Matemaattinen morfologia on teoria ja tekninen matemaattinen ja tietokoneen rakenteellinen analyysi, joka on yhteydessä algebran , teoria ristikko , The rakenteeseen ja todennäköisyyksiä .
Matemaattisen morfologian kehittäminen on innoittamana kuvankäsittelyongelmista , kenttä, joka muodostaa sen pääasiallisen käyttöalueen. Se tarjoaa erityisesti työkalut kuvien suodattamiseen, segmentointiin , kvantifiointiin ja mallintamiseen. Sitä voidaan käyttää myös signaalinkäsittelyssä , esimerkiksi suodattamaan mittauksen vaihtelut (fyysinen, biologinen) ajan mittaan.
Yksi matemaattisen morfologian perusajatuksista on tutkia tai käsitellä joukkoa käyttämällä toista joukkoa, jota kutsutaan strukturointielementiksi ja joka toimii koettimena. Kussakin strukturointielementin kohdassa näemme, koskettako se vai sisältyykö se alkusarjaan. Rakennamme tulosjoukon vastauksesta riippuen. Saamme siten peruskäyttäjät, jotka ovat suhteellisen intuitiivisia.
Morfologisissa operaattoreissa usein esiintyviä ominaisuuksia ovat:
Tämä tarkoittaa erityisesti tietojen menetystä; oikein käytettynä nämä operaattorit mahdollistavat sellaisten rakenteiden poistamisen, jotka eivät täytä tiettyjä ehtoja, kuten leveys tai tilavuus.
Matemaattista morfologiaa kiinnostaa myös joukot ja satunnaisfunktiot.
Matemaattisen morfologian pääasiallinen käyttöalue on kuvankäsittely. Se tarjoaa erityisesti suodatus-, segmentointi- ja kvantifiointityökalut. Siitä lähtien, kun se ilmestyi vuonna 1964, se on kasvanut menestyksekkäästi ja auttaa nyt täyttämään minkä tahansa kuvapalveluiden työkalupakin.
Matemaattisen morfologian keksivät Georges Matheron ja Jean Serra vuonna 1964 Ecole des Mines de Paris -laboratorioissa . Teolliset sovellukset ovat aina motivoineet sen kehitystä. Aluksi kysymys oli kaivostoiminnan ongelmien ratkaisemisesta, mutta sen soveltamisalat monipuolistuivat nopeasti: biologia, lääketieteellinen kuvantaminen, materiaalitieteet, teollinen visio, multimedia, kaukokartoitus ja geofysiikka ovat esimerkkejä aloista, joilla matemaattinen morfologia on antanut merkittävän panoksen.
Matemaattinen morfologia on edelleen aktiivinen tutkimusalue. Tämän todistavat lukuisat aiheesta julkaistut tieteelliset julkaisut sekä kahden tai kolmen vuoden välein järjestettävät matemaattista morfologiaa käsittelevät kansainväliset symposiumit.
Joitakin esimerkkejä ajankohtaisista tutkimusaiheista:
Matemaattinen morfologia voidaan kehittää abstraktia puitteissa lattice theory . Tässä on kuitenkin käytännönläheisempi esitys, joka on suunnattu kuvankäsittelytyökalujen potentiaaliselle käyttäjälle eikä matemaatikolle.
Tarkastellaanpa sitä , jota käytetään usein mallina kaksiulotteisten binaarikuvien tukemiseksi, vaikka kaikki tässä osiossa esitetyt pysyvät voimassa , missä on ehdottomasti positiivinen kokonaisluku. Antaa olla osajoukko , jota kutsutaan strukturointielementiksi . Jos on elementti , niin merkitään käännetty joukko :
Rakenteellisella elementillä on tavallaan paikallisen mallin tai koettimen rooli. Sitä kuljetetaan kaikkialla käsiteltävässä kuvassa, ja kussakin asennossa tutkitaan sen suhdetta binäärikuvaan, jota pidetään joukona. Nämä suhteet voivat olla esimerkiksi tyyppiä "sisältyy sarjaan" tai "vaikuttaa joukkoon".
Vuonna neliö laatoitus , eniten perinteisesti käytetyt jäsentää elementit ovat ristin, joka koostuu alkuperästä ja neljästä lähimmästä pistettä, ja neliö, joka koostuu alkuperästä ja kahdeksan lähimmän pistettä. Nämä kaksi strukturointielementtiä vastaavat vastaavasti kahta mahdollista määritelmää pikselin naapuruudesta tai kuvan liitettävyystyypistä. On kuusikulmainen laatoitus , peruselementti on keskitetty kuusikulmio.
Esittelemme myös sarjan symmetrisen, huomatun :
Jos se on symmetrinen, meillä on .
Laajentuminen ja eroosiotAntaa olla osajoukko . Morfologinen laajentuminen rakenneosalla määritellään Minkowskin summana :
Toinen intuitiivisempi muotoilu on:
Morfologinen laajentuminen ei yleensä ole palautuva. Operaatio, jolla tavallaan yritetään tuottaa käänteinen laajentuminen, on morfologinen eroosiota :
Laajentuminen ja eroosiot ovat matemaattisen morfologian perusoperaattoreita. Lähes kaikki muut voidaan määritellä näitä käyttämällä funktiokoostumuksia ja asetettuja operaatioita.
Alkuperäinen kuva (mustana: esine; valkoisena: tausta).
Laajennus 3x3-neliöllä: mustat ja harmaat pikselit ovat osa tuloksena olevaa joukkoa.
Eroosio 3x3-neliön verran: vain mustat pikselit ovat osa tuloksena olevaa joukkoa.
Dilaatio on laaja muunnos, jos B sisältää alkuperän: Eroosio on laajamittaista, jos B sisältää alkuperän: Laajentuminen ja eroosiot lisäävät muunnoksia (kuten liitos ja leikkaus): Laajentuminen ja eroosiot eivät ole idempotentteja muutoksia: Toisaalta dilataatio ja eroosio varmistavat iteratiivisuuden ominaisuuden , joka mahdollistaa dilaatioiden tai eroosioiden rakentamisen homoteettisilla rakenneelementeillä: Dilataatio on jatkuva muutos ja eroosio on ylempi puoli-jatkuva käsittely . Tämä ominaisuus seuraa suoraan Minkowskin vähennyslaskelman risteyksen ominaisuudesta.
Dilataatio on jakelu suhteessa unionin ja eroosion suhteen risteys : Antaa olla perheen homoteettisia jäsentäviä elementtejä ja homothety suhde . Laajentumisen ja eroosion yhteensopivuus laajentumisen kanssa on kirjoitettu:
Laajentuminen, kuten liitto, säilyttää yhteyden . Laajentuminen ei ole homotooppia säilyttävä muutos . Itse asiassa se yhdistää irtoavat elementit ja täyttää reiät. Eroosio ei ole homotooppia säilyttävä muutos . Tämä johtuu siitä, että se erottaa liittyvät osat ja poistaa elementit, kun ne ovat pieniä. Eroosio, kuten risteys, ei säilytä yhteyttä .
Avaaminen ja sulkeminenMorfologisen laajenemisen ja eroosion aiheuttama koostumus saman rakenteelementin kautta ei yleensä tuota identiteettiä, vaan kaksi muuta morfologista operaattoria, morfologisen aukon: ja morfologinen sulkeminen: Aukko voidaan luonnehtia geometrisesti: se antaa kaikkien mukana olevien osien liiton . Siten strukturointielementin muoto mahdollistaa sen rakenteen valinnan.
Sulkeminen on aukon kaksoisosuus: Joukon täydennyksen sulkeutuminen on yhtä suuri kuin tämän sarjan avaamisen täydennys.
On huomattava, että jos rakenteellinen elementti ei ole symmetrinen, on käytettävä symmetristä elementtiä toiselle käyttäjälle (dilataatio avautumisen yhteydessä ja eroosio sulkeutumisen yhteydessä).
Avaus- ja sulkemisominaisuudetAlkuperäinen kuva
Sulkeminen neliöllä 3 × 3: mustat ja harmaat pikselit ovat osa tuloksena olevaa joukkoa
Avaaminen neliöllä 3 × 3: vain mustat pikselit ovat osa tuloksena olevaa joukkoa
Voimme myös ottaa kaksi strukturointielementtiä ja määritellä muunnokset. Jos kysymme jokaisessa pisteessä on olla ulkona asettaa ja sisällä saamme kaikki tai ei mitään muutosta ( sattumanvarainen muunnos Englanti): missä osoittaa sarjan täydennyksen . Tämän muunnoksen avulla voidaan havaita tietyt tarkat pikselien kokoonpanot. Käytetyimpien kokoonpanojen joukossa meillä on:
Lisäämällä muunnoksen tulos alkuperäiseen joukkoon saadaan paksunnos : poistamalla alkusarjan tulos saadaan ohennus :
Sovellukset: luuranko, skiz, kupera kirjekuoriHarmaasävykuva voidaan mallintaa in- funktiona . Antaa olla tähän ryhmään kuuluva funktio. Sitten meillä on:
Toimintojen avaaminen ja sulkeminen saadaan kuten asetetussa tapauksessa:
Morfologinen avaaminen ja sulkeminen ovat jo mielenkiintoisia työkaluja kuvien suodattamiseen. Ne voivat kuitenkin muokata objektien ääriviivoja, ominaisuuksia, jotka eivät ehkä ole toivottavia. Operaattorit rekonstruoimalla ja yleisemmin myöhemmin käyttöön otetulla tasoituksella mahdollistavat tämän haitan poistamisen.
Paksuuntuminen ja oheneminen eivät yleensä lisää operaattoreita. Siksi niiden soveltaminen toimintoihin (käytännössä harmaasävykuviin) ei ole triviaalia. Kirjallisuudessa on ehdotettu useita laajennuksia.
Reunan tunnistus on tärkeä tehtävä kuvankäsittelyssä. Matemaattinen morfologia tarjoaa epälineaarisia reunan tunnistustyökaluja, kuten morfologinen gradientti ja Laplacian.
Morfologiset gradientti , jota kutsutaan myös Beucher kaltevuus nimen jälkeen sen keksijä, määritellään seuraavasti:
Se vastaa tavallaan euklidisen gradienttimoduulin morfologista versiota .
Morfologinen Laplace on rakennettu samalla tavalla:
missä on identiteettioperaattori.
Kaikki edellisissä osioissa määritellyt operaattorit on määritelty euklidisissa puitteissa, nimittäin, että kuvan määritystila toimii viitteenä operaattoreille. Tässä osiossa otamme jälleen kaksi perustavanlaatuista toimijat, jotka ovat eroosio ja laajentumista, mutta pysyen samalla aliavaruus on nimetty tilaa vertailukohta . Euklidinen muunnokset tulee näin geodeettisen muunnokset (kutsutaan myös ehdollinen muunnokset).
Geodeesia on tiede maan muodon ja mittojen mittaamisesta. Siten geodeettinen etäisyys vastaa lyhintä tietä kulkemaan pisteestä toiseen samalla kun se pysyy maapallon pinnalla. Tämän polun pituus, toisin kuin euklidinen etäisyys, ei vastaa suoraa segmenttiä, vaan geodeettisen kaaren pituutta . Geodeettisen valokaaren määritelmä merkitsee käsitystä kaaren yhdistämisestä . Topologinen tilaa sanotaan olevan kytketty kaarilla , jos mikä tahansa pari olevia on yhdistetty polku, jonka tuki löytyy .
Geodeettinen etäisyys käyttää samoja aksiomeja kuin euklidinen etäisyys, vain polku on erilainen.
Tai neljä pistettä .
Kuvan vasemmalla puolella on esitetty oikeat segmentit, jotka liittyvät eri euklidisiin etäisyyksiin. Oikealla puolella näkyvät kolme geodeettista kaarta, jotka yhdistyvät ja näkyvät . Huomaa, että pisteellä ei ole geodeettista polkua, koska se kuuluu komponenttiin, joka on erillään siitä, joka sisältää muut kolme pistettä.
Geodeettinen etäisyys tyydyttää etäisyyden aksioomat. Meillä on itse asiassa:
Näihin aksiomeihin on lisättävä neljäs. Kun geodeettista polkua ei ole, meillä on:Samoille pisteille on mahdollista verrata geodeettisia etäisyyksiä suhteessa euklidisiin etäisyyksiin. Meillä on aina geodeettinen etäisyys, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin euklidinen etäisyys, ja mahdollisuus saada äärellinen euklidinen etäisyys ja ääretön geodeettinen etäisyys:Huomautetaan ohimennen, että kahden pisteen yhdistämiseksi voi olla useita vastaavia geodeettisia kaaria, kun taas euklidinen polku on ainutlaatuinen.
Geodeettinen rakenteelementtiIn isotrooppisen rakenteen elementin keskellä ja koon on suljettu levy , joka määritellään:Geodeettinen levy määritellään suhteessa vertailujoukkoon korvaamalla euklidinen etäisyys geodeettisella etäisyydellä . Sitten meillä on:
Vastakkaisessa kuvassa on esitetty ero euklidisen rakenneelementin ja geodeettisen rakenneelementin välillä. Tässä kuvassa levy on sijoitettu eri paikkoihin . Euklidinen levy pysyy samana x-sijainnista riippumatta. Toisaalta geodeettinen levy muuttaa muotoaan tai voi kadota sijainnistaan riippuen. Alkuperäiseltä levyltä vain se, mikä on jäljellä geodeettisen etäisyyden tarkistamiseksi. Siten levyn ne kohdat, jotka eivät ole yhteisiä, jätetään huomiotta (sijainnit ). Jos levyn keskusta ei kuulu , geodeettista levyä ei ole ( ).
Muunnettavan joukon lisäksi, jota kutsutaan (merkkiaineeksi), on otettava käyttöön geodeettinen vertailusarja .
Geodeettinen laajennusAloitamme laajentumisen euklidisesta määritelmästä korvaamalla euklidinen pallo geodeettisella pallolla. Voimme sitten kirjoittaa: Sitten toistetaan tämä perusoperaatioajat : Seuraavat kuvat kuvaavat kuusikulmion aiheuttaman geodeettisen laajennuksen vaikutusta. Sarjan liitetty komponentti voidaan laajentaa vain, jos se leikkaa , muuten se katoaa. Laajentuminen pysähtyy, kun rajojen saavutetaan.
Referenssisarja X (keltainen ja punainen) ja merkki M (punainen ja sininen)
Geodeettinen laajennus (kuusikulmion koko 15) M: stä X: ään
Geodeettinen laajennus (kuusikulmion koko 40) M: stä X: ään
Koko käyttäytyy kuin naamio , jossa voi muokata, ja käyttäytyy kuin merkki, joka sallii tunkeutua liitettyyn komponenttiin .
Geodeettinen eroosiotaSamalla tavalla otamme käyttöön geodeettisen eroosion korvaamalla euklidisen pallon geodeettisella pallolla eroosion määrittävässä lausekkeessa. Siksi voimme kirjoittaa:Koska käytetty strukturointielementti on symmetrinen, eroosiota ja geodeettista laajenemista on kaksijakoisuus. Tämä kaksinaisuus ilmaistaan hieman eri tavalla kuin Eukleideen tapauksessa, koska se on täydentävä suhteessa tähän . Tämä kaksinaisuussuhde kirjoitetaan sitten symmetrisen eron operaattorilla :Luvut havainnollistavat geodeettisen eroosion vaikutusta kokoonpanoon verrattuna kuusikulmaiseen rakenneelementtiin.
Referenssisarja X (keltainen ja punainen) ja merkki M (punainen)
Geodeettinen eroosio (kuusikulmion koko 15) välillä M - X
Huomaa, että osat , jotka ovat kokonaan sisällytettyinä ja joilla ei ole yhteisiä rajoja, heikentyvät kuten Eukleideksen tapauksessa. Kun on yhteisiä rajoja, eroosiot eivät vaikuta niihin.
Rekonstruktio yhden sarjan toisesta on yksi tärkeimmistä sovelluksista geodeettisia laajentamiseen. Aloitamme siis kahdesta joukosta; ensimmäistä kutsutaan merkittyjen markkereiden joukoksi , toinen on vertailuryhmä tai peite . Määritelmän mukaan rekonstruktio on ääretön geodeettinen laajennus markkereiden suhteen . Se on kirjoitettu: Kun kaikki liitetyt komponentit, jotka sisältävät markkereita, tunkeutuvat, kuvaa ei voi enää muokata. Tämä on testi menettelyn lopettamiseksi . Seuraavat kuvat esittävät merkkien rekonstruointia .
Referenssisarja X (keltainen ja punainen) ja merkki M (punainen)
X: n rekonstruointi M-markkereista
Rekonstruktio vastaa siis markkereiden algebrallista sulkemista .
Kokoonpanojen jälleenrakennussovelluksetMainitsemme vain tärkeimmät.
Eroosion jälleenrakennusIn eroosio-rekonstruktio , markkerit on euklidinen heikentää ja ja euklidisen laajeneminen korvataan geodeettisen laajentuma merkkiaineiden suhteen koko . Se on kirjoitettu:Tämä eroosiorekonstruktio on havainnollistettu seuraavilla kuvilla ja sitä verrataan geodeettiseen aukkoon samalla strukturointielementillä.
Aseta X1 (keltainen ja punainen) ja kuusikulmainen eroosiokoko 11 (M1 = punainen)
X1: n rekonstruointi M1: stä
X1: n geodeettinen aukko (punainen: kuusikulmio koko 11)
Joissakin analyyttisissä sovelluksissa on välttämätöntä eliminoida kytketyt komponentit, jotka leikkaavat näkökentän reunan . Tätä varten ne on eristettävä rekonstruoimalla ne merkinnästä, joka koostuu kentän reunan kaikista pikseleistä , jotka on merkitty ja vähennetty . Menettely on näin ollen seuraava:Sarja sisältää vain kytkettyjä komponentteja, jotka sisältyvät kokonaan . Tätä havainnollistavat seuraavat kuviot.
Aseta X2 (keltainen) ja kentän reuna dZ (punainen)
X2: n siihen liittyvät komponentit rekonstruoidut, leikkaavat kentän reunan (punainen)
Liittyvät X2-komponentit sisältyvät täysin Z-kenttään
Jälleenrakennusta käytetään toiminnossa, jota käytetään usein kuvankäsittelyssä: reikien kiinnittäminen . Kuten edellisessä sovelluksessa, merkki on . Algoritmi on seuraava:Seuraavat kuvat kuvaavat toimintojen järjestystä.
Aseta X3 (keltainen) ja kentän reuna dZ (punainen)
Täydentää joukkoa X3 (keltainen) ja kentän reunaa dZ (punainen)
X3: n komplementin rekonstruointi dZ: stä
X3-reikien sulkeminen
Tarkastellaan seuraavassa kuvassa esitettyä sarjaa . Lopullinen murentaa näkyvät aikana peräkkäin eroosioiden jonka kupera rakenteen elementti . Ne muodostuvat yhdistettyjen komponenttien liittymisestä, jotka häviävät välittömästi suuremman kokoisen eroosion aikana.
Antaa olla alkeellinen digitaalinen eroosiota, ja sen iteroida järjestyksessä i. Lopullinen eroosio, joka on johdettu ja joka on havaittu, määritellään sitten aukkojen väliseksi ja jäännökseksi rekonstruoimalla edellisen eroosion kutakin eroosiaa:Lopulliset eroosiot vastaavat kaikkien näiden rekonstruointien yhdistymistä vaihtelemalla 1: stä imaxiin, kun eroosiosta ei ole jäljellä mitään.
Nämä lopulliset eroosiot voidaan saada myös etäisyysfunktion maksimista käyttämällä geodeettista menetelmää alla esitetyille toiminnoille. Pysyessään asetetulla alueella lopulliset eroosiot merkitsevät esineiden kuperia osia ja niitä voidaan käyttää kuperien hiukkasten aggregaattien segmentointiin.
Asetetun tapauksen kohdalla meillä on vertailutoiminto ja funktio, joka muutetaan . Kaksi perusoperaattoria ovat edelleen geodeettinen laajeneminen ja geodeettinen eroosio.
Geodeettinen laajennus toiminnoilleAlaryhmän alkeellinen geodeettinen laajeneminen ilmaistaan samalla tavalla kuin sarjoille.
Funktioiden tapauksessa nämä elementit ovat isotrooppisia litteitä ja kuperia elementtejä . Meillä on itse asiassa:Kaiken kokoiselle geodeettiselle laajennukselle meillä on myös:
Tulkinta funktiossa f (x), joka on määritelty ryhmässä R1-RHarmaasävykuvat ovat funktiossa määriteltyjä toimintoja . Operaattorien näkemyksen helpottamiseksi käytämme funktiota, joka on määritelty kohdassa . Tai myös samassa tilassa määritelty toiminto . Esimerkiksi ainoa mahdollisuus on "tasainen rakenneelementti", joka koostuu keskitetyn pituisesta "suorasta segmentistä" .
Seuraavat kuvat esittävät koon geodeettisen laajenemisen tapausta .
Toiminto f (x) (keltainen ja punainen) ja merkinnät m1 (x) (punainen)
Merkkien m1 (x) (punainen) koon 20 laajennus toiminnon f (x) (keltainen ja punainen) alla
Huomaa, että laajentuneet merkit pysyvät aina toiminnon alla . Jossa on tasainen sen tosiseikan , osat, jotka ovat edelleen pääsyä laajentumiseen. Ne ovat kuperia osia, mukaan lukien maksimit .
Huomaa, että merkitsimet valitaan yleensä siten, että meillä on:
Geodeettinen eroosiota toiminnoilleMääritelmän mukaan alkeisgeodeettinen eroosiota antaa:Mitä tulee geodeettiseen laajentumiseen, meillä on iterointi:Funktioiden geodeettinen eroosio johtuu myös funktioiden geodeettisesta laajenemisesta kaksinaisuudella. Kutsutaan "kuvan tukemaksi enimmäisharmaaksi tasoksi". Meillä on sitten:
Tätä ilmaisua käytetään myös minkä tahansa geodeettisen eroosion rakentamiseen.
Tulkinta R1-R: ssä määritellylle toiminnolleLuvut kuvaavat funktion geodeettisen eroosion käyttäytymistä .
Toiminto f (x) (keltainen) ja m2 (x) -merkinnät (keltainen ja punainen)
Koko 15 (m2) (keltainen ja punainen) -merkkien eroosio toiminnossa f (x) (keltainen)
Huomaa, että heikentynyt toiminto pitää jäännökset funktion koverissa osissa . Tämä tulos on symmetrinen geodeettisella laajennuksella saatuun tulokseen.
Toimintojen jälleenrakentaminenKuten teimme joukkoille, on mahdollista rekonstruoida funktiot geodeettisesti toisen funktion suhteen. Kaksi tapausta on otettava huomioon.
Ensimmäinen kuva havainnollistaa tuloksen, joka on saatu funktion alla tapahtuvan rekonstruoinnin yhteydessä , ja toinen kuvio, joka on funktion rekonstruktio .
Merkkien m1 (x) (punainen) rekonstruointi toiminnon f (x) (keltainen ja punainen) alla
Toiminnon f (x) (keltainen) m2 (x) (keltainen ja punainen) -merkkien rekonstruointi
Kuvan alueelliset maksimit ovat kuvan pisteet, joista on vain laskevia polkuja. Joko kuva. Tästä kuvasta rakennamme kuvan merkkeistä vähentämällä harmaa taso . meillä on siis:Sitten teemme rekonstruktio alla ja ero , saadaan alueellista maksimit . Joten meillä on:
Toiminnon vähimmäismääräFunktion alueellisten minimien etsinnässä käytetään samaa periaatetta. Ensin muodostamme merkkien kuvan:Sitten teemme rekonstruktio päälle ja ero , saadaan alueellista minimien . Joten meillä on:
Laajennetut maksimit ja minimitFunktion maksimien ja minimien löytäminen antaa erittäin hyviä tuloksia, jos kuva ei ole meluisa. Melun läsnä ollessa laajennettujen maksimien ja minimien käsite , jota kutsutaan myös Hmaxiksi ja Hminiksi , mahdollistaa kuvasta vain merkittävän ääripään poimimisen. Algoritmi on samanlainen kuin maksimien ja minimien. Vain merkkien rakenne on hieman erilainen. Itse asiassa sen sijaan, että kuva käännettäisiin yhdellä harmaatasolla (vähemmän tai enemmän), suoritetaan h: n kääntäminen enemmän tai vähemmän harmaatasoja. Hmax ja H min sitten kirjoitetaan seuraavasti.
Seuraavat kuvat havainnollistavat Hmax: n rakennetta funktion tapauksessa .
Toiminto f (x) (keltainen ja punainen) ja merkinnät m (-h) (punainen)
Funktio (fx) (keltainen ja punainen) ja f (x) (punainen) Hmax
Esimerkiksi tulos näkyy meluisasta harmaatason laatoituksesta. Tämän päällysteen alueelliset maksimit eivät ole käyttökelpoisia melun vuoksi. Toisaalta Hmax antaa mahdollisuuden visualisoida kunkin lohkon levyt.
Kuva (harmaasävyinä) meluisasta laatoituksesta
Meluisa päällystys
Meluisan päällysteen Hmax (h = 30)
Hmax: n morfologinen suodatus koon 1 aukolla, jota seuraa koon 10 sulkeminen.
Merkittävien maksimien etsintää voidaan parantaa suodattamalla tuloksena oleva binäärikuva, kuten seuraavassa kuvassa on esitetty. "Hmin" saadaan ja käsitellään samalla tavalla.
Harmaasävykuvan segmentointi koostuu osion tuottamisesta kuva-alustasta siten, että osion alueet vastaavat kuvassa olevia esineitä.
Morfologiset suodattimet ovat arvokas apu segmentointiprosessissa. Erityisesti vaaitus mahdollistaa kuvien suodattamisen säilyttäen tärkeät muodot, mikä yksinkertaistaa varsinaista segmentointitoimintaa. Joissakin tapauksissa raskas suodatus voi itsessään tuottaa asiaankuuluvan pistemäärän. Mutta tunnetuin morfologinen työkalu kuvan segmentoinnissa on valuma-alue .
On olemassa useita algoritmeja segmentointiin vedenjakajan mukaan. Perusajatuksena on simuloida kuvan tulva, jota pidetään topografisena reliefinä, jossa harmaa taso vastaa korkeutta. Tällöin osion alueiden väliset rajat asetetaan yleensä harjanteen viivoille. Tyypillisesti sovellamme tätä operaattoria kuvan gradienttiin (euklidinen gradienttinormi tai morfologinen gradientti), jota pyrimme segmentoimaan, ja näin ollen reunat sijoitetaan etuoikeutetusti korkean kaltevuuden viivoille.
Useilla jakolaskenta-algoritmeilla on lineaarinen monimutkaisuus kuvan pikselimäärästä riippuen, mikä sijoittaa ne nopeimpiin segmentointimenetelmiin.
Alun perin matemaattinen morfologia on suunniteltu käsittelemään ja analysoimaan biologisten materiaalien kuvia tai kuvia, jotta saadaan tietoa parametreina tai funktioina ilmaistusta tiedosta . Tässä rajoitutaan avaruudessa määriteltyihin 2D-kuviin ja alatiloihin. Tässä tapauksessa tilaa edustaa pisteiden ruudukko. Kaksi tapausta otetaan huomioon: neliöverkko ( neliön päällyste ) ja kolmion muotoinen ristikko ( kuusikulmainen päällyste ). Parametrien osalta tiedämme, että ne voidaan saada Euler-Poincaré -ominaisuudesta tai eri tilojen liitettävyysmääristä , jotka on merkitty tilalle .
Sarjan X neliöpäällyste
Aseta X ja naapurustokokoonpano N1: n saamiseksi (neliön laatoitus)
Aseta X- ja naapurustokokoonpanot N2: n saamiseksi (neliön muotoinen laatoitus)
Tämä tila vastaa pikseleihin liittyvää pisteiden verkkoa.Binaarikuvassa se on yhtä suuri kuin pikselien määrä 1: ssä.
Tila R 1 : N 1 ( X )Rivit, joita voidaan käyttää, vastaavat kohdistettuja pikseleitä. Näiden leikkauslinjojen segmenttien päät vastaavat (ulostulossa) tyypin 1 0 pikselisiirtymiä. Liittyvä binaarinen kuva saadaan muunnoksella kaikki tai ei mitään. Käytännön näkökulmasta tämä tarkoittaa naapuruuskokoonpanon tarkistamista jokaiselle pikselille . Konfiguraation elementit 1 liittyvät kokonaisuuteen ja 0 komponentit täydentävään elementtiin . Siksi meillä on:Ryhmälle: Mittausta varten:
Eri päällysteiden rakenneosat ovat:
(Muut 60 ° ja 120 ° suunnat saadaan kääntämällä kokoonpanoa.)
(Muut suunnat 45 °, 90 °, 135 ° saadaan kääntämällä kokoonpanoa.)
Tila R 2 : N 2 ( X )Muistutus, joka vastaa liitettyjen komponenttien lukumäärää miinus niiden sisältämien reikien määrä .
Tämän luvun määrittämiseksi kolmion muotoisella laatoituksella käytämme Euler-suhdetta : Kuusikulmaisessa tessellaatiossa s, joka edustaa kärkipisteiden lukumäärää (pikselit 1: ssä), c tyypin 1-1 sivujen lukumäärä (enintään yksi kierto) ja f kolmioiden lukumäärä, joilla on 3 kärkipistettä 1: ssä. yhdistelmät antaa seuraavan tuloksen:Sarjoille: ja Mittausta varten:
Eri päällysteiden rakenneosat ovat:
ja .
ja .
Yhteysnumeroiden osalta metristen perusparametrien on vahvistettava Hugo Hadwigerin olosuhteet . Joukko on oltava paikallaan satunnainen sarja, joka koostuu rajallinen liiton pullistumaa. Mitalla on oltava seuraavat ominaisuudet:
Metriikka parametri on kokonaispituus joukon huomattava . Se lasketaan ja koko pikselin . Meillä on itse asiassa:
Jaksossa 2Nämä metriset parametrit ovat:
Se lasketaan pikselin pinta-alasta . Meillä on itse asiassa:
Tämän kehän saamiseksi käytämme Cauchy-suhdetta ( integroitu geometria ), joka yhdistää joukon halkaisijan vaihtelun sen kehään:jossa pikselikoko. On huomattava, että tämän kehän arvioinnilla on tilastollinen näkökohta. Liitettävyyden määrä on arvioitava useaan suuntaan.
Kuva Cauchyn suhteesta
Kuva Croftonin suhteesta
Kuva Meunierin suhteesta
Kiinteä geometria tarjoaa pääsyn myös asetuksia käyttäen numeroita välisen yhteyden alemman alueilla.
Tieteellisiin tutkimuksiin tarkoitetut kuvat saadaan usein mikroskoopista, jonka kenttä on pienempi kuin analysoitava kokoonpano. Tässä tapauksessa sanotaan, että analyysi on paikallinen verrattuna globaaliin analyysiin, jossa kokonaisuus on täysin näkyvissä.
Parametria edellä on määritelty, on muutettava paikallisten parametrien alennetaan yksikön tilaa.
Avaruuden R 0 paikalliset parametritStereologiset parametrit ovat keskimääräisiä parametreja. Lisäksi niitä ei ole paljon. On helppo nähdä, että ne eivät riitä kuvaamaan rakennetta melko täydellisesti. Jos hyväksymme stereologisen aspektin menettämisen, matemaattinen morfologia antaa mahdollisuuden saada paljon kvantitatiivista lisätietoa. Tämä kvantifiointi riippuu usein kuvanmuunnoksiin liittyvästä kokoparametrista . Kvantifiointi johtaa lajitteluoperaatioon , jonka laskeminen tai mittaaminen johtaa hiukkaskokofunktioon . Joukon sironta toiseen on myös tärkeä tieto. Stereologia tarjoaa vain johdetun parametrin, joka ei vastaa kysymykseen.
Lajittelumenetelmän on varmistettava seuraavat säännöt:
Erotamme koot lukumäärän ja koon mukaan .
Tämän tyyppinen analyysi on mahdollista vain, jos analysoitava joukko koostuu koko joukosta täysin disjoint-objekteja. Jokainen esine eristetään ja mitataan sitten kokokriteerin (pinta-ala, kehä, Féretin halkaisija jne.) Mukaan . Mittaustulos mahdollistaa tämän objektin sijoittamisen kokoluokkaan.
Äsken mainittujen mittausten tekemiseksi on välttämätöntä, että esine sisältyy kokonaan mittauskenttään. Siksi meidän on poistettava ne, jotka leikkaavat pellon reunan. Olemme nähneet, että tämä saavutetaan helposti matemaattisella morfologialla. Kuitenkin mitä suurempi kohteen koko on, sitä todennäköisemmin se poistaa kohteen. Tämä tuo esijännityksen hiukkaskokoanalyysiin. Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on tiedettävä todennäköisyys, että objekti on sisällytettävä kenttään . Kuitenkin olemme nähneet, että antaa joukko pisteitä , joissa on täysin sisältyy .
Tämä päättely voidaan kopioida ratkaisemaan ongelmamme yrittämällä heikentää suorakulmainen maski mennessä . On helppo nähdä, että saamme täsmälleen saman tuloksen, jos korvataan pienimmällä rajatulla suorakulmalla , jonka suunta on sama . Sitten sisällyttämisen todennäköisyys on helppo laskea:Tässä lausekkeessa edustaa kentän (Z-indeksi) tai suorakulmion (R-indeksi) vaaka- ja pystysivua. Bias korjataan sitten lisäämällä kokoluokkaa ei 1: llä vaan . Tämän korjaavan menetelmän ehdotti Lantuéjoul .
Hiukkaskokoanalyysi avaamalla 2-ulotteisella strukturointielementilläKuvan 1 kohteiden komplementaarista väliainetta ei voida käsitellä tällä menetelmällä, koska yksittäisen kohteen käsitteellä ei ole enää merkitystä. Matheronin aksioomat pitävät kuitenkin paikkansa, kun aukko tehdään kuperalla strukturointielementillä . Kupera strukturointielementti mahdollistaa todellakin samanlaisen perheen rakentamisen, jonka kaikki jäsenet johdetaan koon 1 elementistä koon homotyyppisuhteella . Tämän tyyppinen granulometria on mitoitettu granulometria, koska aukolla ei ole hyviä topologisia ominaisuuksia (esine voidaan jakaa kahtia avaamalla). Kohdassa määritellylle kuvalle ainoa käytetty mitta on avoimen joukon pinta-ala.
Boolen joukko pyöreitä levyjä (X = BD)
Kuusikulmainen aukko, koko 5 pikseliä mustavalkosivulla ja heikentynyt naamio (syaani)
Kuusikulmainen aukko, koko 20 pikseliä mustavalkosivulla ja heikentynyt naamio (syaani)
Paikallisanalyysissä mittausnaamari on otettava huomioon ja toimittava siten heikentyneessä maskissa, joten meillä on: On erityinen tapaus, jossa hiukkaskoko voidaan määrittää numerolla. Se on silloin, kun joukko koostuu epäyhtenäisistä kuperista objekteista. Tässä tapauksessa meillä on:
Hiukkaskokoanalyysi avaamalla lineaarisella strukturointielementilläLineaarinen strukturointielementti on perinteisesti huomioitu . Sääntöjä sovelletaan samalla tavalla kuin kaksiulotteiseen aukkoon, mutta tässä mitatut ja lukumääräiset granulometriat voidaan aina laskea, koska viivan joukon leikkauspiste antaa linjoille aina kuperan määritelmän mukaiset segmentit. Vastaavat raekoot saadaan seuraavilla ilmaisuilla mitattaville raekokoille ja lukumäärälle:
Toiminto P ( l )
Itse asiassa ei ole välttämätöntä käydä aukon läpi näiden raekokojen saamiseksi, mutta se voidaan pysäyttää toiminnon antavassa eroosiossa . Tämän toiminnon määrittelee:
Tällä toiminnolla on useita merkittäviä ominaisuuksia:
Boolen sarja kalajyvillä (X = BP)
10 pikselin lineaarinen eroosio BP: ssä ja heikentyneessä maskissa (syaani)]
Koko 20 pikselin lineaarinen eroosio BP: ssä ja erodoituneessa maskissa (syaani)
Edellisten suhteiden mukaan meillä on heti: ja
Oletetaan, että sarja on läpinäkyvä ja täydennysosa on läpinäkymätön. Siihen kuuluvasta pisteestä voimme määritellä toimialueen , joka koostuu kaikista x: n näkyvistä pisteistä y. kutsutaan '' 'ulottuvuuden 2 tähdeksi' ', joka liittyy pisteeseen x.
Toistamalla sama operaatio kaikille pisteille voimme määritellä keskimääräisessä tähdessä, jolle on tunnusomaista sen pinta-ala. Se on kirjoitettu:Tarkastellaan pintaelementtiä, joka on suunnattu pitkin . Tämä elementti kuuluu tähtiin ja sillä on ehdollisen todennäköisyyden suhde: Käyttämällä määritelmää ja olettaen, että väliaine on isotrooppinen, meillä on: Sama perustelu voidaan tehdä . Tähti määritetään seuraavasti: Mikä antaa isotrooppisessa tapauksessa: Tähti määrittää keskimääräisen tilavuuden mitassa ja keskimääräisen mittausalueen. Jos on epäyhtenäisten kuperien liitos, tähti edustaa keskimääräistä kuperaa joukkoa. Koska tähti on mitattavissa , tähdellä on stereologisia ominaisuuksia.
Dispersiotutkimus edellyttää vähintään yhtä sarjaa ja sen täydennystä, molemmat ei-tyhjiä. Määritetyt stereologiset parametrit koskevat vain yhtä joukkoa, myös partikkelikokoanalyysi. Matemaattisessa morfologiassa on toiminto, joka mahdollistaa tehokkaasti yhden joukon dispersiotilan testaamisen toisessa. Tätä toimintoa kutsutaan kovarianssitoiminnoksi. Se vastaa eroosion mittausta kahdesta etäisestä h-pisteestä koostuvalla rakenne-elementillä. Koska eroosio on muodostettu Minkowskin vähennyslaskusta, on helppo saada eroosiotulos h: lla, koska tämä rakenneelementti sisältää vain 2 pistettä etäisyydellä h: sta. Voit tehdä tämän yksinkertaisesti kääntämällä kuvan ja ottamalla leikkauskohdan käännetyn kanssa.
Siksi meillä on:
Yksinkertainen kovarianssiKovarianssia käytetään pääasiassa paikallisessa tapauksessa. Tässä tapauksessa kovarianssitoiminto määritetään Z-mittausmaskissa seuraavasti:
KovarianssiominaisuudetFunktion tapaan funktiolla on useita ominaisuuksia. Siksi meillä on:
Otetaan esimerkkinä rajatapaukset:
Valitussa esimerkissä kovarianssin lasku jatkuu asymptoottiseen arvoon saakka. Koska analyysi tehtiin vain kentällä, teoreettisen asymptootin ja kokeellisen asymptootin välinen vastaavuus ei ole täydellinen. Pieni läpikulku minimin läpi osoittaa pienen hylkimisvaikutuksen levyjen välillä.
Rakenteen jaksollinen näkökulma johtaa kovarianssikäyrän värähtelyihin. Ensimmäinen minimi vastaa lamellin keskimääräistä paksuutta ja ensimmäinen maksimi lamellikomplementaarisen parin keskimääräistä paksuutta.
Kovarianssia on monimutkaisempi tulkita, mutta voimme arvioida keskimääräisen etäisyyteni klustereiden välillä.
H eroosio h: llä (10 pikseliä) Boolen levyjoukoilla (X: keltainen ja punainen, eroosio h: punainen, naamioeroosi: syaani)
Kovariaatio Boolen levysarjassa
H-eroosio (24 pikseliä) lamellaarisarjassa (X: keltainen ja punainen, h-eroosio: punainen, naamioeroosi: syaani)
Kovariaatio lamellikokoonpanossa
H-eroosio (24 pikseliä) joukkoissa klustereita (X: keltainen ja punainen, h-eroosio: punainen, maskin eroosio: syaani)
Kovarianssi joukkojoukossa
Stereologisia parametreja on vähän ja koon luonnehdinnalla hiukkaskokofunktioilla on stereologinen luonne vain lineaarisille hiukkaskokoille. Sama perustelu voidaan pitää kovarianssitoiminnolla.
Jos suostumme pysymään avaruudessa, muut raekoot, muodon ja anisotropian tutkiminen mahdollistavat morfologisten tietojen täydentämisen. Näiden menetelmien avulla löydämme suuren määrän parametreja ja useita jakaumia, mutta toisaalta karakterisoinnin luettavuus ei ole enää ilmeistä.
Toinen paljon synteettisempi lähestymistapa on todennäköisyysmallit. Ne on suunniteltu kuvaamaan satunnaisjoukkoja. Kaikkia todellisia sarjoja ei tietenkään voida kuvata tällaisilla malleilla. Ensinnäkin näiden ryhmien on oltava paikoillaan paikallaan, jotta ne voidaan helposti mallintaa.
Jotta voimme tarkkailla morfologiaa, on välttämätöntä, että joukko ei täytä koko tilaa. Siksi meillä on ainakin väliaine, jossa on kaksi komponenttia: kokonaisuus ja sen täydennysosa . Tämän joukon muodostavat objektit voivat olla pisteitä, suoria viivoja tai osajoukkoja. Asetettu , näin saatu, on siis topologisesti suljettu satunnainen joukko kutsutaan RACS (Random Suljettu Set) ja hyvin kuvattu kirjoissa Matheron, Serra, Stoyan ja Jeulin . Tämä rajoitus on tärkeä hyvien ominaisuuksien säilyttämiseksi, mutta ei käytännössä kovin hankala. Täten RACS pysyy RACS: na dilation eroosio-operaation jälkeen… Mallin valinta riippuu tietystä a priori tiedosta . Materiaalien tai järjestelmien osalta morfologisesti havaittavien vaiheiden määrä on ensimmäinen elementti. Siksi meillä on kaksi pääluokkaa:
RACS: ää voidaan luonnehtia morfologisia mittoja vastaavien tapahtumien todennäköisyydellä, kuten todennäköisyys sisällyttää kompakti joukkoon tai sen komplementtiin. Tämä on Choquetin kapasiteetille annettu rooli, jonka määrittelevät :
Voimme myös määritellä mistä todennäköisyys , että leikkauspiste ja on tyhjä:
Samalla tavalla kuin jakelutoiminto määrittelee satunnaismuuttujan, tieto Choquetin kyvystä mihin tahansa kompaktiin antaa mahdollisuuden määritellä todennäköisyysmalli kokonaan. Kaikkia kompakteja ei tietenkään voida testata. Olemme tyytyväisiä yksinkertaisimpaan.
RACS: n ominaisuudetRACS voi tai ei voi tarkistaa useita ominaisuuksia.
Ääretön jaettavuusRACS on äärettömän jaettavissa, jos se vastaa n samanluonteisen n riippumattoman RACS: n yhdistämistä. Alatilalla äärettömästi jaettavan mallin leikkaus säilyttää luodun mallin luonteen. Tämä on luonteeltaan stereologinen ominaisuus. Tällaiselle RACS: lle ja tietylle pienikokoiselle Choquet-kapasiteetti on muodon ilmentymä:
kanssa:
VakausRajattomasti jaettava RACS on vakaa liiton mukaan, jos funktio täyttää yhtälön:
kanssa
LaskettavuusRACS: lla on laskettavuusominaisuus, jos Choquetin kapasiteeteissa on nimenomaiset kaavat joillekin tiivistelmille . Tämä mahdollistaa sen, että todellinen rakenne voi vastata RACS: n toteutumista suorittamatta simulaatiota. Kun Choquetin kapasiteettia ei voida laskea, voidaan käyttää mallin parametreihin liittyviä ominaismääriä.
Poissonin pisteprosessiKaikkien todennäköisyysmallien lähtökohta on satunnaispisteprosessi. On oltava prosessi, jossa osajoukkoon putoavien pisteiden lukumäärä on riippumaton pudotettavista . Poisson jakeluprosessista täyttää tämän ehdon. Todennäköisyyden siitä, että Poisson-tiheysprosessin n pistettä kuuluu joukkoon, antaa:
Satunnaisosiointimallit ovat sarjoja, jotka jakavat avaruuden useisiin suljettuihin ja rajattuihin alaryhmiin, joita kutsutaan luokiksi. Kaikkien sen osajoukkojen yhdistäminen täyttää kaiken tilan . Tärkeimmät pisteet ovat: Voronoi-pisteet , Johnson Mehlin pisteet , Poissonin mosaiikki ja kuolleet lehdet . Jos kaikki nämä mallit ovat lähtöisin pistepoissonin prosessista, niiden rakenne ja ominaisuudet ovat hyvin erilaiset. Viimeinen esitellään Boole Matheronin mallin jälkeen, joka on monivaiheinen malli.
Voronoin pisteetOsion tai Voronoi-kaavion rakentamiseksi asetamme pisteet prosessin mukaan, joka noudattaa Poissonin tiheyslakia . Jokainen piste vastaa vaikutusaluetta, jonka määrittelee:
kanssa etäisyys kohteeseen
Tämä vaikutusalue on kupera monikulmio sisään ja kupera monikulmio sisään .
Mallin yksinkertaisuus on saanut monet kirjoittajat käyttämään sitä kuvaamaan solu- tai rakeisia rakenteita. Mutta Voronoi-pisteet eivät ole äärettömän jaettavissa, koska Voronoi-pisteet eivät luo Voronoi-pisteitä sisään . Emme myöskään tiedä tämän osion Choquet-kapasiteetin analyyttistä ilmaisua tavallisille pakkauksille. Vertaaksemme todellisen rakenteen taso-osaa Voronoi-malliin , meillä on joitain ominaisuuksia, jotka on tiivistetty Milesillä, joka on Poissonin tiheyden funktio .
Kun kyseessä on Voronoi-osio , toiminnassa ja Poisson-tiheydessä on samanlaisia suhteita .
Lisäksi tiheydet osion ja varustelu "tähti" , , ja ovat yhteydessä tiheyden Poisson-prosessin kanssa seuraavat suhteet:
Nämä tähtifunktiot lasketaan funktion hetkistä (todennäköisyys sisällyttää segmentti rakeeseen).
Meillä on :
Johnson-Mehlin malli perustuu myös Poissonin pisteprosessiin. Malli on kuitenkin peräkkäinen (ajan funktio). Jokainen sekvenssi koostuu kahdesta perusprosessista:
Kaikki luodut bakteerit eivät kuitenkaan välttämättä synny "viljaa". Jos alkio näkyy jo muodostuneessa ytimessä, se katoaa. Rakentaminen loppuu, kun jyvien täydennys on kadonnut kokonaan. Partition muodostavilla jyvillä on hyperboliset rajat sisään ja hyperboloidit rajat sisään . Siksi ne eivät ole aina kuperia, mutta tiedämme niiden ominaisuudet, erityisesti naapureiden lukumäärän jakautumistoiminnon.
Johnson Mehlin mallin rakentaminen (joitain vaiheita)
Johnson Mehlin mallin rakentaminen (joitain vaiheita)
Johnson Mehlin mallin rakentaminen (joitain vaiheita)
Johnson Mehlin mallin rakentaminen (lopputulos)
Kuten Voronoi-osion tapauksessa, Johnson-Mehlin mallilla ei ole stereologisia ominaisuuksia. Jos vakio on vakio, funktioon liittyy suhteita :
Tilan jakaminen Poisson-prosessin mukaan tehdään Poissonin linjoilla. Poissonin linjat rakennetaan seuraavasti. Olkoon orientaatioviivan tason alkupuolen välillä ja sen läpi. Tällä viivalla suoritamme pisteen Poissonin tiheysprosessin . Kuhunkin näistä pisteistä pystytimme Poisson-suoran kohtisuoraan . Isotrooppisen mosaiikkidatan tapauksessa se on vakio ja arvon arvo valitaan yhtenäisen todennäköisyyslain mukaan.
Tila on sitten jaettu äärettömään satunnaisiin polygoneihin, joita kutsutaan Poisson-polygoneiksi.
Samanlainen avaruusrakenne johtaa tilaan, joka on jaettu Poisson-polyhedran äärettömyyteen. Kulma on sitten 0 ja steradiaanien välillä. Poissonin linjat korvataan Poisson-tasoilla, jotka ovat kohtisuoria tiheyden mukaan .
Toisin kuin Voronoi-malli, Poissonin mosaiikilla on stereologisia ominaisuuksia. Ensinnäkin parametrimalli voi luonnehtia keskimääräistä polyhedronia sen keskimääräisen tilavuuden , keskimääräisen alueen ja keskimääräisen kaarevuuden integraalin perusteella . Meillä on todellakin suhteet:
Toisaalta parametrin Poissonin mosaiikki , jota leikkaa taso, tuottaa Poissonin parametrin mosaiikissa :
Poissonin mosaiikkiaineistoa käytetään harvoin avaruuden osion mallintamiseen. Toisaalta se antaa mahdollisuuden tuottaa satunnaisia jyviä monivaiheisille malleille.
Viimeisestä osiointitilasta ei keskustella tässä osiossa, se on kuolleiden lehtien malli, jonka näemme tarkemmin seuraavassa osassa.
Monivaiheiset RACSErittäin tärkeä ryhmä on monivaiheiset satunnaiset suljetut joukot. Ne voidaan luokitella kolmeen ryhmään.
Tämä malli, jota kutsutaan myös Boolen kaaviona, rakennetaan seuraavasti. Poissonin tiheysprosessin jokaiseen pisteeseen sijoitamme ensisijaisen jyvän. Boolen kaavio on kaikkien näiden ensisijaisten jyvien yhdistys (vasen kuva).
Sarja Boole Matheronia (keltainen), (30 bakteeria, koko 20 levyä)
Sarja Boole Matheronia (keltainen), (erikokoisia levyjä)
Poissonian Grain Boole Matheron Set (keltainen)
Tätä joukkoa varten luotiin pisteprosessi ja korvattiin jokainen piste ainutlaatuisen kokoisella dodekonkalla (ensisijainen jyvä). Toinen kuva edustaa Boole Matheronin mallia, joka on rakennettu erikokoisilla levyillä. Viimeisessä kuvassa mallin ensisijaiset rakeet ovat Poissonin polygoneja, jotka saadaan vetämällä arvontaan osiosta, kuten edellisessä osassa.
OminaisuudetBoole Matheron -mallilla on erittäin hyvät ominaisuudet. Se on äärettömän jaettavissa, vakaa ja laskettavissa. Todellakin, jos Boolen kaavion ensisijainen rake on, meillä on suhde:
on kompaktin laajentaman joukon Lebesgue-mitan odotus .
Choquetin kapasiteetti voidaan vielä kirjoittaa:
on kompaktin komplementin eroosiota . Boole Matheron -mallin testaamiseksi Choquet-kapasiteetilla (tai täydentävällä toiminnallisuudella) riittää arvioimaan yhden tai useamman kompaktiperheen heikentämän sisällön . Jokainen perhe määritellään homoteettisten pakettien joukolla. Boole Matheronin malli määritellään Poisson-tiheydellä ja primäärirakeella, jolle on tunnusomaista muodon ja koon jakauma.
Jos ensisijainen vilja on kupera ja yksinkertainen geometria, Boolen malli Matheron on laskettavissa stereologiamenetelmää parametrit keskimääräinen rakeen : . Pallomaisten jyvien tapauksessa stereologiset parametrit voidaan laskea hiukkaskokojakauman hetkistä 3, 2 ja 1 . Meillä on itse asiassa suhteet:
Lopuksi, koska Boole Matheron -mallien liitto on aina Boole Matheron -malli, todellisen rakenteen mallintamiseen on olemassa monia ratkaisuja.
Jotkut tiivisteet ovat erityisen mielenkiintoisia Boole Matheron -mallin testaamiseksi. Nämä ovat pisteet , segmentit , koon r kuusikulmio , kaksipiste ja joissakin malleissa tasasivuisen kolmion pisteiden määrittelemät pisteiden kolmikot . Kupareita tiivistyksiä varten ja kutsumalla täydentävän joukon sisältö, meillä on seuraavat suhteet:
Kaksisuuntaisessa kohdassa käytämme kovariogrammin geometrista keskiarvoa kovarianssin sijasta . Kovariogrammi liittyy kovarianssiin lausekkeella:
Kalanjyvien osalta meillä on:
Kun meillä on pallomaisia jyviä, geometrinen kovariogrammi on jakauman funktio. Soittamalla ensiökerran enimmäiskoon meillä on:
Kaatuneen lehden kuvio on peräkkäinen Boolen kaavio. Mallin yksivaiheinen versio johtuu Jeulinista. Rakenne on seuraava. Ensisijaiset jyvät syntyvät Poisson-tiheysprosessilla . Toisin kuin Boolen kaavio, jyvät voivat olla päällekkäisiä. Vanhemmat voivat kadota uudempien alle. Prosessi voidaan pysäyttää ajan kuluttua t. Jos mediaa ei ole peitetty kokonaan, prosessi näyttää hieman Boolen kaavalta. Voit myös jatkaa paikalleen saakka. Sitten osio peittää tuen kokonaan.
"Kaksivaiheisen kuolleen lehden" mallin tapauksessa vaiheen 1 ja 2 ensisijaiset jyvät ilmestyvät peräkkäin vastaavien tiheyksien ja . Prosessi toistetaan paikallaan saakka. Jäljelle jää kaksivaiheinen rakenne, jossa nämä kaksi vaihetta ovat sisäkkäin.
Kaksivaiheisen kaatuneen lehden mallin rakentaminen sinisillä ja keltaisilla levyillä
Kaksivaiheinen kaatuneiden lehtien malli valmistui sinisillä ja keltaisilla levyillä
Nämä mallit ovat äärettömän jaettavissa ja siksi ne tuottavat vastaavia malleja alatiloissa. Laskettavuus ei ole yhtä vahva kuin Boolen kaavion tapauksessa. Choquet-kapasiteetit voidaan laskea vain h: n etäisyydellä olevalle bi-pisteelle ja h : n päässä olevien pisteiden tripletille . Kun bi-piste testataan, käytämme funktiota, jonka määrittelee:
jossa pitoisuus vaiheen 1 ja että vaiheen 2 ja
Havainnollistamiseksi esitämme joitain toteutuksia pyöreillä levyillä tai Poissonin polygoneilla ensisijaisina jyvinä.
Kaksivaiheinen kaatuneen lehden kuvio sinisillä ja keltaisilla kiekoilla
Kaksivaiheinen kaatuneen lehden kuvio sinisillä ja keltaisilla kalajyvillä
Monivaiheisen Poisson-osion rakentamiseksi meidän on rakennettava yksivaiheinen osio ja osoitettava luokat tiettyyn vaiheeseen satunnaisesti. Mallin parametrit (Miles) ovat kunkin vaiheen sisältö ja joka kuvaa Poisson-osiota. Kaksivaiheisen Poisson-osion tapauksessa yksivaiheisen järjestelmän ominaisuudet säilyvät.
Analyyttinen lait ovat tunnettuja , ja
Boole Matheron -mallissa tai kuolleen lehden mallissa pääjyvät voivat olla päällekkäisiä. Stienen-mallin rakentamiseksi aloitamme aina pistetiheys Poisson-prosessilla . Mutta jokainen piste korvataan vastaavan Voronoi-solun suurimmalla pallolla. Näissä olosuhteissa pallot eivät ole päällekkäisiä, mutta voivat koskettaa toisiaan (vasen kuva). Se yleistettiin pienentämällä pallojen kokoa kertoimella (oikea kuva).
Stienen-malli, jossa alfa = 1 (punainen) ja siihen liittyvä Voronoi-osio (sininen reunus)
Stienen-malli, jossa alfa <1 ja siihen liittyvä Voronoi-osio (sininen reunus)
Alkuperäisen mallin ( ) tapauksessa pallojen sisältö on vakio, koska meillä on:
Pallojen jakauma tunnetaan lisäksi, koska se liittyy suoraan Poisson-prosessin lähimpien naapureiden etäisyyksien jakautumiseen. Meillä on itse asiassa:
Sillä pallot eivät ole enää kosketuksissa (kuva 14). Pisteparin korrelaatiofunktio etäisyyden r funktiona voidaan laskea numeerisella integraatiolla. Lopuksi, tälle mallille meillä on vain monimutkainen kovarianssilauseke.