Hetki (todennäköisyydet)

In todennäköisyys teoria ja tilastoja , hetki tilauksen $r \in ℕ$ on todellinen satunnainen muuttuja $X$ on osoitus dispersion tämän muuttujan, kuten esimerkiksi sen keskihajonta , neliöjuuri on keskitetty hetkellä järjestyksessä 2.

Niin sanottu "tavallinen" järjestysmomentti $r \in ℕ$ määritetään, jos sellainen on olemassa:

m_ {r} \ triangleq {\ mathbb {E}} (X ^ {r})

Samoin määritellään muut ajat, joita on tutkittu tai mainittu artikkelin loppuosassa.

Hetken käsite analyysissä

Käsite hetki vuonna matematiikan , erityisesti todennäköisyyslaskenta , on peräisin käsite hetken vuonna fysiikan .

Olkoon $f : I \to ℝ olla$ jatkuva funktio tietyllä aikavälillä $I$ (ei alennettu pisteeseen) on $ℝ$ .

Luonnollisen luvun $r$ perusteella $f: n$ järjestyshetki $r$ määritetään olemassaolon mukaan seuraavasti:

m_ {r} (f) \ triangleq \ int _ {{x \ in I}} x ^ {r} \, f (x) \, {\ mathrm {d}} x

Olemassaolokriteeri

Tämän järjestyshetken $r$ katsotaan olevan olemassa ja vain, jos $x r f ( x )$ on integroitavissa , toisin sanoen jos ja vain jos $\int x \in I | x r f ( x ) | d x$ lähentyy. Siten, vaikka hetki onkin lähentyvä sopimaton integraali , tätä hetkeä pidetään silti olemattomana.

Tällä tavalla, jos hetkeä ei ole olemassa tietyssä järjestyksessä, ei myöskään ole olemassa kaikkia korkeamman asteen hetkiä. Kääntäen, jos tietty momentti on olemassa tietyssä järjestyksessä, myös kaikki alemman asteen hetket ovat olemassa.

Vektoritila

Tietyn luonnollisen kokonaisluvun $r$ kohdalla $I: n$ jatkuvien funktioiden joukko, jonka järjestysmomentti $r$ on olemassa, on todellinen vektoriavaruus , ja kartta $m$ $r$ $:$ $f$ $\mapsto$ $m$ $r$ $($ $f$ $)$ on lineaarinen muoto tällä avaruusvektorilla.

Määritelmät

Olkoon $X olla$ todellinen satunnaismuuttuja määritelty $I$ , jossa jakelu funktio $F X$ ja todennäköisyys laki $s$ .

Tavallinen hetki

Hetki (tai tavallinen hetki , tai hetki 0 ) järjestyksessä $r \in ℕ$ ja $X$ on määritelty, jos se on olemassa, mukaan:

m_ {r} \ triangleq {\ mathbb {E}} (X ^ {r})

Meillä on siis mukaan siirto lauseen :

m_ {r} = \ int _ {{x \ in I}} x ^ {r} \, {\ mathrm {d}} F_ {X} (x)

Tämä Stieltjes-integraali voidaan kirjoittaa uudestaan:

jos $X$ on erillinen : $m_ {r} = \ summa _ {{k \ I}} k ^ {r} \, p_ {k}$
jos $X$ on ehdottomasti jatkuva : $m_ {r} = \ int _ {{x \ in I}} x ^ {r} \, p (x) \, {\ mathrm {d}} x$

Mukaan toinen selviö todennäköisyyksien , sitten olisi $m 0 = 1$ .

Huomaa, että $s$ on positiivinen tai nolla $I$ ( ensimmäinen selviö todennäköisyyksien ), kriteeri olemassaolosta hetkellä järjestys $r$ on lähentyminen $Σ k \in I | k | r p k$ tai $\int x \in I | x | r p ( x ) d x$ tapauksen mukaan.

Keskitetty hetki

Keskitetty hetki tilauksen $r \in ℕ$ ja $X$ on määritelty, jos se on olemassa, mukaan:

\ mu _ {r} \ triangleq {\ mathbb {E}} ([X - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r})

Meillä on siis mukaan siirto lauseen :

\ mu _ {r} = \ int _ {{x \ in I}} [x - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r} \, {\ mathrm {d}} F_ {X} ( x)

Tämä Stieltjes-integraali voidaan kirjoittaa uudestaan:

jos $X$ on erillinen : $\ mu _ {r} = \ summa _ {{k \ I}} [k - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r} \, p_ {k}$
jos $X$ on ehdottomasti jatkuva : $\ mu _ {r} = \ int _ {{x \ in I}} [x - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r} \, p (x) \, {\ mathrm {d} } x$

Rakentamisen perusteella meillä on sitten $μ 0 = 1$ ja $μ 1 = 0$ .

$Siirtolauseen$ mukaan voimme kirjoittaa myös $μ r ( X ) = m r ( X - ? ( X ))$ .

Lyhennetty keskitetty hetki

Asettamalla $u = m 1$ ja $σ = \sqrt u 2$ , vähentää keskitetty hetki tilauksen $r \in ⟦2; + \infty⟦$ ja $X$ on määritelty, jos se on olemassa, mukaan:

\ beta _ {{r-2}} \ triangleq {\ mathbb {E}} \ vasen [\ vasen ({\ frac {X- \ mu} {\ sigma}} \ oikea) ^ {r} \ oikea]

Siksi meillä on $β r -2 = μ r ⁄ σ r$ ja rakenteeltaan $β 0 = 1$ .

Merkittäviä hetkiä

Tietyt hetket, joita käytetään yleisesti kuvaamaan todellista satunnaismuuttujaa $X$ , tunnetaan tietyllä nimellä:

toivoa , kun tilauksen ; $\ mu \ triangleq m_ {1} = {\ mathbb {E}} (X)$
varianssi , keskitetty hetki järjestys kahden: ja sen neliö root keskihajonta : ; $\ operaattorin nimi {V} (X) \ triangleq \ mu _ {2} = {\ mathbb {E}} [(X- \ mu) ^ {2}]$ $\ sigma \ triangleq {\ sqrt {\ operaattorin nimi {V} (X)}} = {\ sqrt {\ mu _ {2}}}$
epäsymmetria kerroin , vähentää keskitetty hetki järjestyksessä kolme :; $\ gamma _ {1} \ triangleq \ beta _ {1} = {\ mathbb {E}} \ vasen [\ vasen ({\ frac {X- \ mu} {\ sigma}} \ oikea) ^ {3} \ oikea]$
huipukkuus ole standardoitu, keskusmomentista vähenee neljällä järjestyksessä . $\ beta _ {2} = \ mathbb {E} \ vasen [\ vasen ({\ frac {X- \ mu} {\ sigma}} \ oikea) ^ {4} \ oikea]$

Momenttia tuottava toiminto

Generaattori toiminta hetkiä $M X$ todellinen satunnainen muuttuja $X$ on eksponentiaalinen generaattori sarja liittyvät sekvenssin $( m r ) r \in ℕ$ on hetkiä $X$ , on määritelty naapurustossa 0 ja edellyttäen, että on olemassa kaikki hetket:

M_ {X} (t) \ triangleq \ summa _ {{r = 0}} ^ {{\ infty}} m_ {r} \, {\ frac {t ^ {r}} {r!}}

Se voidaan myös kirjoittaa nollan läheisyydessä ja riippuen odotuksen olemassaolosta :

M_ {X} (t) = {\ mathbb {E}} \ vasen ({\ mathrm {e}} ^ {{tX}} \ oikea)

Johdannaiset iterated 0 Tämän eksponentiaalisen generaattorin sarjassa kannattaa:

M_ {X} ^ {{(r)}} (0) = m_ {r}

Ominaisuudet

Ulottuvuus

Joko $[ X ]$ koko todellinen satunnaismuuttujan $X$ .

Tavanomaisilla ja keskitetyillä järjestysmomenteilla $r$ , jos niitä on, on ulottuvuus $[ X ] r$ .

Esittely

Kun kirjoittaminen $\int x \in I x r d F X ( x )$ on hetkellä järjestyksessä $r$ , muuttuja $x$ on ulottuvuus $[ X ]$ . Toimenpide todennäköisyys $ℙ$ ollessa dimensioton määrä , kertymäfunktio $F X$ , on määritelty $\forall x \in I , F X ( x ) = ℙ ( X \leq x )$ , on myös dimensioton, samalla siis sen äärettömän $d F X ( x )$ . Joten $m r = \int x \in I x r d F X ( x ): llä$ on ulottuvuus $[ X r ]$ .

$? ( X ) = m 1,$ kun ulottuvuudelle $[ X ]$ on sama myös $x - ? ( X )$ , joten $μ r = \int x \in I [ x - ? ( X )] r d F X ( x )$ on myös ulottuvuus $[ X r ]$ .

Pienennetty keskitetty momentti $r$ , jos sellainen on, on dimensioton määrä .

Esittely

$μ 2,$ jolla on ulottuvuus $[ X 2 ]$ , $σ = \sqrt μ 2$ on ulottuvuudelle $[ X ]$ , joten $β r -2 = μ r ⁄ σ r$ on ulottuvuudelle $[X r ⁄ X r] = [1]$ .

Affine-muutos

Tavallisina aikoina

Tilauksen 1 tavanomainen momentti, jos sellainen on, on lineaarinen :

\ forall (\ theta, \ lambda) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, m_ {1} (\ theta \, X + \ lambda) = \ theta \, m_ {1} (X) + \ lambda

Esittely

Olkoon $Λ = { λ }$ vakiomallinen satunnaismuuttuja, joka on yhtä suuri kuin $λ$ todennäköisyydellä 1. Satunnaismuuttujan arvojen pituuden $λ$ käännös tämän satunnaismuuttujan ja $Λ$ summa : $θ X + λ ≜ θ X + Λ$ . Kun tiedämme, että $? ( Λ ) = λ$ , meillä on siis odotuksen lineaarisuuden perusteella:

m_ {1} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ mathbb {E}} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ mathbb {E}} (\ theta \, X + \ Lambda) = \ theta \, {\ mathbb {E}} (X) + {\ mathbb {E}} (\ Lambda) = \ theta \, {\ mathbb {E}} (X) + \ lambda = \ theta \, m_ {1} (X) + \ lambda

Tavallisen hetki, jotta $r > 1$ on $θ X + λ$ , jos se on olemassa, ei ilmaista ainoastaan funktiona hetkellä järjestyksessä $r$ ja $X$ :

\ forall (\ theta, \ lambda) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, m_ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = \ summa _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ theta ^ {{ri}} \, \ lambda ^ {i} \, m _ {{ri}} (X) = \ summa _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ theta ^ {i} \, \ lambda ^ {{ri}} \, m_ {i} (X)

Esittely

Kehittämällä binomi $( θ X + λ ) r$ ja odotuksen lineaarisuudella meillä on:

{\ displaystyle m_ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = \ mathbb {E} [(\ theta \, X + \ lambda) ^ {r}] = \ mathbb {E} \ vasen [\ summa _ {i = 0} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, (\ theta \, X) ^ {i} \, \ lambda ^ {ri} \ right] = \ summa _ {i = 0 } ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ theta ^ {i} \, \ lambda ^ {ri} \, \ mathbb {E} (X ^ {i}) = \ summa _ {i = 0} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ theta ^ {i} \, \ lambda ^ {ri} \, m_ {i} (X).}

Meillä on siis löytää lineaarisuus $m 1$ ja pysyvyyttä $m 0$ .

Keskitetyillä hetkillä

Jos keskellä oleva järjestysmomentti $r$ on olemassa, se on invariantti käännös ja homogeeninen astetta $r$ :

\ forall (\ theta, \ lambda) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, \ mu _ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = \ theta ^ {r} \, \ mu _ { r} (X)

Esittely 1

Kun tiedämme, että $? ( θ X + λ ) = θ ? ( X ) + λ$ (ks. $Affinimuunnos$ tavallisella järjestyshetkellä 1), meillä on:

(\ theta \, X + \ lambda) - {\ mathbb {E}} (\ theta \, X + \ lambda) = \ theta \, X + \ lambda - \ theta \, {\ mathbb {E}} ( X) - \ lambda = \ theta \, [X - {\ mathbb {E}} (X)]

Vuoteen lineaarisuus odotusarvon, siksi meidän on:

\ mu _ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ mathbb {E}} ([\ theta \, X + \ lambda - {\ mathbb {E}} (\ theta \, X + \ lambda)] ^ {r}) = {\ mathbb {E}} (\ theta ^ {r} \, [X - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r}) = \ theta ^ {r } \, {\ mathbb {E}} ([X - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r}) = \ theta ^ {r} \, \ mu _ {r} (X)

Esittely 2

Tietäen, että $μ r ( X ) = m r ( X - ? ( X ))$ , generoiva funktio keskitetyn hetkiä ja $X$ on näin ollen generoiva funktio tavallisen hetkiä ja $X - ? ( X )$ :

{\ mathcal {M}} _ {X} (t) = M _ {{X - {\ mathbb {E}} (X)}} (t) = {\ mathbb {E}} \ vasemmalle (e ^ { {t [X - {\ mathbb {E}} (X)]}} \ oikea)

Kun tiedämme, että $( θ X + λ ) - ? ( θ X + λ ) = θ [ X - ? ( X )]$ (katso todiste 1), meillä on siis:

{\ mathcal {M}} _ {{\ theta \, X + \ lambda}} (t) = {\ mathbb {E}} \ vasen (e ^ {{t [(\ theta \, X + \ lambda) - {\ mathbb {E}} (\ theta \, X + \ lambda)]}} \ oikea) = {\ mathbb {E}} \ vasen (e ^ {{\ theta t [X - {\ mathbb {E }} (X)]}} \ oikea) = {\ mathcal {M}} _ {X} (\ theta t)

Tämän yhdistefunktion iteroidulla johdannolla meillä on siis:

{\ mathcal {M}} _ {{\ theta \, X + \ lambda}} ^ {{(r)}} (t) = [{\ mathcal {M}} _ {X} (\ theta t)] ^ {{(r)}} = \ theta ^ {r} {\ mathcal {M}} _ {X} ^ {{(r)}} (\ theta t)

Siksi 0: ssa:

\ mu _ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ mathcal {M}} _ {{\ theta \, X + \ lambda}} ^ {{(r)}} (0) = \ theta ^ {r} {\ mathcal {M}} _ {X} ^ {{(r)}} (0) = \ theta ^ {r} \ mu _ {r} (X)

Vähentyneillä keskitetyillä hetkillä

Mukaan affiinimuunnosratkaisun on ei-nolla- ohjaava kerroin (niin, että $σ$ on ei-nolla), alennettu keskitetty hetki, jotta $r$ , jos se on olemassa, on yksinkertaisesti kerrotaan merkki suuntaamisen kertoimen potenssiin $r$ :

\ forall (\ theta, \ lambda) \ in \ mathbb {R} ^ {*} \! \! \ kertaa \! \ mathbb {R}, \ beta _ {{r-2}} (\ theta \, X + \ lambda) = \ operaattorin nimi {sgn} (\ theta) ^ {r} \, \ beta _ {{r-2}} (X)

Absoluuttinen arvo on alennettu keskitetty hetki on siis muuttumaton mukaan affiinimuunnoksella ei-nolla rinne.

Esittely

$Θ X + λ$ : n keskihajonta on:

\ sigma _ {{\ theta \, X + \ lambda}} = {\ sqrt {\ mu _ {2} (\ theta \, X + \ lambda)}} = {\ sqrt {\ theta ^ {2} \ mu _ {2} (X)}} = | \ theta | \ sigma _ {X}

Alennettu keskitetty hetki, jotta $r$ on $θ X + λ$ on siis syytä:

\ beta _ {{r-2}} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ frac {\ mu _ {r} (\ theta \, X + \ lambda)} {\ sigma _ {{\ theta \, X + \ lambda}} ^ {{\ r}}}} = {\ frac {\ theta ^ {r} \ mu _ {r} (X)} {(| \ theta | \ sigma _ {X} ) ^ {r}}} = \ vasen ({\ frac {\ theta} {| \ theta |}} \ oikea) ^ {r} {\ frac {\ mu _ {r} (X)} {\ sigma _ {X} ^ {r}}} = \ operaattorin nimi {sgn} (\ theta) ^ {r} \, \ beta _ {{r-2}} (X)

Erottamalla mukaan merkki $θ$ ja pariteetin $r$ , voidaan siis kirjoittaa:

\ forall (\ theta, \ lambda) \ mathbb {R} ^ {*} \! \! \ kertaa \! \ mathbb {R}, \ beta _ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ begin {cases} \ beta _ {r} (X) & {\ text {si}} \ theta> 0 {\ text {tai}} r {\ text {on jopa}} \\ - \ beta _ {r} (X) ja {\ text {si}} \ theta <0 {\ text {ja}} r {\ text {on pariton}} \ end {cases}}

Additiivisuus

Olkoon $X$ ja $Y$ kaksi todellista satunnaismuuttujaa, meillä on sitten:

$m_ {1} (X + Y) = m_ {1} (X) + m_ {1} (Y)$

Jos $X$ ja $Y$ ovat riippumattomia , meillä on myös:

$\ mu _ {2} (X + Y) = \ mu _ {2} (X) + \ mu _ {2} (Y)$
$\ mu _ {3} (X + Y) = \ mu _ {3} (X) + \ mu _ {3} (Y)$

Tämä lisäominaisuus on olemassa vain mainituilla kolmella erityisellä hetkellä. Riskimittarit tarkistetaan tätä ominaisuutta kutsutaan kumulanttimenetelmää .

Suhteet tavallisten hetkien ja keskitettyjen hetkien välillä

Hetket keskitetty tavallisten hetkien funktiona

Tilauksen $r$ keskitetty momentti , jos sellainen on, kirjoitetaan:

\ mu _ {r} = \ summa _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, m _ {{ri}} \, (- m_ {1}) ^ {i } = \ summa _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, m_ {i} \, (- m_ {1}) ^ {{ri}}

Esittely

Kehittämällä binomi $μ r$ : n ilmaisussa ja odotuksen lineaarisuudella meillä on:

\ mu _ {r} = {\ mathbb {E}} [(X-m_ {1}) ^ {r}] = {\ mathbb {E}} \ vasen [\ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, X ^ {{ri}} \, (- m_ {1}) ^ {i} \ oikea] = \ summa _ {{i = 0}} ^ {r } C_ {r} ^ {i} \, {\ mathbb {E}} (X ^ {{ri}}) \, (- m_ {1}) ^ {i} = \ summa _ {{i = 0} } ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, m _ {{ri}} \, (- m_ {1}) ^ {i}

Sitten muistellen, että $C k n = C n - k n$ , toinen kirjoitus saadaan muuttamalla muuttujaa $i \mapsto r - i$ .

Muistuttaen, että $m 0 = 1$ , ensimmäiset keskitetyt momentit ilmaistaan siksi tavallisten momenttien funktiona:

\ mu _ {2} = m_ {2} -m_ {1} ^ {2}

\ mu _ {3} = m_ {3} -3 \, m_ {2} \, m_ {1} +2 \, m_ {1} ^ {3}

\ mu _ {4} = m_ {4} -4 \, m_ {3} \, m_ {1} +6 \, m_ {2} \, m_ {1} ^ {2} -3 \, m_ {1 } ^ {4}

\ mu _ {5} = m_ {5} -5 \, m_ {4} \, m_ {1} +10 \, m_ {3} \, m_ {1} ^ {2} -10 \, m_ {2 } \, m_ {1} ^ {3} +4 \, m_ {1} ^ {5}

\ mu _ {6} = m_ {6} -6 \, m_ {5} \, m_ {1} +15 \, m_ {4} \, m_ {1} ^ {2} -20 \, m_ {3 } \, m_ {1} ^ {3} +15 \, m_ {2} \, m_ {1} ^ {4} -5 \, m_ {1} ^ {6}

Tavalliset hetket keskitettyjen hetkien funktiona

Toisaalta asettamalla $μ = ? ( X )$ , tavanomainen järjestysmomentti $r$ , jos sellainen on, kirjoitetaan:

m_ {r} = \ summa _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ mu _ {{ri}} \, \ mu ^ {i} = \ summa _ { {i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ mu _ {i} \, \ mu ^ {{ri}}

Esittely

Kehittämällä binomi $m r$ : n ilmaisussa ja odotuksen lineaarisuudella meillä on:

m_ {r} = {\ mathbb {E}} (X ^ {r}) = {\ mathbb {E}} [(X- \ mu + \ mu) ^ {r}] = {\ mathbb {E}} \ vasen [\ summa _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, (X- \ mu) ^ {{ri}} \, \ mu ^ {i} \ oikea] = \ summa _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, {\ mathbb {E}} [(X- \ mu) ^ {{ri}}] \, \ mu ^ {i} = \ summa _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ mu _ {{ri}} \, \ mu ^ {i}

Sitten muistellen, että $C k n = C n - k n$ , toinen kirjoitus saadaan muuttamalla muuttujaa $i \mapsto r - i$ .

Palauttamalla mieleen, että $μ 0 = 1$ ja $μ 1 = 0$ , ensimmäiset tavalliset momentit ilmaistaan siksi keskitettyjen momenttien ja $μ$ : n funktiona :

m_ {2} = \ mu _ {2} + \ mu ^ {2}

m_ {3} = \ mu _ {3} +3 \, \ mu _ {2} \, \ mu + \ mu ^ {3}

m_ {4} = \ mu _ {4} +4 \, \ mu _ {3} \, \ mu +6 \, \ mu _ {2} \, \ mu ^ {2} + \ mu ^ {4}

m_ {5} = \ mu _ {5} +5 \, \ mu _ {4} \, \ mu +10 \, \ mu _ {3} \, \ mu ^ {2} +10 \, \ mu _ {2} \, \ mu ^ {3} + \ mu ^ {5}

m_ {6} = \ mu _ {6} +6 \, \ mu _ {5} \, \ mu +15 \, \ mu _ {4} \, \ mu ^ {2} +20 \, \ mu _ {3} \, \ mu ^ {3} +15 \, \ mu _ {2} \, \ mu ^ {4} + \ mu ^ {6}

Tavallisten hetkien puolueeton arvioija

Vuodesta näyte ${ X 1 , X 2 , ..., X n }$ todellinen satunnaismuuttujan $X$ voidaan käyttää estimaattori ilman käyttämällä tavallista hetki, jotta $r$ , jos se on olemassa, seuraavat estimaattori:

{\ hat {m_ {r}}} = {\ frac {1} {n}} \ summa _ {{i = 1}} ^ {{n}} X_ {i} ^ {{\ r}}

Hetkellinen ongelma

Kun momenttien laskeminen koostuu tietyn todennäköisyyslain $p$ momenttien $m r$ määrittämisestä, momenttien ongelma päinvastoin tutkitaan todennäköisyyslain $p,$ jonka momentit $m$ $r$ annetaan, olemassaoloa ja ainutlaatuisuutta .

Hetken käsitteen laajentaminen

$Momenttien ? ( X r )$ mallilla voidaan määrittää muut momentit:

käänteinen piste 0 järjestyksessä $r$ on $I ∌ 0$ : ; ${\ mathbb {E}} (X ^ {{- r}})$
logaritminen hetki järjestyksen $r$ on $I \subset ℝ * +$ : ; $\ mathbb {E} \ vasen [\ ln ^ r (X) \ oikea]$
kertoma hetki tilauksen $r$ : ( laskeva kertoma ). $\ mathbb {E} \ vasen [(X) _r \ oikea]$

Huomautuksia ja viitteitä

Tämä tapaus tapahtuu esimerkiksi parittomat järjestyksessä hetket vielä funktio määritelty $ℝ$ : vaikka $\int x \inℝ | x r f ( x ) | d x$ poikkeaa, funktiolla $x \mapsto x r f ( x )$ on pariton, joten sillä on parillinen primitiivi, joten $\forall t \in ℝ, \int t - t x r f ( x ) d x = 0$ , joten $\int x \inℝ x r f ( x ) d x$ onyhtenevä epäasianmukainen integraali, joka on yhtä suuri kuin 0.
historiallisista syistä ja kanssa merkintätapaa vähentää kumulanttimenetelmää , epäsymmetria kerroin on huomattava $γ 1$ pikemmin kuin $β 1$ .
Muodollisesti tietäen, että $μ 1 = 0$ , voimme lisätä degeneroituneen tapauksen $μ 1 ( X + Y ) = μ 1 ( X ) + μ 1 ( Y )$ , mutta tämä ei tarjoa mitään hyödyllistä tietoa $X$ : n tutkimiseen $+$ $Y$ .