Ramanujanin pääluku

Vuonna matematiikka , joka on Ramanujan alkuluku on alkuluku , joka täyttää tuloksena osoitettiin Srinivasa Ramanujan liittyvät laskenta tehtävä alkulukuja .

Alkuperä ja määritelmä

Vuonna 1919 Ramanujan julkaisi uuden mielenosoituksen Bertrandin postulaatista, jonka hänen mukaansa esitti ensin Chebyshev . Kahden julkaistun sivun lopussa Ramanujan päätti yleistetyn tuloksen, joka on:

π(x)-π(x/2){\ displaystyle \ pi (x) - \ pi (x / 2)}≥ 1, 2, 3, 4, 5, ... tahansa x ≥ 2, 11, 17, 29, 41, ... sarja A104272 ja OEIS vastaavasti,

missä (x) on alkulukujen laskentatoiminto , joka on pienempi tai yhtä suuri kuin x . π{\ displaystyle \ pi}

Tämän tuloksen ilmaisu on Ramanujanin määritelmä alkuluvuista, ja numerot 2, 11, 17, 29, 41 ovat tämän määritelmän mukaiset alkuluvut. Toisin sanoen :

N : nnen ensimmäisen Ramanujan on kokonaisluku R n , joka on pienempi , täyttävän π(x)-π(x/2){\ displaystyle \ pi (x) - \ pi (x / 2)}≥ n , kaikille x ≥ R n .

Toinen tapa tuottaa tämä tulos on:

Ramanujan alkulukuja ovat kokonaislukuja R n , jotka ovat pienimmät taata, että on olemassa n alkulukuja välillä X ja X / 2 kaikille x ≥ R n .

Koska R n on pienin numero mukainen näissä olosuhteissa, se on tärkein: ja sen vuoksi on lisättävä hankkimalla toinen alkuluku x = R n . Koska se voi nousta vähintään yhdellä, π(x)-π(x/2){\ displaystyle \ pi (x) - \ pi (x / 2)}π(x){\ displaystyle \ pi (x)}π(x)-π(x/2){\ displaystyle \ pi (x) - \ pi (x / 2)}

π({\ displaystyle \ pi (}R n R n .)-π({\ displaystyle) - \ pi (}/2)=ei{\ displaystyle / 2) = n}

Luettelo Ramanujanin alkuluvuista

Ramanujanin alkulukujen ensimmäiset elementit ovat:

2 , 11 , 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491 jne.

Eriarvoisuus ja vastaavuus

Kaikille n ≥ 1,

2 n ln 2 n < R n <4 n ln 4 n

Jos n > 1, niin

p 2n < R n < p 3n ,

missä p n on n. alkuluku.

Jos n on taipumus äärettömyyteen, R n on yhtä suuri kuin 2 n : nnen ensimmäisen, eli

R n ~ p 2n ,

ja siksi käyttämällä alkuluku-lauseetta ,

R n ~ 2 n ln n .

Kaikki nämä tulokset on esitetty kirjassa " Ramanujan primes and Bertrand's postulate ", lukuun ottamatta yllä olevaa epätasa-arvoa R n < p 3n , jonka Jonathan Sondow arveli ja Shanta Laishram osoitti.

Huomautuksia ja viitteitä

1. S. Ramanujan, "Todiste Bertrandin postulaatista". Journal of the Indian Mathematical Society 11 (1919), 181–182. [1]
2. Jonathan Sondow, Ramanujan Prime mistä MathWorld
3. J. Sondow, "Ramanujanin teos ja Bertrandin postulaatti". Katkera. Matematiikka. Kuukausittain 116 (2009), 630–635. [2]

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• alkuluku
• Luettelo alkulukuista