Hetkien menetelmä (tilastollinen fysiikka)
Menetelmä hetkiä tilastollisiin fysiikan koostuu muuttamassa kineettistä useisiin yhtälöiden hetkiä numeerisen tiheys kuvaavat jakelu muuttujan. Näin saatu järjestelmä on puutteellinen: sen vuoksi on tarpeen lisätä lisäehto, joka on enemmän tai vähemmän mielivaltainen ja riippuvainen hoidetusta ongelmasta.
Kineettinen yhtälö
Tämän tyyppinen yhtälö, kuten Boltzmannin yhtälö, kirjoitetaan yleisessä muodossa
df(u,x,t)dt=∂f(u,x,t)∂t+u⋅∇f(u,x,t)=S(f){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f (\ mathbf {u}, \ mathbf {x}, t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ osa f (\ mathbf { u}, \ mathbf {x}, t)} {\ osittainen t}} + \ mathbf {u} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} f (\ mathbf {u}, \ mathbf {x}, t) = S (f)}![{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f (\ mathbf {u}, \ mathbf {x}, t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ osa f (\ mathbf { u}, \ mathbf {x}, t)} {\ osittainen t}} + \ mathbf {u} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} f (\ mathbf {u}, \ mathbf {x}, t) = S (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48541593401add402b78ab5a095b8f70094a6dc5)
tai
x{\ displaystyle \ mathbf {x}}![\ mathbf {x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32adf004df5eb0a8c7fd8c0b6b7405183c5a5ef2) |
|
on tilaa,
|
t{\ displaystyle t}![t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560) |
|
aika,
|
u{\ displaystyle \ mathbf {u}}![\ mathbf {u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261e20fe101de02a771021d9d4466c0ad3e352d7) |
|
mikroskooppinen nopeus,
|
f(u,x,t){\ displaystyle f (\ mathbf {u}, \ mathbf {x}, t)}![{\ displaystyle f (\ mathbf {u}, \ mathbf {x}, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2772b36725e5c9bd9c4fdf0b6d7c7b0f0b9e479) |
|
digitaalinen tiheys on ,
u{\ displaystyle \ mathbf {u}}![\ mathbf {u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261e20fe101de02a771021d9d4466c0ad3e352d7) |
S(f){\ displaystyle S (f)}![{\ displaystyle S (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04cf5fa5e69ff1a6bde0d265f3c319c17d7cf62f) |
|
vuorovaikutuksiin liittyvä lähdetermi.
|
Hetkiä
Me huomaamme
m{\ displaystyle m}![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc) |
|
hiukkasen massa
|
⊗{\ displaystyle \ otimes}![\ otimes](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de29098f5a34ee296a505681a0d5e875070f2aea) |
|
tensoritulo
|
:{\ displaystyle:}![:](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd064c6ce80ad9a8e53adebb7ad51b7635fceb0f) |
|
supistui tuote
|
⟨g⟩=∫0∞∫0∞∫0∞gdu{\ displaystyle \ langle {\ mathsf {g}} \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ mathsf {g}} \ mathrm {d} \ mathbf {u}}![{\ displaystyle \ langle {\ mathsf {g}} \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ mathsf {g}} \ mathrm {d} \ mathbf {u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1e43ec46d2224570ba3f950a8cb59542d3621af) |
|
integraali u: n yli
|
Kutsumme f: n momentteja seuraaviksi suuruuksiksi, jotka saadaan kertomalla f ja integroimalla u: n yli .
1,u,mu⊗u,12mu2u{\ displaystyle 1, \ mathbf {u}, m \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {u}, {\ frac {1} {2}} mu ^ {2} \ mathbf {u}}![{\ displaystyle 1, \ mathbf {u}, m \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {u}, {\ frac {1} {2}} mu ^ {2} \ mathbf {u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ede50585927bd43743f8082486ff9bf52f863bd)
Saadut määrät ovat makroskooppisia määriä: toimenpide muodostaa siis mittakaavan muutoksen.
Momenttien menetelmä koostuu kineettisen yhtälön peräkkäisestä kerrottamisesta yllä olevilla määrillä ja integroinnilla
∂∂t⟨f⟩+∇⋅⟨uf⟩=0∂∂t⟨muf⟩+∇⋅⟨mu⊗uf⟩=0∂∂t⟨12mu2f⟩+∇⋅⟨12mu2uf⟩=0{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ partitali {\ ositettu t}} \ langle f \ rangle + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ langle \ mathbf {u} f \ rangle & = & 0 \\ [0.6em] {\ frac {\ partitali {\ ositettu t}} \ langle m \ mathbf {u} f \ rangle + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ langle m \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {u} f \ rangle & = & 0 \\ [0.6em] {\ frac {\ partitali} {\ osittainen t}} \ langle {\ frac {1} {2}} mu ^ {2} f \ rangle + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ langle {\ frac {1} {2}} mu ^ {2} \ mathbf {u} f \ rangle & = & 0 \ end { taulukko}}}![{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ partitali {\ ositettu t}} \ langle f \ rangle + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ langle \ mathbf {u} f \ rangle & = & 0 \\ [0.6em] {\ frac {\ partitali {\ ositettu t}} \ langle m \ mathbf {u} f \ rangle + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ langle m \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {u} f \ rangle & = & 0 \\ [0.6em] {\ frac {\ partitali} {\ osittainen t}} \ langle {\ frac {1} {2}} mu ^ {2} f \ rangle + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ langle {\ frac {1} {2}} mu ^ {2} \ mathbf {u} f \ rangle & = & 0 \ end { taulukko}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a923473c7f4c24ff42b5f38970b498a49a8b9c84)
Kaikki toiset jäsenet ovat nollia, koska (hiukkasten lukumäärä, liikemäärä, energia) säilyy vuorovaikutuksen aikana ja siten konservoituu niiden kaikkien yli tietyssä vaiheessa ja tiettynä ajankohtana.
ei,mu,12mu2{\ displaystyle n \ ,, \, m \ mathbf {u} \ ,, \, {\ frac {1} {2}} mu ^ {2}}![{\ displaystyle n \ ,, \, m \ mathbf {u} \ ,, \, {\ frac {1} {2}} mu ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c1d912598a8bab803d41615b839b84c4a7e09d)
Huomaa, että jokainen hetken ajalliseen vaihteluun liittyvä yhtälö sisältää korkeamman asteen momentin. Menetelmä on pitkäaikainen kiire, joten jotain on tehtävä järjestelmän sammuttamiseksi.
Ottamalla tiheys nämä yhtälöt kirjoitetaan kertomalla ensimmäinen m: llä.
ρ=eim{\ displaystyle \ rho = nm}![{\ displaystyle \ rho = nm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe7a640d48cd048cea5dc0ef4a6385f4282a6a2)
∂ρ∂t+∇⋅(ρV)=0ρ∂V∂t+ρ(V⋅∇)V+∇⋅P=∂(ρV)∂t+∇⋅(ρV⊗V)+∇⋅P=0∂(ρe)∂t+∇⋅(ρeV)+∇⋅q+∇⋅(P:V)=0{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ partituali \ rho} {\ osittainen t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {V}) & = & 0 \\ [0.6em ] \ rho \, {\ frac {\ partituali \ mathbf {V}} {\ osittainen t}} + \ rho \, (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} + \ nabla \ cdot { \ mathsf {P}} & = & {\ frac {\ osittainen (\ rho \, \ mathbf {V})} {\ osittainen t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {V} \ otimes \ mathbf {V}) + \ nabla \ cdot {\ mathsf {P}} = 0 \\ [0.6em] {\ frac {\ osittainen (\ rho \, e)} {\ osittainen t}} + \ nabla \ cdot ( \ rho \, e \, \ mathbf {V}) + \ nabla \ cdot \ mathbf {q} + \ nabla \ cdot ({\ mathsf {P}} {\ textbf {:}} \ mathbf {V}) & = & 0 \ loppu {taulukko}}}![{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ partituali \ rho} {\ osittainen t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {V}) & = & 0 \\ [0.6em ] \ rho \, {\ frac {\ partituali \ mathbf {V}} {\ osittainen t}} + \ rho \, (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} + \ nabla \ cdot { \ mathsf {P}} & = & {\ frac {\ osittainen (\ rho \, \ mathbf {V})} {\ osittainen t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {V} \ otimes \ mathbf {V}) + \ nabla \ cdot {\ mathsf {P}} = 0 \\ [0.6em] {\ frac {\ osittainen (\ rho \, e)} {\ osittainen t}} + \ nabla \ cdot ( \ rho \, e \, \ mathbf {V}) + \ nabla \ cdot \ mathbf {q} + \ nabla \ cdot ({\ mathsf {P}} {\ textbf {:}} \ mathbf {V}) & = & 0 \ loppu {taulukko}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa9271805d9818a74167ddd5e9b068fac6a299be)
Tätä järjestelmää kutsutaan Enskogin yhtälöiksi . Määrät ja niitä ei tunneta mallinnuksen tässä vaiheessa.
P{\ displaystyle {\ mathsf {P}}}
q{\ displaystyle \ mathbf {q}}![{\ mathbf {q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be005a326b7ac3fe4c24bca391369f44c4c2876)
Järjestelmän sammutus
Eri menetelmät ovat mahdollisia
- sarja laajennus f, jossa "pieni parametri": tämä on Chapman-Enskog menetelmällä .
- a priori hypoteesi f: n muodosta, esimerkiksi sarja Hermite-polynomeja, joiden kertoimista tulee ongelman tuntemattomia: tämä on Gradin menetelmä .
- oletus ratkaisun ominaisuudesta: esimerkiksi "entropian sulkeminen" olettaa, että ratkaisu maksimoi järjestelmän entropian . Sitten ongelma ratkaistaan Lagrange-kertojilla .S=k(fHirsif-f){\ displaystyle S = k \, (f \ log ff)}
![{\ displaystyle S = k \, (f \ log ff)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab435c9162029a648f86cd86af82c00c9d59a3d)
Muut kineettiset yhtälöt
Huomaa, että numeerinen tiheys f voidaan nähdä tuote modulin toimesta kulmajakautuma määriteltävä yksikköpallonu{\ displaystyle \ mathbf {u}}
g(Ω){\ displaystyle g (\ Omega)}
f(u,x,t)=||u||(x,t)g(Ω){\ displaystyle f (\ mathbf {u}, \ mathbf {x}, t) = || \ mathbf {u} || (\ mathbf {x}, t) g (\ Omega)}![{\ displaystyle f (\ mathbf {u}, \ mathbf {x}, t) = || \ mathbf {u} || (\ mathbf {x}, t) g (\ Omega)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a052291470c513e26192e7e2afef69bbc3402cb1)
Menetelmää sovelletaan siis kineettisiin yhtälöihin, jotka kuvaavat tällaisia jakaumia, esimerkiksi säteilysiirtoyhtälö, joka liittyy fotonien lukumäärään tai luminanssiin .
L(x,t,Ω){\ displaystyle L (\ mathbf {x}, t, \ Omega)}![{\ displaystyle L (\ mathbf {x}, t, \ Omega)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a849627bbfeb39b55c6e644376ad1aaa82874a7)
Siinä tapauksessa, että jakelutoiminto liittyy skalaariin eikä enää vektorimääriin, esimerkiksi Smoluchowskin yhtälön tapauksessa , momentit ovat skalaarisia ja löydämme asioita, jotka ovat samanlaisia kuin tilastoissa käytetty momentti .
Viitteet
-
(in) Gilberto Medeiros Kremer , " Menetelmät Chapman-Enskog ja Grad and Applications " , RTO-EN-AVT 194 ,2011( lue verkossa )
-
(in) Charles David Levermore , " Ajoitus sulkeminen hierarkiat kineettisen teoriat " , Journal of Statistical Physics , vol. 83,1996
Lähdekirjat
- (en) Lev Landau ja Evgueni Lifchits , teoreettisen fysiikan kurssi: tilastollinen fysiikka , Pergamon Press ,1958
- (en) Joachim Oxenius, Hiukkasten ja fotonien kineettinen teoria: Ei-LTE- plasmaspektroskopian teoreettiset perustukset , Springer Verlag , coll. "Springer-sarja elektrofysiikassa",1986, 356 Sivumäärä ( ISBN 978-3-642-70728-5 , lue verkossa )
- (en) E.Weinan , Moniluokkaisen mallinnuksen periaatteet , Cambridge University Press ,2011, 466 Sivumäärä ( ISBN 978-1-107-09654-7 , lue verkossa )
Aiheeseen liittyvät artikkelit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">