Kostka-numero

On matematiikka , Kostka numero , parametroida kaksi osiota on kokonaisluku ja , on luonnollinen luku, joka on yhtä suuri määrä osittain standardin Young paneelit muoto ja paino . Matemaatikko Carl Kostka esitteli ne symmetristen toimintojen tutkimuksissa. ${\ displaystyle K _ {\ lambda \ mu}}$ $\ lambda$ $\ mu$ $\ lambda$ $\ mu$

Esimerkiksi jos ja , Kostkan numero laskee tapoja täyttää 5 vasemmalle kohdistetun solun kokoelma ensimmäisellä rivillä 3 solulla ja toisella 2 solulla, jotka sisältävät kerran kokonaisluvut 1 ja 2, kaksi kertaa solut. kokonaisluku 3 ja kerran kokonaisluku 4. Lisäksi kokonaislukujen on oltava tiukasti kasvavia sarakkeessa ja heikosti kasvavia peräkkäin. Kolme mahdollista taulukkoa on esitetty kuvassa, joten meillä on . ${\ displaystyle \ lambda = (3,2)}$ ${\ displaystyle \ mu = (1,1,2,1)}$ ${\ displaystyle K _ {\ lambda \ mu}}$ ${\ displaystyle K _ {(3,2) (1,1,2,1)} = 3}$

Esimerkkejä ja erikoistapauksia

Tahansa osion , Kostka määrä on yhtä suuri kuin 1: tämä on ainoa tapa täyttää Young kaavio muodon kanssa kopioita numero 1, kopioita 2, jne., Samalla kun noudatetaan olosuhteet kasvun linjojen ja sarakkeet: kaikki 1: t sijoitetaan ensimmäiseen riviin, 2 s toiseen riviin jne. Tällaista taulukkoa kutsutaan joskus Yamanouchi- muotoiseksi taulukoksi . $\ lambda$ ${\ displaystyle K _ {\ lambda \ lambda}}$ ${\ displaystyle \ lambda = (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ ldots, \ lambda _ {m})}$ $\ lambda _ {1}$ $\ lambda _ {2}$ $\ lambda$

Kostka määrä on positiivinen tai, toisin sanoen, on olemassa ainakin yksi Youngin erilaisia muodon ja painon , jos ja vain jos , ja ovat molemmat osiot sama kokonaisluku, ja jos on suurempi kuin on järjestyksessä vallan , toisin sanoen jos kaikesta . ${\ displaystyle K _ {\ lambda \ mu}}$ $\ lambda$ $\ mu$ $\ lambda$ $\ mu$ $\ lambda$ $\ mu$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} + \ cdots + \ lambda _ {k} \ geq \ mu _ {1} + \ cdots + \ mu _ {k}}$ $k$

Kostkanumeroille ei yleensä ole suljettuja kaavoja. Muutamia erikoistapauksia tunnetaan. Esimerkiksi, jos , kun taas joukko puolistandardoituja Young tämä paino on joukko standardin Young, ja määrä muotoa standardi Young taulukot saadaan kaavan suluissa (fi) ja Youngin taulukoita . ${\ displaystyle \ mu = (1,1,1, \ ldots, 1)}$ $\ mu$ $\ lambda$

Kostkanumerot ja symmetriset funktiot

Lisäksi puhtaasti kombinatorinen määritelmä on annettu edellä, Kostka numerot voidaan myös määritellä kertoimien ilmentymisen Schur polynomi kuin lineaarinen yhdistelmä on symmetrinen monomi toimintoja . Nämä toiminnot määritellään tietylle osiolle seuraavasti: ${\ displaystyle s _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle m _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ mu = (\ mu _ {1}, \ mu _ {2}, \ ldots, \ mu _ {n})}$

{\ displaystyle m _ {\ mu} = \ summa x_ {i_ {1}} ^ {\ mu _ {1}} x_ {i_ {2}} ^ {\ mu _ {2}} \ cdots x_ {i_ { n}} ^ {\ mu _ {n}}}

missä summaus on kaikkien kokonaislukujen 1 - 1 permutaatioiden yli . ${\ displaystyle (i_ {1}, i_ {2}, \ ldots, i_ {n})}$ $ei$

Ilmaus on tällöin:

{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ summa _ {\ mu} K _ {\ lambda \ mu} m _ {\ mu}. \}

Esimerkki

Kostka-numerot seitsemälle osiolle enintään kolmella termillä ovat:

${\ displaystyle K _ {() ()} = 1}$ . Tässä tarkoittaa tyhjää osiota. $()$
${\ displaystyle K _ {(1) (1)} = 1}$
${\ displaystyle K _ {(2) (2)} = K _ {(2) (1,1)} = 1}$
${\ displaystyle K _ {(1,1) (1,1)} = 1, K _ {(1,1) (2)} = 0}$
${\ displaystyle K _ {(3) (3)} = K _ {(3) (2,1)} = K _ {(3) (1,1,1)} = 1}$
${\ displaystyle K _ {(2,1) (3)} = 0, K _ {(2,1) (2,1)} = 1, K _ {(2,1), (1,1,1 )} = 2}$
${\ displaystyle K _ {(1,1,1) (3)} = K _ {(1,1,1) (2,1)} = 0, K _ {(1,1,1) (1, 1,1)} = 1}$

Nämä arvot ovat Schurin polynomien kehityskertoimet monomiaalisten symmetristen funktioiden pohjassa:

${\ displaystyle s _ {()} = m _ {()} = 1}$ (hakemisto on tyhjä osio)
${\ displaystyle s_ {1} = m_ {1}}$
${\ displaystyle s_ {2} = m_ {2} + m_ {11}}$
${\ displaystyle s_ {11} = m_ {11} = 1}$
${\ displaystyle s_ {3} = m_ {3} + m_ {21} + m_ {111}}$
${\ displaystyle s_ {21} = m_ {21} + 2m_ {111}}$
${\ displaystyle s_ {111} = m_ {111}}$

Kostka antaa näiden lukujen taulukot kokonaislukujen osioille, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin 8.

Kostkan numerot ja edustusteoria

Symmetristen funktioiden teorian ja edustusteorian väliset yhteydet osoittavat, että Kostka-numerot ilmaisevat myös moduulin hajoamisen merkkejä vastaavien esitysten muodossa , ts. ${\ displaystyle M _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle V _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle s _ {\ lambda}}$

{\ displaystyle M _ {\ mu} = \ bigoplus _ {\ lambda} K _ {\ lambda \ mu} V _ {\ lambda}.}

Mitä esityksiä yleisen lineaarinen ryhmä , Kostka numero laskee ulottuvuus paino tilan (in) , joka vastaa on redusoitumattoman esitys (tässä ja oletetaan olevan ainakin ehdoin). ${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle K _ {\ lambda \ mu}}$ $\ mu$ ${\ displaystyle V _ {\ lambda}}$ $\ mu$ $\ lambda$ $ei$

Yleistykset

Kostkanumerot ovat Kostkan (sisään) polynomien erityisiä arvoja yhdellä tai kahdella muuttujalla:

{\ displaystyle K _ {\ lambda \ mu} = K _ {\ lambda \ mu} (1) = K _ {\ lambda \ mu} (0,1).}

Huomautuksia

Kostka 1882 .
Stanley 1999 , s. 398.
Stanley 1999 , s. 315.
Lascoux 1984 , s. 1.
Jos pisteillä on vain yksi termi, löydämme Newtonin summat .
Kostka 1882 , sivut 118-120.

Bibliografia

Alain Lascoux, " Symmetriset toiminnot ", Lotharingianin seminaari kombinaattoreista , voi. 8,1984, s. 37-58, artikkeli n o B08f ( lukea verkossa )
Carl Kostka, " Symmetrischen Funktionen Formen von Symmetrischen Formen ", Journal für die reine und angewandte Mathematik , voi. 93,1882, s. 89–123 ( lue verkossa )
(en) Alain Lascoux , Bernard Leclerc ja Jean-Yves Thibon, " Plaktinen monoidi" , julkaisussa M. Lothaire , Algebraic Combinatorics on Words , Cambridge University Press , coll. "Encyclopedia of Mathematics ja sen sovellukset" ( n o 90)2002( ISBN 978-0-521-81220-7 , lue verkossa ) , s. 164-196
(en) Ian G.Macdonald , Symmetric functions and Hall polynomials , Oxford University Press , coll. "Oxfordin matemaattiset monografiat",1995, 2 nd ed. , 475 Sivumäärä ( ISBN 978-0-19-853489-1 , Math Reviews 1354144 , online-esitys )
(en) Bruce E. Sagan, Symmetrinen ryhmä: Esitykset, kombinatoriset algoritmit ja symmetriset toiminnot , New York / Berlin / Heidelberg jne., Springer, coll. " GTM " ( n o 203)2001, 2 nd ed. , 238 Sivumäärä ( ISBN 0-387-95067-2 , online-esitys )
(en) Bruce E. Sagan , ”Schur-toiminnot algebrallisessa kombinaattorissa” , julkaisussa Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , lue verkossa )
(en) Richard P. Stanley , Enumerative Combinatorics , voi. 2, Cambridge / New York / Melbourne jne., Cambridge University Press ,1999, 585 Sivumäärä ( ISBN 0-521-56069-1 ), Matemaattiset arvostelut -linkki

Käännöslähde

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista " Kostka number " ( katso luettelo kirjoittajista ) .