ja matemaatikot , Belgian ranskankielisten matematiikan opettajien seura , s.6
Françoise Duquenne, Geodesia Maapallon sylinterimäiset tasokuvaukset , Ranskan topografiayhdistys , s. 45-46
Maanpäällinen planisfääri 0101H librairie maritime.com -sivustolla

Bibliografia

(fi) Joitakin matematiikkaongelmia, jotka liittyvät navigointiin
(en) Etäisyyksien (rhumb ja iso ympyrä) ja suunnan laskentaohjelmisto
Patrick Picouet, Kartta keksi maailman , Presses Universitaires du Septentrion,2019( online-esitys )
(en) Mark Monmonier, Rhumb Lines and Map Wars: Social History of the Mercator Projection , University of Chicago Press ,2010( online-esitys )
Jean Lefort, Kartografinen seikkailu , Belin ,2004( online-esitys )

Aiheeseen liittyvät artikkelit

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista " Mercator projection " ( katso kirjoittajaluettelo ) .