Yleistetty keskiarvo

On matematiikka , yleisen keskiarvot ovat perheen toimintoja luonnehtia joukko numeroita, laskee niiden joukossa erityisesti tapauksissa keskimääräinen aritmeettinen , geometrinen ja harmoninen . Otto Hölderin mukaan voimme puhua myös keskimääräisestä tehosta , p- tilauskeskiarvosta tai Hölderin keskiarvosta .

Määritelmät

Tilausten keskiarvo s

Olkoon p reaaliluku, joka ei ole nolla. Määritämme positiivisten reaalien x 1 , ..., x n keskiarvon p seuraavasti:

Ms(x1,...,xei)=(1ei∑i=1eixis)1s{\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ pistettä, x_ {n}) = \ vasen ({\ frac {1} {n}} \ summa _ {i = 1} ^ {n} x_ {i } ^ {p} \ oikea) ^ {\ frac {1} {p}}}

Jos p = 0, asetamme sen geometriseksi keskiarvoksi (joka vastaa 0: ta lähestyvien tilausten keskiarvojen rajaviivaa):

M0(x1,...,xei)=∏i=1eixiei{\ displaystyle M_ {0} (x_ {1}, \ pistettä, x_ {n}) = {\ sqrt [{n}] {\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}}}.

Positiiviset ja negatiiviset äärettömät eksponentit vastaavat maksimi- ja minimiarvoja klassisissa ja painotetuissa tapauksissa (mikä vastaa myös ääretöntä lähestyvien järjestyskeskiarvojen raja-arvoja):

M∞(x1,...,xei)=enint(x1,...,xei)M-∞(x1,...,xei)=min(x1,...,xei){\ displaystyle {\ begin {tasattu} M _ {\ infty} (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n}) & = \ max (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n}) \\ M_ {- \ infty} (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n}) & = \ min (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n}) \ loppu {tasattu}}}

Painotetut versiot

Voimme myös määrittää painotettuna keskiarvona, jotta p sekvenssiä positiivinen painot w i tarkistaa kanssa ∑wi=1{\ displaystyle \ summa w_ {i} = 1}

Ms(x1,...,xei)=(∑i=1eiwixis)1sM0(x1,...,xei)=∏i=1eixiwi{\ displaystyle {\ begin {tasattu} M_ {p} (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n}) & = \ vasen (\ summa _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ { i} ^ {p} \ oikea) ^ {\ frac {1} {p}} \\ M_ {0} (x_ {1}, \ pistettä, x_ {n}) & = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ end {tasattu}}}

Klassinen tapaus vastaa painojen yhtäläistä jakaumaa: w i = 1 / n .

Perusominaisuudet ja huomautukset

• Huomaa yhtäläisyys järjestysnormien kanssa s .
• Kuten useimmat välineet, yleistynyt keskiarvo on homogeeninen funktio in x 1 , ..., x n . Siten, jos b on positiivinen todellinen, lukujen bx 1 , ..., bx n järjestyksen p yleistetty keskiarvo on yhtä suuri kuin b kerrottuna yleistetyllä keskiarvolla x 1 , ..., x n .
• Kuten kvasi-aritmeettiset keskiarvot, keskiarvon laskeminen voidaan jakaa samankokoisiin alilohkoihin.

Ms(x1,...,xei⋅k)=Ms(Ms(x1,...,xk),Ms(xk+1,...,x2⋅k),...,Ms(x(ei-1)⋅k+1,...,xei⋅k)){\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ pisteet, x_ {n \ cdot k}) = M_ {p} (M_ {p} (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {k}), M_ {p} (x_ {k + 1}, \ pisteitä, x_ {2 \ cdot k}), \ pisteitä, M_ {p} (x _ {(n-1) \ cdot k + 1}, \ pisteitä, x_ {n \ cdot k}))}}.

Erikoistapaukset

M-∞(x1,...,xei)=lims→-∞Ms(x1,...,xei)=min{x1,...,xei}{\ displaystyle M _ {- \ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to - \ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n}) = \ min \ {x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n} \}}	vähintään
M-1(x1,...,xei)=ei1x1+⋯+1xei{\ displaystyle M _ {- 1} (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n}) = {\ frac {n} {{\ frac {1} {x_ {1}}} + \ pisteitä + {\ frac {1} {x_ {n}}}}}}	harmoninen keskiarvo
M0(x1,...,xei)=lims→0Ms(x1,...,xei)=x1⋅⋯⋅xeiei{\ displaystyle M_ {0} (x_ {1}, \ piste, x_ {n}) = \ lim _ {p \ - 0} M_ {p} (x_ {1}, \ piste, x_ {n}) = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ cdot \ dots \ cdot x_ {n}}}}	geometrinen keskiarvo
M1(x1,...,xei)=x1+⋯+xeiei{\ displaystyle M_ {1} (x_ {1}, \ pistettä, x_ {n}) = {\ frac {x_ {1} + \ pistettä + x_ {n}} {n}}}	aritmeettinen keskiarvo
M2(x1,...,xei)=x12+⋯+xei2ei{\ displaystyle M_ {2} (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n}) = {\ sqrt {\ frac {x_ {1} ^ {2} + \ pisteitä + x_ {n} ^ {2}} {ei}}}}	juuri tarkoittaa neliötä
M+∞(x1,...,xei)=lims→∞Ms(x1,...,xei)=enint{x1,...,xei}{\ displaystyle M _ {+ \ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ pisteitä, x_ { n}) = \ max \ {x_ {1}, \ pistettä, x_ {n} \}}	maksimi

Todiste siitä (geometrinen keskiarvo)lims→0Ms=M0{\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ 0} M_ {p} = M_ {0}}

Me kirjoittaa määritelmä M p kanssa eksponenttifunktio

Ms(x1,...,xei)=exp⁡(ln⁡[(∑i=1eiwixis)1/s])=exp⁡(1sln⁡(∑i=1eiwixis)){\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ pisteet, x_ {n}) = \ exp {\ left (\ ln {\ left [\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ oikea) ^ {1 / p} \ oikea]} \ oikea)} = \ exp {\ left ({\ frac {1} {p}} \ ln \ left ( \ summa _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ oikea) \ oikea)}}

Kohdassa p → 0 sovelletaan L'Hôpitalin sääntöä  :

lims→01sln⁡(∑i=1eiwixis)=lims→0∑i=1eiwixisln⁡xi∑i=1eiwixis=∑i=1eiwiln⁡xi=ln⁡(∏i=1eixiwi){\ displaystyle \ lim _ {p \ - 0} {\ frac {1} {p}} \ ln \ vasen (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p } \ right) = \ lim _ {p \ 0} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ ln {x_ {i}} } {\ summa _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} = \ summa _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} \ ln {x_ { i}} = \ ln {\ vasen (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ oikea)}}

Eksponenttifunktion jatkuvuuden avulla saamme

lims→0Ms(x1,...,xei)=exp⁡(ln⁡(∏i=1eixiwi))=∏i=1eixiwi=M0(x1,...,xei).{\ displaystyle \ lim _ {p \ - 0} M_ {p} (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n}) = \ exp {\ left (\ ln {\ left (\ prod _ {i = 1 } ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ oikea)} \ oikea)} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} = M_ {0} (x_ {1}, \ pistettä, x_ {n}).} Todiste siitä jalims→∞Ms=M∞{\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} = M _ {\ infty}}lims→-∞Ms=M-∞{\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to - \ infty} M_ {p} = M _ {- \ infty}}

Oletetaan, että vaikka se merkitsisi termien järjestämistä, x 1 ≥ ... ≥ x n . Niin

lims→∞Ms(x1,...,xei)=lims→∞(∑i=1eiwixis)1/s=x1lims→∞(∑i=1eiwi(xix1)s)1/s=x1=M∞(x1,...,xei).{\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to \ infty} \ vasemmalle (\ summa _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ oikea) ^ {1 / p} = x_ {1} \ lim _ {p \ to \ infty} \ vasemmalle (\ summa _ { i = 1} ^ {n} w_ {i} \ vasen ({\ frac {x_ {i}} {x_ {1}}} \ oikea) ^ {p} \ oikea) ^ {1 / p} = x_ { 1} = M _ {\ infty} (x_ {1}, \ pistettä, x_ {n}).}

For M -∞ , riittää, kun huomaa, ettäM-∞(x1,...,xei)=1M∞(1/x1,...,1/xei).{\ displaystyle M _ {- \ infty} (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n}) = {\ frac {1} {M _ {\ infty} (1 / x_ {1}, \ pisteitä, 1 / x_ {ei})}}.}

Yleistettyjen keinojen epätasa-arvo

Osavaltiot

Yleensä meillä on

jos p < q , niinMs(x1,...,xei)≤Mq(x1,...,xei){\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n}) \ leq M_ {q} (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n})}

ja on tasa-arvo vain ja vain, jos x 1 = x 2 = ... = x n .

Eriarvoisuus on totta p: n ja q : n todellisille arvoille sekä positiivisille ja negatiivisille äärettömille.

Johtopäätös on, että todelliselle p: lle ,

∂∂sMs(x1,...,xei)≥0{\ displaystyle {\ frac {\ partituali {\ osittainen p}} M_ {p} (x_ {1}, \ pistettä, x_ {n}) \ geq 0}

joka voidaan osoittaa käyttämällä Jensenin eriarvoisuutta .

Erityisesti p : n kohdalla {−1, 0, 1} yleistettyjen keskiarvojen epätasa-arvo merkitsee epätasa-arvoa Pythagoraan keskiarvoissa  (en) samoin kuin aritmeettis-geometrista epätasa-arvoa .

Todiste

Työskentelemme tässä yleisillä painotetuilla keskiarvoilla ja oletamme:

wi∈[0;1]∑i=1eiwi=1{\ displaystyle {\ begin {aligned} w_ {i} \ in [0; 1] \\\ summa _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} = 1 \ end {tasattu}}}

Todiste on yleistynyt avulla saadaan ottamalla w i = 1 / n .

Vastakkaisten merkkien välisten eriarvoisuuksien vastaavuus

Oletetaan, että epätasa-arvo yleisten järjestyslukujen p ja q välillä on totta:

∑i=1eiwixiss≥∑i=1eiwixiqq{\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ geq {\ sqrt [{q}] {\ summa _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}}}

Joten erityisesti:

∑i=1eiwixiss≥∑i=1eiwixiqq{\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i}} {x_ {i} ^ {p}}}}} \ geq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i}} {x_ {i} ^ {q}}}}}}

Otetaan numeroiden käänteinen luku, joka muuttaa eriarvoisuuden suuntaa, koska x i on positiivinen:

∑i=1eiwixi-s-s=1∑i=1eiwi1xiss≤1∑i=1eiwi1xiqq=∑i=1eiwixi-q-q{\ displaystyle {\ sqrt [{- p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- p}}} = {\ sqrt [{p}] { \ frac {1} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} {\ frac {1} {x_ {i} ^ {p}}}}}}} \ leq {\ sqrt [{q }] {\ frac {1} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} {\ frac {1} {x_ {i} ^ {q}}}}}} = {\ sqrt [ {-q}] {\ summa _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- q}}}}

mikä antaa tuloksen yleistetyille järjestysvälineille - p ja - q . Voimme tehdä vastavuoroisen laskennan, mikä osoittaa eriarvoisuuden vastaavuuden, josta on hyötyä myöhemmin.

Geometrinen keskiarvo

Kaikilla q > 0: lla on

∑i=1eiwixi-q-q≤∏i=1eixiwi≤∑i=1eiwixiqq{\ displaystyle {\ sqrt [{- q}] {\ summa _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- q}}} \ leq \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ summa _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q} }}} Esittely

By Jensenin epäyhtälö sovellettu logaritmifunktiota, joka on kovera:

Hirsi⁡(∏i=1eixiwi)=∑i=1eiwiHirsi⁡(xi)≤Hirsi⁡(∑i=1eiwixi){\ displaystyle \ log \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ oikea) = \ summa _ {i = 1} ^ {n} w_ {i } \ log (x_ {i}) \ leq \ log \ vasen (\ summa _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} \ oikea)}

Menemällä eksponentiaaliin saamme

∏i=1eixiwi≤∑i=1eiwixi{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}}

ja ottamalla x i: n tehot q -ths , saadaan toivottu tulos epäyhtälölle positiivisen q: n kanssa . Negatiivista tapausta kohdellaan samalla tavalla.

Kahden painotetun keskiarvon epätasa-arvo

On vielä osoitettava, että jos p < q , niin meillä on:

∑i=1eiwixiss≤∑i=1eiwixiqq{\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ summa _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}}}

Jos p on negatiivinen ja q positiivinen, voimme käyttää edellistä tulosta:

∑i=1eiwixiss≤∏i=1eixiwi≤∑i=1eiwixiqq{\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ leq \ prod _ {i = 1} ^ { n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ summa _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}} }

Oletetaan nyt, että p ja q ovat positiivisia. Määritämme funktion f  : R + → R + . f on tehofunktio, joka on kaksi kertaa erotettavissa: f(x)=xqs{\ displaystyle f (x) = x ^ {\ frac {q} {p}}}

f″(x)=(qs)(qs-1)xqs-2{\ displaystyle f '' (x) = \ vasen ({\ frac {q} {p}} \ oikea) \ vasen ({\ frac {q} {p}} - 1 \ oikea) x ^ {{\ frac {q} {p}} - 2}}

mikä on positiivinen f : n määrittelyalueella , koska q > p , siis f on kupera.

By Jensenin epäyhtälö , meillä on:

f(∑i=1eiwixis)≤∑i=1eiwif(xis){\ displaystyle f \ vasen (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ oikea) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ { i} f (x_ {i} ^ {p})}

On:

∑i=1eiwixissq≤∑i=1eiwixiq{\ displaystyle {\ sqrt [{\ frac {p} {q}}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}

joka kerran nostettuna tehoon 1 / q (funktio kasvaa, koska 1 / q on positiivinen), saadaan haluttu tulos.

Negatiivisen p: n ja q: n tapaus johdetaan tästä tuloksesta korvaamalla ne vastaavasti - q: lla ja - p: llä .

Lähes aritmeettinen keskiarvo

Yleistettyä keskiarvoa voidaan pitää kvasi-aritmeettisten keskiarvojen erityistapauksena  :

Mf(x1,...,xei)=f-1(1ei⋅∑i=1eif(xi)){\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ pistettä, x_ {n}) = f ^ {- 1} \ vasen ({{\ frac {1} {n}} \ cdot \ summa _ {i = 1} ^ {n} {f (x_ {i})}} \ oikea)}

Esimerkiksi geometrinen keskiarvo saadaan f ( x ) = log ( x ) , ja keskimääräinen järjestyksessä p kanssa f ( x ) = x s .

Sovellukset

Signaalinkäsittelyssä

Yleistetty keskiarvo toimii epälineaarisena liukuvana keskiarvona, joka korostaa pieniä arvoja p pienelle ja vahvistaa suuria arvoja p suurille.

Katso myös

• Aritmeettinen keskiarvo
• Aritmeettinen-geometrinen keskiarvo
• Geometrinen keskiarvo
• Harmoninen keskiarvo
• Heronin keskiarvo  (tuumaa)
• Aritmeettinen-geometrinen eriarvoisuus
• Lehmerin keskiarvo  (in) , toinen tarkoittaa voimia
• Juuri tarkoittaa neliötä
• Suurin tasoitettu
• Lähes aritmeettinen keskiarvo

Ulkoiset linkit

• (fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista "  Generalized mean  " ( katso kirjoittajaluettelo ) .
• (en) Eric W.Weisstein , "  Power mean  " , MathWorldissa
• Esimerkkejä yleistetystä keskiarvosta
• Todiste yleisen Mean päälle PlanetMath

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">