Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan, noin vuonna 1916 Avaintiedot

Syntymä	22. joulukuuta 1887 Erode ( brittiläinen raj )
Kuolema	26. huhtikuuta 1920 Kumbakonam , lähellä Madrasia ( British Raj )
Koti	Brittiläinen Tamil Nadu Raj
Kansalaisuus	intialainen
Alueet	Matematiikka
Tunnettu	Ramanujan-muistikirjat Ramanujan- oletus Kokonaisluvun osio

Allekirjoitus

Srinivasa Ramanujan ( tamili : சீனிவாச இராமானுஜன் ; ), syntynyt22. joulukuuta 1887jotta Erode ja kuoli26. huhtikuuta 1920in Kumbakonam , on intialainen matemaatikko .

Lähtöisin vaatimaton perheen ortodoksisen Brahmins hän on itseoppinut , näyttää aina itsenäistä ja ajattelun. Hän oppii matematiikan yksin kahdesta kirjasta, jotka hän on hankkinut ennen 16-vuotiaita. Teoksista, joiden avulla hän pystyy luomaan suuren määrän tuloksia lukuteoriasta , jatkuvista murtoluvuista ja erilaisista sarjoista , samalla kun luodaan oma merkintäjärjestelmä . Akateemisen seurueen vanhentuneeksi tuomittu hän julkaisi useita artikkeleita intialaisissa matemaattisissa lehdissä ja yritti kiinnostaa eurooppalaisia matemaatikkoja hänen työstään lähettämällä heille kirjeitä.

Yksi näistä kirjeistä lähetetty Tammikuu 1913että Godfrey Harold Hardy , sisältää pitkän listan kaavoja ja lauseet ilman todisteita. Hardy pitää tätä epätavallista lähettämistä ensin huijauksena, sitten keskustelee siitä pitkään John Littlewoodin kanssa saadakseen vakuutuksen siitä, että sen kirjoittaja on varmasti "nero" , joka on nykyään usein käytetty karsintakoodi. Hardy vastaa kutsumalla Ramanujanin tulemaan Englantiin; tuloksellinen yhteistyö yhdessä Littlewoodin kanssa.

Terveysongelmat vaikuttivat koko elämänsä Ramanujanin tilaan pahenemaan Englannissa ollessaan; hän palasi Intiaan vuonna 1919, missä kuoli pian sen jälkeen Kumbakonamissa 32-vuotiaana. Hän jättää kokonaiset todistamattomat tuloskirjat (kutsutaan Ramanujanin muistikirjoiksi ), joita tutkitaan edelleen XXI - luvun alussa .

Ramanujan työskenteli pääasiassa elliptisten toimintojen ja analyyttisen lukuteorian parissa ; hänestä tuli kuuluisa laskennallisista tuloksistaan, joihin sisältyi vakioita , kuten $π$ ja $e$ , alkuluvut tai jopa kokonaisluvun osiointitoiminto , jota hän opiskeli Hardyn kanssa. Suuri matemaattisten kaavojen luoja, hän keksi useita tuhansia niistä, jotka käytännössä kaikki osoittautuivat täsmällisiksi, mutta joitain niistä pystyttiin osoittamaan vasta vuoden 1980 jälkeen; Joistakin heistä Hardy, hämmästyneenä omaperäisyydestään, sanoi, että "yksi silmäys riitti ymmärtämään, että vain huippumatemaatikko voi ajatella heitä". Niiden oli oltava totta, koska jos he olisivat olleet vääriä, kenelläkään ei olisi ollut tarpeeksi mielikuvitusta niiden keksimiseksi .

Elämäkerta

Nuoret

Ramanujan (san . " Rāman nuorempi veli ") syntyi22. joulukuuta 1887in Erode , että nykytila Tamil Nadun vuonna Intiassa , asuinpaikka hänen äidin isovanhemmat. Hänen isänsä, K.Srinivasa Iyengar, syntynyt Thanjavurissa , työskentelee virkailijana sarikaupassa . Hänen äitinsä, Komalathammal, on kotiäiti ja ansaitsee rahaa laulamalla temppelissä. Hänellä on useita veljiä, joista vain kaksi selviää lapsenkengistä: Lakshmi Narasimhan (1898-1946) ja Thirunarayanan (1905-1978).

Kun hän oli vuoden ikäinen, hän tuli asumaan isänsä luokse perinteiseen taloon Sarangapani-kadulle Kumbakonamissa (vuonna 2003 tämä talo muutettiin hänen työnsä kunniaksi museoksi); hän vietti suurimman osan seuraavista kaksikymmentä vuotta siellä. SisäänJoulukuu 1889, Ramanujan sairastui isorokoon , mikä arpisi hänet koko elämänsä ajan. Sitten hän muutti äitinsä isovanhempien taloon, asui sillä välin Kanchipuramissa , lähellä Madrasia .

1. st lokakuu 1892, Ramanujan tulee peruskouluun; kahden seuraavan vuoden aikana hänen koulunkäyntinsä oli kaoottinen. Hänen isoäitinsä menettänyt työpaikkansa tuomioistuimen virkamiehenä Kanchipuramissa, hän ja hänen äitinsä palaavat Kumbakonamiin, jossa hän on kirjoilla Kangayanin peruskouluun. Isänisänsä kuoltua hänet lähetettiin takaisin äidin isovanhempien luo, jotka sitten muuttivat Madrasiin. Koska hän ei tue Madrasin koulua, hän ohittaa koulun , mikä johtaa hänen perheeseensä soittamaan poliisiin varmistaakseen, että hän todella menee. Kuusi kuukautta myöhemmin Ramanujan palasi Kumbakonamiin.

Siitä lähtien Ramanujanin isä on monopoloitu työnsä takia, äiti huolehtii hänen koulutuksestaan. Hän opettaa hänelle erityisesti Brahmin-perinnettä ja puranaa sekä uskonnollisia lauluja, jotta hän voi osallistua pujoihin . Palattuaan Kangayanin peruskouluun Ramanujanista tulee siellä loistava oppilas. SisäänMarraskuu 1897, juuri ennen kymmenentenä syntymäpäiväänsä, hän sijoittui ensimmäisenä lähiympäristössään ala-asteen loppukokeisiin (englanniksi, tamiliksi, maantiede ja laskutoimitus). Samana vuonna Ramanujan kohtasi "abstraktin" matematiikan ensimmäistä kertaa toisen asteen koulutuksensa aikana.

Vuonna 1898 (hän oli yksitoista vuotta vanha) kaksi opiskelijaa Kumbakonamin valtion korkeakoulusta (korkeakoulu) majoitettiin hänen vanhempiensa luo. Saatuaan uutettu kaikki matemaattista osaamista heiltä, hän sai niistä lainaa kirjoja, erityisesti Tasotrigonometria , Sidney Luxton Loney. Kolmetoista ikävuodesta lähtien hän oppi tämän kirjan tiedon ja löysi uudelleen joitain lauseita. 14-vuotiaana hän sai vastaavan ranskalaisen ylioppilastutkinnon ja yliopiston stipendin.

Viideksitoista, Ramanujan lainattu kirjaston hallituksen College Synopsis puhdasta matematiikkaa , jonka George Shoobridge Carr , joka sisältää useita tuhansia tulosten analyysin ja geometria, mutta antaa vain muutamia viitteitä heidän mielenosoituksissa (joka Hardy on valitettavaa jatkuminen liittämällä tämä työ on elliptinen ja ei tiukka Ramanujanin tyyli). Tämä kirja tuo kuitenkin Ramanujanin matematiikan universumiin. 17-vuotiaana hän tutki perusteellisesti Bernoullin lukuja ja laski Eulerin vakion 15 desimaalin tarkkuudella; tuolloin hänen toverinsa väittävät ymmärtävänsä häntä vain harvoin .

Valmistunut Kumbakonamin kaupungin lukiosta vuonna 1904, Ramanujan sai koulun rehtorilta Krishnaswami Iyeriltä K. Ranganatha Rao -palkinnon matematiikasta. Viimeksi mainittu suositteli häntä Government Collegeen kutsumalla häntä poikkeukselliseksi opiskelijaksi. Mutta koska keskittyy pelkästään matematiikkaan, Ramanujan menettää apurahansa ja jättää perheen kodinElokuu 1905, asettua Visakhapatnamiin . Vuoden 1906 alussa hän ilmoittautui Pachaiyappan korkeakouluun Madrasiin. Silti erinomainen matematiikassa, mutta huono muilla aloilla, kuten biologiassa, Ramanujan epäonnistuu tentissäJoulukuu 1906ja epäonnistuu jälleen seuraavana vuonna. Vuodesta 1908 hän ei enää yrittänyt seurata tavanomaista kurssia, vaan jatkoi matematiikan henkilökohtaista tutkimusta elämällä suuressa aineellisessa köyhyydessä; tuolloin, paperin puutteen vuoksi, hän suoritti laskutoimituksensa ja päättelynsä päähänsä tai laatikollaan ja merkitsi muistiinpanoon vain lopulliset tulokset; hän pitää tämän työskentelytavan koko elämänsä ajan; lisäksi hänen eristyneisyytensä saa hänet rakentamaan henkilökohtaisen luokitusjärjestelmän , joka tekee työnsä myöhemmin vaikeasti tulkittavaksi.

Ensimmäiset teokset

Ramanujanin perhe on huolissaan epäonnistumisistaan, jotka peittävät hänen tulevaisuutensa, päättää mennä naimisiin hänen kanssaan. 14. heinäkuuta 1909Siksi hän menee naimisiin Janaki Ammalin (10-vuotiaan) kanssa. Selviytyäkseen hän valmistaa opiskelijoita loppukokeisiinsa presidenttiopistossa . Terveysongelmia, jotka olivat ilmestyneet vuoden 1900 lopussa, hän pyytää ystäväänsä Radakrishna Iyerin antamaan epäonnekseen matemaattiset muistikirjansa professori Singaravelu Mudaliarille Pachaiyappan kollegiosta tai brittiläiselle professorille Edward B. Rossille Christian Collegesta. .

Toipumisensa jälkeen Ramanujan lähti junalla Kumbakonamista Viluppuramiin , kaupunkiin, joka oli silloin ranskalaisen valvonnassa, ja tapasi Intian matematiikkaseuran perustajan V.Ramaswamy Aiyerin . Ramanujan, joka harkitsee työpaikkaa reseptiosastolla, jossa Ramaswamy työskentelee, näyttää hänelle matematiikkamuistionsa. Kuten Ramaswamy myöhemmin kertoi: ”Minut hämmästyivät niiden sisältämistä poikkeuksellisista matemaattisista tuloksista. Minulla ei ollut sydäntä tukahduttaa hänen nerokkuuttaan antamalla hänelle matalan tason virka budjettiministeriössä. "

Ramaswamy lähettää Ramanujanin Madrasille, joka toimitetaan suosituskirjeillä, matemaatikko-ystäville, joilta hän saa uudet suosituskirjeet Intian matemaatikkoseuran sihteeriltä R. Ramachandra Raolta . Jälkimmäiseen vaikuttavat Ramanujanin tulokset, samalla kun he epäilevät niiden aitoutta; vasta kun hän on keskustellut tämän nuorten ihmeiden kanssa elliptisistä integraaleista , hypergeometrisistä sarjoista ja eroavista sarjoista , hän on vakuuttunut kyvyistään. Pyydettyään Ramachandraa työllisyyteen ja taloudelliseen tukeen Ramanujan lähetetään Madrasiin , missä hän voi jatkaa tutkimusta, kun taas Ramaswamy auttaa häntä julkaisemaan tulokset Journal of the Indian Mathematical Society -lehdessä .

Yksi hänen ensimmäisistä kirjoituksistaan tähän päiväkirjaan on ongelma, joka pyytää määrittämään äärettömän sisäkkäisen radikaalin arvon , joka on varmasti epätavallinen esine, mutta jonka ei pitäisi pelotella matemaatikkoa. Kuitenkin kuuden kuukauden kuluttua, koska hän ei vieläkään ole saanut ratkaisua, hän julkaisee vastauksen ja joitain yhteenvetoja sen saamiseksi.

Vuonna 1911 Ramanujan kirjoitti Journalille seitsemäntoista sivun artikkelin Bernoullin numeroista, joka sisälsi useita lauseita ja oletuksia. Tällä hetkellä hänen kirjoitustyylinsä jätti vielä paljon toivomisen varaa. MT-Narayana Iyengarin, päätoimittaja lehden , kirjoitti , ”Mr. Ramanujanin menetelmät olivat niin lakoninen ja uusia, ja hänen esityksensä niin epäselvä ja epätarkka, että tavalliset matemaatikko lukija, tottunut tällaiseen henkiseen voimistelu., Tuskin seuraa häntä. "

Sisään Maaliskuu 1912, Ramanujan saa vihdoin pysyvän kirjanpitäjän tehtävän Madrasin rahastonhoitajasta, mikä jättää hänelle tarpeeksi vapaa-aikaa omistautua kokonaan matematiikalle.

Yhteys brittiläisiin matemaatikoihin

Lopussa 1912, Narayana, Ramachandra ja Edgar William Middlemast yrittävät esitellä Ramanujanin työtä brittiläisille matemaatikoille. Micaiah John Muller Hill ( University College London ) pitää Ramanujanin artikkeleita liian epätäydellisinä, ja väittää, että vaikka Ramanujan "maistuu matematiikalta ja todellisilta kyvyiltä" , häneltä puuttuu tarvittavat perusteet muiden matemaatikkojen hyväksymiseksi. Vaikka Hill ei tarjoa ottaa Ramanujania opiskelijaksi, hän tarjoaa hänelle yksityiskohtaisia ammatillisia neuvoja työstään. Ystäviensä avustamana Ramanujan kirjoitti sitten kirjeitä Cambridgen yliopiston arvostetuimmille matemaatikoille .

Kaksi ensimmäistä, Henry Frederick Baker ja Ernest William Hobson , palauttavat Ramanujanin artikkelit ilman kommentteja. 16. tammikuuta 1913, Ramanujan lähettää sitten Godfrey Harold Hardylle yhdeksän sivun kirjeen, jonka jälkimmäinen ottaa ensin huijaukseksi: Hardy tunnistaa jotkut siellä esiintyvistä kaavoista, mutta toiset "näyttävät tuskin uskottavilta" hänelle . Erityisesti suurin osa käsikirjoituksen viimeisen sivun kummallisista jakeista jättää Hardyn hämmentyneeksi; Tunnustamalla, ettei hän ollut "koskaan ennen nähnyt mitään, mikä edes hämärästi muistuttaa heitä" , hän tekee heistä tämän huomautuksen, josta on nyt tullut kuuluisa: "Näiden lauseiden on oltava totta, koska jos ne eivät olisi totta, kenelläkään ei olisi tarpeeksi mielikuvitusta keksiä ne ” .

Hardy pyytää sitten kollegaansa J. Littlewoodia lukemaan tämän käsikirjoituksen. Hämmästyneenä jälkimmäinen vahvistaa, että se voi tulla vain "nero-mieheltä" (nykyään usein käytetty karsinta). Hardy julistaa Ramanujanin kuoltua, että tämä kirje on "varmasti kaikkein merkittävin, mitä hän on koskaan saanut", ja osoittaa, että sen kirjoittaja on "korkealaatuinen matemaatikko, poikkeuksellisen voimakas ja omaperäinen mies" .

8. helmikuuta 1913Hardy reagoi Ramanujan, ilmaisi kiinnostuksensa työnsä, ja merkki siitä, että se on "välttämätöntä, että hän tutkii osoitus tiettyjä tuloksia . " Jo ennen kuin kirje saapui Madrasiin, Hardy otti yhteyttä Intian toimistoon tavoitteenaan järjestää Ramanujanille oleskelu Cambridgessa. Intian opiskelijaapukomitean sihteeri Arthur Davies tapasi Ramanujanin vuoden 1914 alussa keskustellakseen vierailun yksityiskohdista, mutta jotta hän ei olisi ristiriidassa hänen brahminikoulutuksensa kanssa eikä loukannut perhettään, Ramanujan kieltäytyi lähtemästä maastaan. "vieras maa" . Hän on kuitenkin tällä välin lähettänyt Hardylle toisen kirjeen, joka on täynnä lauseita ja jossa hän kirjoittaa: "Olen löytänyt sinusta ystäväni, joka tutkii työtni ystävällisesti" ; Gilbert Walker , joka työskenteli Hardyn kanssa Trinity Collegessa , opiskeli sitten Ramanujanin töitä ja ilmaisi hämmästyksensä vaatien, että nuori mies tuli töihin Cambridgeen.

Kun hän päätti jäädä Intiaan, Narayana ja Ramachandra kokoavat yhteen Madrasin yliopiston matemaattisten opintojen toimiston keskustelemaan "mitä voidaan tehdä Ramanujanin hyväksi" . Toimisto päättää myöntää hänelle 75 rupiaa kuukaudessa tutkimusapurahaa kahdeksi vuodeksi (yli kaksinkertainen hänen kirjanpitäjän palkkansa). Tänä aikana Ramanujan jatkoi artikkeleiden julkaisemista Journal of the Indian Mathematical Society -lehdessä . Niinpä Narayana julkaisee tiettyjä lauseita erilaisten sarjojen yhteenlaskemisesta osoittamalla ne hänelle; toinen tässä lehdessä julkaistu sarja lauseita koskee tiettyjen integraalien laskemista, Ramanujanin yleistämän menetelmän Giuliano Frullanin takia .

Kun Ramanujan kieltäytyy Hardyn kutsusta, kirjeenvaihto hänen kanssaan heikkenee jonkin verran; Hardy tarjoaa sitten Madrasissa luentoja pitävän kollegansa EH Nevillen valvomaan Ramanujanin työtä ja yrittää vakuuttaa hänet tulemaan. Tämä osoittautuu hyödyttömäksi, koska Ramanujanin äidillä on sillä välin unelma, jossa perheenjumalatar Namagiri Thayar suositteli, ettei "enää tule poikansa ja hänen kohtalonsa täyttymisen väliin". Ramanujan lähti sitten Englantiin, jättäen tuolloin viisitoista-vuotiaan vaimonsa vanhempiensa hoitoon.

Pysy Englannissa

Ramanujan saapuu Lontooseen 14. huhtikuuta 1914kuukauden ylityksen jälkeen; Neville tervehtii häntä, joka vie hänet kotiinsa Cambridgessa, ja hän alkaa heti työskennellä Hardyn ja Littlewoodin kanssa. Kuuden viikon kuluttua Ramanujan siirtyy Wheewell's Courtiin, viiden minuutin kävelymatkan päässä Hardyn paikalta, ja Hardy ja Littlewood voivat tutkia vihkojaan. Hardy on jo saanut 120 kaavaa ja teoreemaa kahdessa ensimmäisessä kirjaimessa, mutta muistikirjat sisältävät paljon enemmän. Jotkut ovat vääriä, ja toiset tunnetaan jo, mutta suurin osa on tärkeitä löytöjä, jotka antavat vahvan vaikutelman molemmista. Littlewood kommentoi "uskovansa häneen ainakin Jacobin kaliiperi ", kun taas Hardy "voi verrata häntä vain Euleriin tai Jacobiin" . Hardy, joka halusi luokitella matemaatikot asteikolla 1-100, antoi myöhemmin itselleen 25, antaen Littlewoodille 30, David Hilbertille 80 ja Ramanujanille 100.

Hardy ja Ramanujan ovat vastakkaisia persoonallisuuksia, ja heidän yhteistyössään vastakkaiset kulttuurit, uskomukset ja jopa työskentelytavat ovat ristiriidassa. Aikaisempien vuosikymmenien aikana lännessä on ollut matematiikan perusteiden kriisi , joka vaatii tiukkaa lähestymistapaa todisteisiin, jonka Hardy on kiihkeä kannattaja, kun taas Ramanujan luottaa vaistoonsa ja häikäiseviin intuitioihinsa. Hardy tekee parhaansa täyttääkseen aukot Ramanujanin koulutuksessa ja vakuuttaakseen hänet perustamaan tuloksensa tiukkaan todistukseen rajoittamatta inspiraatiotaan; näiden kahden lähestymistavan välinen ristiriita on ahdistava kaikille, ja Hardy valitti myöhemmin useaan otteeseen, että Ramanujan ei saanut perinteisempää koulutusta, mikä olisi kenties "antanut hänelle mahdollisuuden tulla aikansa suurimmaksi matemaatikoksi" ; hän huomauttaa kuitenkin, että hänellä ei ollut aikaa kysyä häneltä, mistä hänen tietonsa tarkalleen tuli, koska hän sanoo: "miksi kysyisin häneltä, tiesikö hän tällaisen ja sellaisen tuloksen, kun hän kertoi minulle? päivä näytti puoli tusinaa uusia lauseita? "

Ramanujan sai maaliskuussa 1916 "tutkimuksen" kandidaatin tutkinnon (ei enää nykyistä tohtorintutkintoa vastaavaa ), työstään erittäin yhdistelmäluvuista , joista ensimmäinen osa julkaistiin Proceedings of the London Mathematical Society -lehdessä . Tämä yli 60-sivuinen artikkeli osoittaa näiden numeroiden monia ominaisuuksia; Hardy on huomautus "että tämä oli erikoisin osa tutkimusta, ja että Ramanujan oli osoittanut satunnaisia kekseliäisyyttä siinä . "

6. joulukuuta 1917, hänet hyväksytään Lontoon matemaattiseen seuraan ; Vuonna 1918 hänet valittiin Royal Societyn jäseneksi " elliptisiä toimintoja ja lukuteoriaa koskevasta tutkimuksestaan" . Hänestä tuli toinen intialainen, joka hyväksyttiin Ardaseer Cursetjeen jälkeen vuonna 1841. Samana vuonna13. lokakuuta, hän on ensimmäinen intialainen, josta on tullut Trinity Collegen stipendiaatti .

Kaiken kaikkiaan Ramanujan vietti melkein viisi vuotta Cambridgessä julkaisemalla siellä useita löytöjään, noin kahdessakymmenessä artikkelissa, jotka hänen kuolemansa jälkeen kerättiin Hardyn ja hänen yhteistyökumppaneidensa kirjassa; ensimmäisen maailmansodan ei estänyt näitä artikkeleita houkuttelee paljon huomiota, sillä he avannut uusia mahdollisuuksia tutkimuksen.

Sairaus ja kuolema

Koko elämänsä ajan Ramanujania vaivasi terveysongelmat. Hänen tilansa heikkeni Englannissa, johtuen ehkä ilmastosta ja vaikeuksista ylläpitää hänen ortodoksisen brahmanisminsa edellyttämää tiukkaa kasvisruokavaliota keskellä vuosien 1914 ja 1918 välisen sodan aiheuttamia rajoituksia. Tuberkuloosi diagnosoitu ja kärsii 'vakavasta vitamiinipuutoksesta hän osallistui useiden sairaaloiden vuodesta 1917, ennen kuin se, joka on hyväksytty parantola vuonna Putney , jossa Hardy kävi häntä usein. Helmikuussa 1918 nuori matemaatikko yritti hyvin masentuneena, heikentyneenä ja demoralisoituna näissä laitoksissa tarjottavan ruoan avulla yrittää itsemurhaa heittämällä itsensä Lontoon maanalaisen junan pyörien alle . Keväästä 1918 peräkkäin hyvät uutiset, mukaan lukien pääsy kuninkaalliseen seuraan, palautti kuitenkin hänen moraalinsa, kun taas sodan loppu marraskuussa antoi hänen harkita paluuta Intiaan.

Maaliskuussa 1919 hän oli ilmeisesti terveellisempi, mutta silti herkkä, ja hän palasi Kumbakonamiin vaimonsa ja vanhempiensa luokse. hänen maineensa (Englannissa saatujen arvosanoiden takia) edelsi häntä, ja hänelle tarjottiin erityisesti yliopiston professorin tehtävä Madrasissa, jonka hän ilmoitti hyväksyvän heti kun hän oli täysin parantunut; Ehkä liiallisesta kuumuudesta johtuen se alkaa taas heikentyä kesän aikana, mikä ei estä sitä jatkamasta uusien matemaattisten tulosten tuottamista, mutta sen viimeiset kuukaudet ovat melko tuskallisia; hän kuolee26. huhtikuuta 1920, 32- vuotiaana .

Vuonna 1994 tohtori DAB Youngin analyysi Ramanujanin lääketieteellisistä tiedoista ja oireista johti hänet siihen johtopäätökseen, että hänen sairautensa näytti paljon enemmän kuin maksan ameboosi (Madrasissa sitten endeeminen tauti) kuin tuberkuloosi. Ramanujan oli todellakin kokenut kaksi punataudin jaksoa ennen lähtöään Intiasta. Kuitenkin, kun sitä ei hoideta asianmukaisesti, punatauti voi todellakin muuttua krooniseksi ja johtaa ameboosiin, vaikka se on diagnosoitu oikein (mutta virheet eivät silloin olleet harvinaisia), tauti olisi voitu hoitaa ja jopa parantaa mahdollisimman pian.

Persoonallisuus ja uskonnollinen elämä

Intialaiset ystävänsä kuvaavat Ramanujania ystävälliseksi ja hiljaiseksi, joka pystyy vitsaamaan tamiliksi ja englanniksi; intohimonsa matematiikkaan antaa hänelle viehätyksen ja viattomuuden, jotka kaikki tunnistavat hänet, ja houkuttelee häntä ystäviin, jotka haluavat auttaa häntä. In Cambridge , seurueineen puhui häntä kumppani kanssa ujo ja rauhallinen luonne, mutta animoitu viestinnällinen innostusta, kun hän esitteli matemaattisia tai filosofinen ideoita pienryhmissä; hän on kelvollinen hahmo, jolla on miellyttävä tapa ja spartalainen olemassaolo.

Ramanujan aikaisin Intian elämäkerran kiinni hänen tiukasti ortodoksisen hindulaisuus , ja väite, että hän määritteet hänen ajattelun taidot hänen perheensä jumalatar , Namagiri Thayar , jolle hän luottaa innostaa häntä työssään ja jota hän väittää unelmoinut veripisaroita symboloi hänen aviomies, Narasimha , avatar ja Vishnu , saatuaan visioita kääröt monimutkaisia matemaattisia kaavoja piirtyy hänen silmiensä edessä. Näiden elämäkerta-kirjoittajien mukaan Ramanujan sanoo usein: ”Yhtälöllä minulle ei ole merkitystä, ellei se edusta Jumalan ajatusta. "

Hardy halusi kuitenkin olla pitämättä Ramanujania mystikkona, jonka matemaattiset inspiraatiot tulisivat "salaperäisestä ja ikimuistoisesta itäisestä viisaudesta" , kuvailen häntä sen sijaan "järkeväksi ihmiseksi, joka sattui olemaan suuri matemaatikko" ; hän lainaa (vaatien hämmästystä, jonka he aiheuttivat hänelle) Ramanujanin huomautukset, jotka osoittavat, että kaikki uskonnot "näyttivät hänelle enemmän tai vähemmän yhtä totta" . Hardy päätteli, että länsimaalaiset olivat idealisoineet Ramanujanin hurskauden ja intialaiset elämäkerransa liioittaneet sitä; Hän kuitenkin mainitsi vain uskomuksensa eikä uskonnollisia käytäntöjään ja valitti päinvastoin kasvissyöntiön tiukan noudattamisen valitettavista seurauksista hänen terveydelleen ja ehkä työhönsä.

Matemaattinen työ

Teoreettiset lausunnot

Ramanujan työtä keskitytään eri näkökohtia lukuteoria (esimerkiksi , Ramanujan alkulukuja, erittäin yhdisteiden numerot , Rogers-Ramanujan identiteettejä , tai yksityiskohtainen tutkimus, toteutettiin yhteistyössä Hardy, funktion antaa määrän osioita kokonaisluvun ja erityisesti tästä aiheesta hänen nimensä mukaiset yhtymäkohdat ) ja erityisesti analyyttisten menetelmien, kuten ympyrän menetelmän (jota hän auttoi kehittämään), käytöstä tässä teoriassa sekä elliptisten ja modulaaristen toimintojen käytöstä ja teeta-toiminnot ; Paul Erdős katsoi myös, että hän oli aloitteentekijä, vuonna combinatorics , ja probabilistinen menetelmiä . Hän teki myös löydöt useilla muilla aloilla matematiikan, kuten analyysin kanssa summattu Ramanujan tai " master teoreema ", sekä hedelmällistä arveluja , kuten ne, jotka koskevat tau-toiminto .

Kaavat

Ramanujan on kuuluisa poikkeuksellisesta tuottavuudestaan kaavojen suhteen. Hardy sanoi viitaten Leonhard Euleriin , joka oli myös merkittävien kaavojen luoja , että hän "syntyi 150 vuotta liian myöhään" , ja kun hän kirjoitti hänelle vuonna 1913 lähettämänsä kirjeen, niiden sisältämät kaavat eivät voi olla oikeassa, koska "kenelläkään ei olisi ollut riittävästi mielikuvitusta keksiä heidät ja että he ovat vääriä" .

Jaettuna kolmeen muistikirjaan , samoin kuin vuonna 1976 uudelleen löydettyihin sirotelineisiin, joita kutsutaan "kadonneiksi muistikirjoiksi", yhteensä noin 700 sivua , useita tuhansia sen tuloksia on analysoitu ja nyt kaikki on osoitettu (joskus l tietokonetyökalujen avulla): hyvin harvat ovat vääriä (useimmiten kopiointivirheiden seurauksena) ja kaksi kolmasosaa on alkuperäisiä. Ramanujan ei ollut joitakin teorioita, tuntematon tai kehitteillä alussa XX : nnen vuosisadan kun analyyttinen lukuteoria , ja unohdetaan jopa perusteet tulosten monimutkainen analyysi kuin lauseen jäämien menetelmät se on mahdollistanut löytää tällaisia määrä kaavoja ja lauseita on epäselvä. Seuraavissa osioissa annetaan käsitys näiden kaavojen erilaisuudesta.

Kirje lomakkeille Hardylle

Ramanujanin ensimmäinen kirje Hardylle, päivätty 16. tammikuuta 1913, koostuu pääosin kaavoista ja lauseista ilman todisteita. Hardy tunnustettu joitakin niistä, mutta toiset "tuskin vaikutti uskottavalta . " Siksi sivun 3 alaosassa näkyy seuraava identiteetti:

{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {(b + 1) ^ {2}}}} { 1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}}} kertaa {\ frac {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {(b + 2) ^ {2} }}} {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {(a + 1) ^ {2}}}}}} kertaa \ cdots \, \ mathrm {d} x \ quad = \ quad & {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ kertaa {\ frac {\ Gamma \ vasen (a + {\ frac {1} {2}} \ oikea) \ Gamma (b + 1) \ Gamma (b - a + 1)} {\ Gamma (a) \ Gamma \ vasen (b + {\ frac {1} {2}} \ oikea) \ Gamma \ vasen (ba + {\ frac {1} {2}} \ oikea)}}, \ lopeta {tasattu}}}

voimassa $0 < a < b + 1 / 2$ Ja jossa gamma-funktion $Γ$ , koska Euler , yleistää kertoma on realeina (se varmentaa ja kokonaislukuja). Gustav Conrad Bauer oli jo saavuttanut tämän tuloksen vuonna 1859, mutta Hardy ei tiennyt siitä tuolloin. ${\ displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (n) = (n-1)!}$

Hardy oli myös erittäin vaikuttunut joistakin Ramanujanin käsittelemistä äärettömistä sarjoista, esimerkiksi kahdesta seuraavasta:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} 1 \; \; & - \; 5 \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {3} \; + \; \; 9 \; \ vasen ({\ frac {1 \ kertaa 3} {2 \ kertaa 4}} \ oikea) ^ {3} \; - \; 13 \ vasen ({\ frac {1 \ kertaa 3 \ kertaa 5} {2 \ kertaa 4 \ kertaa 6}} \ oikea) ^ {3} \; \; + \ cdots = \; {\ frac {2} {\ pi}}, \\ 1 \; \; & + \; 9 \ vasen ( {\ frac {1} {4}} \ oikea) ^ {4} \; + \; 17 \ vasen ({\ frac {1 \ kertaa 5} {4 \ kertaa 8}} \ oikea) ^ {4} \ ; + \; 25 \ vasen ({\ frac {1 \ kertaa 5 \ kertaa 9} {4 \ kertaa 8 \ kertaa 12}} \ oikea) ^ {4} \; + \ cdots = \; {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, \ left (\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) \ right) ^ {2}}}, \\\ end {tasattu}}}

jossa kertoimet ovat aritmeettisessa etenemisessä (1, 5, 9, 13,… ja 1, 9, 17, 25,…). Hardy pystyi osoittamaan nämä tulokset jälleen hypergeometristen sarjojen ominaisuuksien avulla, jotka laajensivat Eulerin ja Gaussin työtä , mutta hän kuitenkin havaitsi, että ne olivat "paljon yllättävämpiä" kuin Gaussin tulokset.

Lauseet jatkuvista murto- osista käsikirjoituksen viimeisellä sivulla, kuten tämä ( Jacobi on jo osoittanut ja lähellä Gaussin tiedossa olevia tuloksia ):

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} e ^ {- x ^ {2}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ operaattorin nimi { erf} (a) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} - {\ cfrac {{\ rm {e}} ^ {- a ^ {2}}} {2a + {\ cfrac { 1} {a + {\ cfrac {2} {2a + {\ cfrac {3} {a + {\ cfrac {4} {2a + \, \ cdots}}}}}}}}}}}}}}

, jossa erf on virhetoiminto

useimmat heistä lähti Hardy ymmällään: hän "koskaan nähnyt mitään edes etäisesti kuin niitä ennen . "

Yleistetyt jatkuvat fraktiot

Kaksi upeaa esimerkkiä Ramanujanin luovuudesta ovat seuraavat kaavat:

{\ displaystyle {\ sqrt {\ varphi +2}} - \ varphi = {\ cfrac {{\ \ rm {e}} ^ {- 2 \ pi / 5}} {1 + {\ cfrac {{\ rm {e }} ^ {- 2 \ pi}} {1 + {\ cfrac {{\ rm {e}} ^ {- 4 \ pi}} {1 + {\ cfrac {{\ rm {e}} ^ {- 6 \ pi}} {1 + \, \ cdots}}}}}}}}}}

yhdistävät $E$ , $π$ ja kultainen suhde , (tämä kaava ilmestyi hänen ensimmäinen kirjain Hardy, ja oli yksi niistä, jotka ”näytti ei mitään hän tunsi” ), ja toinen liittyy $e$ ja $π$ : $\ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt 5}} 2}$

{\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9}} + \ cdots + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1+ {\ cfrac {2} {1 + {\ cfrac {3} {1 + {\ cfrac {4} {1+ \ cdots}}}}}}}}}}}}}} = {\ sqrt {\ frac {{\ rm {e}} \ pi} {2}}}.}

Tämä toinen kaava yhdistää loputtoman sarjan ja yleistetyn jatko-osan , jolloin saadaan suhde matematiikan kahden tunnetuimman vakion välille .

Sarja

π: lle

Veljet Jonathan ja Peter Borwein esittivät vuonna 1987 joukon kaavoja, jotka Ramanujan oli löytänyt vuonna 1910 ja jotka ilmestyivät hänen ensimmäisessä Englannissa julkaistussa artikkelissaan (ilman mielenosoituksia ja vain muutamalla epämääräisellä merkinnällä alkuperästä), joista eniten yllättävä (ja lisäksi tehokkain) on:

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ displaystyle \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(4n)!} {(N!) ^ {4}}} \ kertaa {\ frac {1103 + 26390n} {(4 \ kertaa 99) ^ {4n}}}}

Tämä kaava antaa kahdeksan ylimääräistä desimaalipistettä 1 / $π$ kullekin sarjan uudelle termille (ja tuottaa ensimmäiseltä termiltä erinomaisen likiarvon sisäpuolella ). ${\ displaystyle \ pi \ simeq {\ frac {9801 {\ sqrt {2}}} {4412}}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- 7}}$

Hardy huomautti, että Ramanujanin havainnot piilottavat usein syvempiä teorioita kuin ne näyttävät; edellinen tulos olisi siis tullut tutkimuksesta, joka koski luokkien lukumäärän h ( d ) = 2 ” perussyrjintä ” $d$ = −4 × 58 = −232 ja liittyisi ” numeeriseen sattumaan ” (meillä on todellakin 26390 = 5 × 7 × 13 × 58, 16 × 9801 = 396 2 ja 1103 = 19 × 58 + 1). ${\ textstyle e ^ {\ pi {\ sqrt {58}}} = 396 ^ {4} -104.000000177 \ pistettä.}$

Sisäkkäiset radikaalit

Yhdessä ensimmäisistä julkaisuistaan Journal of the Indian Mathematical Society -lehdessä Ramanujan pyysi määrittämään loputtomien sisäkkäisten radikaalien , kuten

{\ displaystyle r = {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {1 + 3 {\ sqrt {1+ \ cdots}}}}}}}}

; hänen ensimmäisen muistikirjansa sivulta 105 löytyy yleisempi kaava:

{\ displaystyle x + n + a = {\ sqrt {ax + (n + a) ^ {2} + x {\ sqrt {a (x + n) + (n + a) ^ {2} + (x + n) {\ sqrt {\ cdots}}}}}}}}

, josta päätellään, että Journal- kysymyksen ratkaisu on yksinkertaisesti r = 3 .

"Kadonneesta muistikirjasta" löydämme muita vieläkin näyttävämpiä kaavoja

{\ displaystyle {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 - {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5- \ cdots}}} }}}}}}}}}}}} = {\ frac {2 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {15-6 {\ sqrt {5}}}}} {2}}}

(missä merkkijono toistuu säännöllisesti).

{\ displaystyle (+, +, -, +)}

Muut algebralliset identiteetit

Hänen virtuoosisuus manipuloiden algebrallisia numeroita sai hänet tuottamaan yllättäviä yhtäläisyyksiä, kuten:

{\ displaystyle \ left (\ cos {\ frac {2 \ pi} {9}} \ right) ^ {1/3} + \ left (\ cos {\ frac {4 \ pi} {9}} \ right) ^ {1/3} - \ vasen (\ cos {\ frac {\ pi} {9}} \ oikea) ^ {1/3} = \ vasen ({\ frac {3 (9 ^ {1/3} - 2)} {2}} \ oikea) ^ {1/3}}

jonka hän oli ehdottanut ongelmaksi myös Journal of the Indian Mathematical Society -lehdessä .

Hieman erilaisessa muodossa hän löysi myös useita identiteettejä, joiden avulla pystyttiin rakentamaan esimerkkejä kuution suuruisista kolmen kuution summista, kuten tämä:

(3x ^ {2} + 5xy-5y ^ {2}) ^ {3} + (4x ^ {2} -4xy + 6y ^ {2}) ^ {3} + (5x ^ {2} -5xy-3y ^ {2}) ^ {3} = (6x ^ {2} -4xy + 4y ^ {2}) ^ {3}

joka yleistää utelias numeerinen sattuma 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3 = 216 varten x = 1 ja y = 0; ne on helppo tarkistaa yksinkertaisella algebrallisella laajennuksella, mutta näyttävät vaikealta saada niitä ilman yleistä teoriaa; jälleen kerran ei tiedetä, onko Ramanujanilla ollut sellainen (kysymyksellä voi olla jotain tekemistä taksilukun teorian kanssa ).

Numeeriset likiarvot

Ensimmäisessä Cambridgessa kirjoitetussa artikkelissa Ramanujan tarjoaa hämmästyttäviä numeerisia likiarvoja (eritellen tehdyn virheen, mutta hyvin vähän perusteluja), kuten

{\ displaystyle \ pi \ simeq {\ frac {12} {\ sqrt {190}}} \ ln ((3 + {\ sqrt {10}}) ({\ sqrt {8}} + {\ sqrt {10} }))}

( tarkasti, toisin sanoen 18 tarkalla desimaalilla).

{\ displaystyle 10 ^ {- 18}}

Hän tuo samassa artikkelissa myös kolme esimerkkiä "melkein kokonaisista" numeroista :

{\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {22}}} = 25089519982 \ pistettä}

{\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {37}}} = 199148647,999978 \ dots}

{\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {58}}} = 24591257751,99999982 \ pisteet}

Samanlainen ilmiö esiintyy Heegner-numeroilla ; tämä antoi Martin Gardnerille ajatuksen huhtikuun päivästä, kun Ramanujanille annettiin ennuste, joka olisi koko; tästä syystä tämä jälkimmäinen luku tunnetaan joskus Ramanujan-vakiona . $e ^ {{\ pi {\ sqrt {163}}}}$

Taksianekdootti

Ramanujan näytti poikkeuksellisen muistin numeroista ja niiden ominaisuuksista. Hardy kertoo seuraavasta anekdootista, josta on tullut kuuluisa tästä aiheesta:

"Muistan, että kävin tapaamassa häntä kerran, kun hän oli sairas Putney'ssa . Olin ottanut taksin numerolla 1729 ja huomasin, että tämä numero tuntui minusta houkuttelevalta, ja toivoin, että se ei ollut huono merkki.
- Ei, hän vastasi, se on erittäin mielenkiintoinen luku: se on pienin luku, joka voidaan jakaa kahden kuution summaksi kahdella eri tavalla. "

Todellakin . Ja Hardy lainaten Littlewood , toteaa (huomattuaan, että Ramanujan huomiotta vastaus sama kysymys neljännen valtuuksia), että hän antoi ymmärtää, että "jokainen luonnollinen luku oli henkilökohtainen ystävä hänen . " $9 ^ {3} + 10 ^ {3} = 1 ^ {3} + 12 ^ {3} = 1729$

Postuuminen tunnustaminen

Matemaattinen jälkipolvi

Ramanujanin artikkelit ja käsikirjoitukset

Paperin puutteen vuoksi Intian Ramanujanilla oli tapana suorittaa laskelmat ja perustelut päähänsä tai laatikollaan ja merkitä vain lopulliset tulokset; hän piti tätä työmenetelmää koko elämänsä ja täytti siten kaikki kolme muistikirjaa (jotka sisälsivät lähes neljätuhatta kaavaa yli seitsemänsataa sivua), joita hän kantoi kaikkialla mukanaan.

Hänen kuolemansa jälkeen Thirunarayanan, hänen nuorempi veljensä, keräsi joitain käsinkirjoitettuja muistiinpanoja, ja hänen vaimonsa Janaki Ammal lahjoitti kaikki muistikirjat ja muistiinpanot Madrasin yliopistolle , jossa näitä kolmea muistikirjaa tällä hetkellä pidetään. sisäänElokuu 1923, yliopiston pääsihteeri Francis Drewsbury lähettää suurimman osan näistä asiakirjoista Hardylle .

Hardy kirjoitti nekrologin Nature-lehdessä kesäkuussa 1920 ja seuraavana vuonna yksityiskohtaisemman nekrologin Lontoon matematiikkaseuralle ; hän vahvistaa siellä, mikä osoittautuu profeetalliseksi, että kestää ainakin kaksikymmentä vuotta, ennen kuin voimme mitata kaiken Ramanujanin tuoman. Sitten hän aloitti yhteistyössä S. Aiyarin ja Bertram Martin Wilsonin kanssa kerätä ja muokata hänen tekstejään, jotka julkaistiin useissa Intian ja Englannin sanomalehdissä; kokonaisuus (kaikkiaan 37 artikkelia ) julkaistiin vuonna 1927. Vuonna 1937 Hardy kirjoitti The American Mathematical Monthly -lehdelle artikkelin The Indian Mathematician Ramanujan kertoen kokouksensa olosuhteet ja keskittyen pääasiassa hänen työhönsä, ja antoi sitten konferenssisarjan. Englannissa ja Yhdysvalloissa, jonka hän keräsi vuonna 1940 julkaistuun kirjaan.

Määrittelemättömänä ajankohtana (luultavasti vuoden 1935 jälkeen) Hardy välitti muistikirjat (ja hajallaan olevat käsikirjoitukset) George Neville Watsonille , joka yhdessä Wilsonin kanssa oli aloittanut julkaisuprojektin, mutta joka näytti menettäneen kiinnostusta projektiin sen jälkeen, kun Wilsonin kuolema vuonna 1935.

Watsonin kuoleman jälkeen vuonna 1965 John Macnaghten Whittaker (hänen ystävänsä Edmund Whittakerin poika ) tarkastaa arkistonsa (ennen muutama päivä myöhemmin polttohautaus) ja löytää Ramanujanin kädestä 138 lehtisarjaa, jonka hän ja Rankin lähettävät hänelle . kirjastossa Trinity College joulukuussa 1968. George Andrews kuulee by Lucy Joan Slater , ja puolestaan havaitsee keväällä 1976, kun hän kertoo vuonna 2012, juhlimaan 150 th syntymäpäivä. Tästä hetkestä lähtien tämä sarja tunnetaan nimellä "kadonnut muistikirja" ( kadonnut muistikirja ).

Vuodesta 1977 ja yli 20 vuoden ajan Bruce Carl Berndt omistautui kolmen muistikirjan (nyt Ramanujan-muistikirjat ) kommentoituun painokseen viidessä volyymissa, yhteensä yli 1800 sivua. Kaiken kaikkiaan muistikirjat sisältävät lähes 3900 "väitettä", useimmiten ilman mitään esittelyjä. Berndt ja hänen yhteistyökumppaninsa, erityisesti matemaatikot George Andrews , Richard Askey ja Robert Rankin , lähtivät joko osoittamaan heitä tai etsimään viitteitä olemassa olevasta kirjallisuudesta; Berndt voi hyödyntää myös muistiinpanoja, jotka Watson ja Wilson tekivät 1930-luvulla hylätystä julkaisuprojektistaan. Vuosien 2005 ja 2018 välillä hän julkaisi huomautetun painoksen viidessä muussa osassa "kadonneen muistikirjan" tuloksista, ja tällä kertaa auttoi Ken Ono , joka Andrewsin tapaan on erikoistunut moduulimuotoihin , joihin nämä tulokset liittyvät olennaisesti.

Matemaattinen perintö

Heti kun uutiset kuolemastaan oli ilmoitettu, Hardy julisti: "Se, mitä hän on onnistunut tekemään [vammaisuudestaan huolimatta], on jo ihmeellistä [...] kun hänen työnsä innoittama tutkimus on saatu päätökseen, se näyttää paljon enemmän jälleen ihana. " Monet Ramanujanin avaamista poluista tutkitaan seuraavien 20 vuoden aikana; Hardy kuvailee joitain näistä edistysaskeluista 1930-luvun lopun luennoissaan, jotka hän kerää Cambridgessa vuonna 1940 julkaistuun kirjaan.

1950-luvun loppupuolella Ramanujanin työ laski kuitenkin suhteellisen unohdukseen, ja Tata-instituutin vuonna 1957 julkaisemat , mutta vaikeasti tulkittavat muistikirjat pysyivät luottamuksellisina. Tärkeä edistysaskel johtuu kuitenkin Ramanujanin olettamuksista vuodelta 1965, mikä huipentui Pierre Delignen vuonna 1974 esittämään oletukseen ; Ramanujanin ideat synnyttävät hedelmällistä kehitystä (käyttäen erityisesti algebrallisen geometrian uusia työkaluja ), jotka liittyvät näennäisesti hyvin erikoistuneisiin olettamuksiin moniin ja tärkeisiin avoimiin kysymyksiin, kuten Langlands-ohjelma ; Ehkä anekdotisemmin, oletukset mahdollistivat tiettyjen kaavioiden nimenomaisen rakentamisen , joille olemme oikeutetusti antaneet Ramanujan-kaavioiden nimen .

1980-luvun alussa, työ Bruce Carl Berndt tuloksista kolmen muistikirjat, samoin kuin löytö ”menetetty kannettava”, johti toteutumista, että Freeman Dyson asian , ”useimmat Ramanujanin olettamus ei vain kauniita kaavoja, mutta niillä oli johdonmukaisuus ja syvyys ” . Erityisesti Ramanujanin viimeisimpien löytöjen merkitys havaittiin vasta vähitellen 1990-luvulta lähtien, pääasiassa Ken Onon työn seurauksena ; se perustuu joihinkin näistä tuloksista saadakseen vuonna 2014 näyttävän joukon uusia algebrallisia kaavoja .

Tämä vaikuttava perintö selittää "visionäärin" määrittelyn, joka on ainakin yhtä usein liitetty hänen nimensä kuin "nero". Jotkut Ramanujanin sanoista ovat auttaneet pitämään mysteerin hengissä; Jos Hardy vaati, ettemme näe "mitään mystistä" hänen esittämissään arveluissa, Ken Ono mainitsee hämmennyksen joissakin ennusteissaan, täsmällisissä ja yksityiskohtaisissa, jotka näyttävät hänelle pääsemättömiksi käytettävissä olevilla työkaluilla.

Muut kunnianosoitukset

Vuonna 1983 leski Janaki Ammalin pyynnöstä Richard Askey käski kuvanveistäjä Paul Granlundia valmistamaan Ramanujanin pronssirintakuvia ( passiosassa olevan valokuvan perusteella). Apuraha mahdollistaa kymmenen rintakuvan tekemisen; Janakille luvattu on nyt Ramanujanin matematiikan jatko-oppilaitoksessa ( Madrasin yliopiston matematiikkaosasto , jota on kutsuttu Ramanujaniksi vuodesta 1950).

Tamil Nadun juhlii syntymäpäiväänsä Ramanujan Joulukuu 22 Valtion IT-päivä ( kansallispäivä teollisuus- ja teknologiaministeri ); vuotispäivää myös vietetään hallituksen taidekorkeakoulussa Kumbakonam , jossa hän opiskeli sekä jonka Indian Institute of Technology in Chennai . Vuonna 2011, sillä 125 : nnen vuotta hänen syntymästään, Intian hallitus totesi, että 22. joulukuuta on nyt "National Matematiikka Day', ja Intian pääministeri Manmohan Singh yli ilmoitusta, että 2012 tulee olemaan syy National Year matematiikkaa .

Useat laitokset myöntävät matemaattisia eroja Ramanujanin perusteella. Shanmugha Akatemia palkitsee Sastra Ramanujan palkinnon nuorelle matemaatikko (alle 32-vuotiaana kuolemaansa), joka on tehnyt merkittävää työtä Ramanujan suosikki aloilla: jatkuva jakeet , sarja , numero theory ; Yhteistyössä Kumbakonamin yliopiston kanssa se perusti vuonna 2000 myös elämän ja työnsä omistavan museon ja Srinivasa Ramanujan -keskuksen . International Centre for Teoreettinen fysiikka vuonna Triestessä palkinnot ICTP Ramanujan palkinnon nuorille matemaatikot kehitysmaiden yhteistyössä Kansainvälisen Matemaattinen unionin . Intian matemaattinen yhdistys on järjestänyt ”Srinivasa Ramanujan” muisto konferenssi vuodesta 1990 alkaen .

Vuonna 2010 Delhin yliopistoon kuulunut Deshbandhu College, joka sijaitsee Etelä-Delhissä Kalkajin alueella , nimettiin uudelleen Ramanujan Collegeiksi.

Leimalla kuva Ramanujan ovat antaneet sen Intian hallituksen vuonna 1962 (ja 75 : nnen vuotta hänen syntymästään) muistoksi hänen löytöjä lukuteoria; uudelleensuunnittelun jälkeen tämä leima lasketaan takaisin liikkeeseen26. joulukuuta 2011kirjoittanut India Post . 22. joulukuuta 2012, viiden rupian leima , joka julkaistiin ensimmäisen "kansallisen matematiikan päivän" yhteydessä, sisältää intialaisen matemaatikon muotokuvan kaavojen ja geometristen kuvioiden taustalla.

Kaunokirjallisuudessa

Vuonna 2009 julkaistussa romaanissa , jonka otsikko on Intian kirjanpitäjä , amerikkalainen kirjailija David Leavitt kertoo Ramanujanin ja Hardyn välisestä yhteistyöstä ensimmäisen maailmansodan taustalla, kun hän aloitti luentosarjan aiheesta teoksia Ramanujanista Harvardin yliopiston juhlavuoden juhlien yhteydessä . Vaikka keskitetty luonne Britannian matemaatikko, erityisesti nuoruudessaan ja hänen sosiaaliset suhteet sisällä salaseura on Cambridgen apostolien , työn kirjailija kuvaa hahmo lahjakas Intian itseoppinut esittämällä kokousten tehty Cambridge ci ja hänen elämäkerransa eri osat.
Vuonna 2007 Simon McBurney kirjoitti ja ohjasi katoavan numeron , näytelmän, joka on innoittamana Ramanujanin ja Hardyn yhteistyöstä. tämä kappale esitettiin erityisesti Ranskassa (alkuperäisessä tekstityksissään) Théâtre Nanterre-Amandiersissa vuonna 2008.

Elokuvassa ja televisiossa

Hänelle on omistettu useita elokuvia ja dokumentteja:

Ramanujan , Gnana Rajasekaranin elämäkerrallinen elokuva, julkaistu vuonna 2014.
Mies, joka pilkkasi Infinity , elämäkertaelokuva Matt Brown, 2016 (julkaistu Ranskassa DVD vuonna 2017), joka perustuu kirjan Robert Kanigel , Mies joka luuli Infinity: Life of Genius Ramanujan ; Ramanujanin roolissa on Dev Patel .
Intian ulkoministeriö on vuonna 2016 tuottanut dokumenttielokuvan nimeltä Srinivasa Ramanujan - Matemaatikko ja hänen perintönsä ["Srinivasa Ramanujan: matemaatikko ja hänen perintönsä"], joka sisältää erityisesti nykypäivän matemaatikkohaastatteluja sekä rekonstruointeja Ramanujanin elämän kohtauksista.

Ramanujan on myös inspiraation lähde useille kuvitteellisille hahmoille:

Vuonna Will Hunting , Will, itseoppinut matemaattinen nero, verrataan Ramanujan professori Lambeau, joka löysi hänet ja toimii hänen mentorina.
Amita Ramanujan , nuori intialainen matemaatikko Numb3rs- sarjasta , nimitettiin kunnioittamaan häntä.

Ramanujanin työ

Intian ja englannin sanomalehdissä julkaistut artikkelit ovat koonneet Godfrey Harold Hardy ja hänen yhteistyökumppaninsa:

Srinivasa Ramanujan, Collected Papers of Srinivasa Ramanujan , Providence , American Mathematical Society ,1962.

Valokopioita Ramanujanin muistikirjoista julkaisi Tata Institute of Fundamental Research (TIFR); ne, jotka ovat peräisin Narosa-kustantamon "kadonneesta muistikirjasta" (ja muista hajallaan olevista asiakirjoista) .

S. Ramanujan, muistikirjat , Bombay, Tata-perustutkimuslaitos,1957, 2 osaaVuonna 2012 TIFR julkaisi toisen painoksen (paljon laadukkaampaa ja ottaen huomioon erityisesti Ramanujanin käyttämien musteiden värin).
S. Ramanujan, Kadonnut muistikirja ja muut julkaisemattomat paperit , New Delhi, Narosa Publishing House,1988.

Kolmen muistikirjan, "kadonneen muistikirjan" ja kirjeenvaihdon tuloksia analysoi Bruce Carl Berndt (yhteistyössä muiden matemaatikkojen, erityisesti George Andrewsin ja Robert Rankinin, kanssa ).

Bruce C. Berndt , Ramanujanin muistikirjat , New York, Springer.

- äänenvoimakkuus I,	1985	;
- osa II,	1989	;
- osa III,	1991	;
- osa IV,	1993	;
- tilavuus V,	2005	.

Bruce C. Berndt ja George E. Andrews , Ramanujan's Lost Notebook , New York, Springer.

- äänenvoimakkuus I,	2005	;
- osa II,	2008	;
- osa III,	2012	;
- osa IV,	2013	;
- tilavuus V,	2018	.

Bruce C. Berndt ja Robert A. Rankin , Ramanujan: Letters and Commentary , Providence , American Mathematical Society ,1995.

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista " Srinivasa Ramanujan " ( katso luettelo kirjoittajista ) .

Huomautuksia

Emme tiedä tarkkoja olosuhteita, joissa tämä valokuva otettiin; se kuuluu Oberwolfachin matemaattisen tutkimuslaitoksen matemaatikkokuvakokoelmaan , jolle Konrad Jacobs lahjoitti sen vuonna 2005 .
Hänen täydellinen nimi, Srinivasa Ramanujan (Aiyangar), on itse asiassa koostuu nimen isänsä Srinivasa, johon lisätään toisinaan hänen Brahmin kastiin nimensä Aiyangar (tai Iyengar); hän allekirjoitti useimmiten S.Ramanujanin ja selitti englantilaisille ystävilleen "ettei hänellä ollut sukunimeä" .
Kolme muuta lasta syntyi vuosina 1889, 1891 ja 1894, mutta asui vain muutaman kuukauden.
Toisin kuin otsikko saattaa ehdottaa , tämä kirja sisältää monia muita analyysikaavoja, esimerkiksi logaritmista ja eksponentiaalisista funktioista .
Hän hankkii erityisiä kaavoja, jotka muistuttavat Eulerin kaavoja , mutta piiloutuessaan talonsa katon alle paperit, joihin hän kirjoitti.
Painos Ramanujan käytetään spesifisesti oikeus (in) George Shoobridge Carr , Kirjalliset Elementary Results in Pure Mathematics: joissa Ehdotukset, kaavat, ja Methods of Analysis, jossa on lyhennetty esittelyt. Täydennetty hakemistolla puhtaasta matematiikasta, joka löytyy nykyisen vuosisadan sekä englantilaisten että ulkomaisten oppineiden yhteiskuntien päälehdistä ja tapahtumista ,1886( lue verkossa ).
Tämä kirja, joka oli edelleen esillä tässä kirjastossa, kun Berndt vieraili siellä, on sittemmin varastettu, kuten Ken Ono kertoo , joka toivoi löytävänsä siellä marginaaleja.
Hardy , jonka monet kommentoijat ottavat vastaan, puhuu 6165 tuloksesta, mutta todellisuudessa Berndt listaa tässä kirjassa vain hieman yli 4000 teoreemaa.
lyer (tai Aiyer, Ayyar, jne. ) On bramiini kasti nimi , mikä selittää sen usein läsnä erisnimenä joissakin lähteistä, ja tuloksena sekaannuksia.
Hänen uskonnollista vakaumustaan loukkaavat sammakoiden leikkaukset, joihin hänet pakotetaan.
Esimerkiksi tietyissä muuttujissa ja funktioissa käytetään epäsovinnaisia kirjaimia.
Todistukset eroavat tästä avioliitosta. Järjestetty jonkin aikaa ja symbolinen nuoren tytön murrosikään saakka, se olisi melkein peruutettu, Ramanujan ei ollut käynyt appiensa luona vasta hyvin myöhään. Kun hän oli naimisissa, hän otti vastuunsa perheen päämiehenä erittäin vakavasti, ja kuolemansa jälkeen hänen leskensä oli käytettävä horjumatonta energiaa varmistaakseen, että hänen työt ja muisti säilyivät.
Hän kärsi hydrokeleestä, jota lopulta käytetään ilmaiseksi vuonna 1910; leikkaus jättää hänet heikkoon ja ahdistuneeseen.
Kirje MJM Hill CLT Griffith (yksi hänen entisistä opiskelijoistaan, joka kirjoitti hänelle Ramanujanin puolesta), 28. marraskuuta 1912 ( (in) PK Srinivasan Ramanujan: Inspiraatio , muistolennot 1 ja 2, Muthialpet High School. Madras, 1968) .
Vaikka jotkut Hillin kritiikistä ovat perusteltuja, Ramanujan piti Hardylle osoittamassaan toisessa kirjeessä valittaa, että Hill katsoi sopivaksi suositella hänelle alkeisanalyysikirjaa "välttääkseen joutumasta erilaisten sarjojen ansaan", ikään kuin Ramanujan ei pystyisi tajuaa yksin, että kirjoittaa, jolla ei ole mitään merkitystä sarjasummien tavallisella kielellä; Lisätietoja löytyy artikkelista Ramanujanin summa . ${\ displaystyle 1 + 2 + 3 + \ cdots = -1 / 12}$
Ramanujan näytti omistavan sille tunnettuja lauseita; yksi niistä tuloksista, jotka hän antoi alkuluvuista, oli varmasti väärä. Hardyn oli ilmoitettava myöhemmin ymmärtävänsä kollegoidensa reaktion, joiden on täytynyt ajatella olevan " kampi ", kuten näemme niin usein.
Hardyn mukaan hän oli saanut kirjeen aamupostissa, vilkaillut siihen lyhyesti, luullut sen olevan vitsi eikä ollut ajatellut sitä enää. Mutta jotkut kaavat ahdistelivat häntä koko päivän; hän lopulta ottanut yhteyttä Littlewood ja he eristivät itsensä illalla Cambridge kirjastossa, vain tulla ulos kaksi ja puoli tuntia, "nyt varma, että hän oli nero . "
Robert Kanigel antoi elämäkerran, jonka hän kirjoitti otsikoksi " Mies, joka tiesi ääretön: Genius Ramanujanin elämä " .
Ortodoksiselle brahminille meren ylitys oli tuolloin tabu, joka tunnetaan nimellä Kala pani .
Kanigel antaa tästä päätöksestä vivahteikkaamman analyysin: Ramanujan väitti myöhemmin väittäneensä, ettei kieltäytyminen tullut häneltä, vaan hänen ystävältään Narayanalta, mutta tämä lausunto olisi voinut olla vain keino pelastaa kasvoja.
Hän oli pyytänyt Ramanujania mukanaan, mutta hän oli kieltäytynyt (mahdollisesti Ramachandran vaikutuksesta) ja selittänyt hänelle, että hän ei voinut keskittyä matematiikkaansa, hän oli niin nuori ja kaunis.
Hardy havaitsi myöhemmin, että nämä virheet johtuvat Ramanujanin modernin analyyttisen tekniikan hallinnan puutteesta, mutta hän lisää, että nämä epäonnistumiset ovat tavallaan jopa näyttävämpiä kuin hänen menestyksensä (esipuhe vuodelta 1927). hän palaa tähän huomautukseen luennoissaan vuodelta 1937 ja huomauttaa, että nämä ilmeiset virheet piilottavat usein tarkempia tuloksia, jotka on löydettävä.
Bruce Carl Berndt sai nämä tiedot Paul Erdősiltä .
Hän selittää vuonna 1927, että Ramanujanin suurimmat epäonnistumiset tapahtuivat analyyttisessä lukuteoriassa , jossa "lauseen arvaaminen ei ole mitään, ja missä vain tiukalla todistuksella voidaan välttää virheet [joihin jopa Gaussin tekemät voisivat sitoutua]" .
pidättivät agentit Scotland Yard , turvallinen ja ääni - juna oli pysähtynyt muutamaa metriä ennen paikkaa, jossa nuori mies oli laskenut - hän vapautuu väliintulon ansiosta Hardy.
Näiden tulosten merkitys (erityisesti hänen tekemänsä " väärät teetafunktiot ") tunnustetaan vasta vasta, kun "kadonnut muistikirja" löydettiin uudelleen vuonna 1976.
Hän kärsii pysyvästi vatsakipuista, ja hänen hahmonsa kärsii siihen asti rauhallisena ja optimistisena, mutta sängyllä hän jatkaa tutkimusta viimeisiin päiviinsä.
Hän löysi erityisesti elämänsä viimeisenä vuonna vastaavat toiminnot, " väärät teetafunktiot "; hän kirjataan "kadonneen notebook" kaavat ja arveluja niistä jonka merkitystä ei todellakaan kirjattu vasta löytämässä tämän kannettavan vuonna 1976, ja joita ei vielä täysin ymmärretä alussa kirjan. XXI th luvulla .
Tämä yli 25 vuotta kattava ja suurelta osin vuonna 1996 valmistunut todentamistyö johtuu suurelta osin Bruce Carl Berndtiltä useiden muiden matemaatikkojen, kuten George Andrewsin, Jonathan- veljien ja Peter Borweinin, kanssa . Monet rutiinitarkastukset on ehkä uskottu Mathematicalle , mutta Berndt kiinnittää toistuvasti huomiota Ramanujanin poikkeukselliseen laskentatehoon, jolloin hän voi löytää ja hallita tuloksia ilman apua.
Vaikka hän osallistui esimerkiksi ympyrämenetelmän kehittämiseen , intuitio petti hänet siten tutkimalla alkulukujen jakautumista : "hänen teoriansa muistuttivat mitä tapahtuisi, jos Riemannin zeta-funktion monimutkaisia nollia ei olisi olemassa"
Tietyt ilmoitukset Ramanujan, esimerkiksi syyksi näitä kaavoja Namagiri Thayar , hänen tutelary jumalatar , ovat vaikuttaneet ylläpitää mysteeri. Jos Hardy vaati, että näemme tässä vain "muodollisten manipulaatioiden ylimääräisen voiman, nopeuden hypoteesien muodostamisessa ja hylkäämisessä sekä näennäisesti etuyhteydettömien esineiden välisten piilotettujen suhteiden intuition" , Ken Ono mainitsee hämmennyksensä tiettyjen ennusteiden edessä. Ramanujan, joka äskettäin vahvistettiin tuskallisilla tietokonelaskelmilla ja jotka eivät näytä hänelle olevan käytettävissä Ramanujanin käytettävissä olevien työkalujen avulla.
Muita esimerkkejä voidaan löytää Rogers-Ramanujan identiteettejä , asymptoottinen arviointi on partitiofunktio , tai Ramanujan arveluihin .
Tämä on erityinen tapaus Rogers-Ramanujanin jatko-osasta , josta hän sai monia ei-triviaalisia arvoja, jotka liittyivät löytämiinsä identiteetteihin . ${\ displaystyle R (p) = {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {p} {1 + {\ cfrac {p ^ {2}} {1 + {\ cfrac {p ^ {3}} { 1 + \, \ cdots}}}}}}}}}}$
Yleisempi kaava on Ramanujanin toisessa muistikirjassa (BC Berndt, Ramanujan's Notebooks , osa II, merkintä 43, s.166): (for ). ${\ displaystyle 1 + {\ frac {x} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {x ^ {2}} {1 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {x ^ {3}} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + {\ frac {x ^ {4}} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9}} + \ cdots + {\ cfrac {1} {x + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {2} {x + {\ cfrac {3} {1 + {\ cfrac {4} {x + \ cdots}}}}}}}}}}} }} = {\ sqrt {{\ frac {{\ rm {e ^ {x}}} \ pi} {2}} x}}}$ $x> 0$
Tämä on todellisen kvadraattikentän erottelija, eli neliöllisen muodon erottelija ; syvällisempi tutkimus tästä käsitteestä ja sen sovelluksista löytyy Gérald Tenenbaumin kirjassa : Johdanto analyyttiseen ja todennäköisyyslukumäärään . ${\ displaystyle {\ mathbb {Q}} ({\ sqrt {58}})}$ ${\ displaystyle m ^ {2} -58n ^ {2}}$
Ota ja ; näyttää lähentymistä tämän äärettömän radikaali ei ole kovin vaikeaa, mutta saada tulosta Ramanujan vaatii nerokas algebrallinen manipulointia (ks tarkemman analyysin artikkelissa Sisäkkäiset Radical ). ${\ displaystyle x = 2}$ ${\ displaystyle n = a = 1}$
Berndt huomauttaa, että näiden kaavojen esittäminen (esim. Algebraohjelmistojen avulla) ei ole kovin vaikeaa, mutta niiden suhteellisen yksinkertainen muoto tarkalleen kertoimien ja merkkien valinnalle osoittaa, ellei syvien taustalla olevien teorioiden olemassaolon, ainakin Ramanujan.
Hardy huomauttaa, että nämä kaavat eivät tuota kaikkia ratkaisuja tähän ongelmaan ja näyttävät pitävän niitä enemmän anekdoottisina kuin syvällisinä.
Nämä likiarvot toistetaan Ramanujanin toisessa muistikirjassa (BC Berndt, Ramanujan's Notebooks , II osa, s.88).
Itse asiassa tämä luku on myös melkein kokonaisluku : $e π \sqrt 163$ = 262537412640768743, 999999999999 25 ... Kuitenkin ilman tietokoneresursseja ja käyttämättä näihin numeroihin liittyviä teoreettisia tuloksia (tulokset, jotka Ramanujan tiesi ja jotka olivat auttaneet luomaan kuten numeroille ), on mahdotonta saada likimääräistä arvoa, joka on riittävän tarkka kysymyksen ratkaisemiseksi. Gelfond-Schneider lause osoittaa kuitenkin, että tämä määrä on yhtä suuri kuin , on välttämättä ylivertainen . ${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {58}}}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {- i {\ sqrt {163}}}}$
Hänen muistikirjojensa ensimmäiset muistiinpanot, jotka on kirjoitettu hänen ollessa vielä koulupoika, kuvaavat maagisten neliöiden tutkimusta ja mainitsevat erityisesti hänen hämmästyttävän pirullisen neliön rakentamisen, jonka ensimmäinen rivi, 22 12 18 87, edustaa hänen syntymäaikaansa.
Kopio tästä taksista tehtiin elokuvalle The Man Who Defied Infinity .
Pienin luku, joka voidaan hajottaa kahdella eri tavalla kahden neljännen voiman summaksi , on 635 318 657 ; sen löysi Leonhard Euler noin vuonna 1770, mutta vasta vuonna 1957 John Leech osoitti olevansa pienin. ${\ displaystyle = 158 ^ {4} + 59 ^ {4} = 133 ^ {4} + 134 ^ {4}}$
Tämän anekdootin perusteella taksiaseman numero (englanninkielisten taksien täydellinen nimi tuolloin) määriteltiin luonnolliseksi numeroksi, joka voidaan ilmaista kahden kuution summana kahdella eri tavalla (d muita numeroita, joilla on tämä ominaisuus, kuten oli jo löydetty XVII nnen vuosisadan Bernard Frénicle de Bessy ). ${\ displaystyle 4104 = 2 ^ {3} + 16 ^ {3} = 9 ^ {3} + 15 ^ {3}}$
Vaikka tämä saattaa olla vain sattumaa, useat matemaatikot ovat huomauttaneet, että luku 1729 puuttui Ramanujanin tutkimukseen elliptisista käyristä suhteessa tiettyyn K3-pintaan .
Tämän valokuvan, parhaan harvoista, mitä Ramanujanista meillä on, otettu passistaan, välitti Hardylle tämän kirjan leski Janaki Ammal, kuten Chandrasekhar (Ramanujanin suuri ihailija) kertoo tässä muistokirjassa .
Vuonna 2003 Bruce Carl Berndt jäljitti (eri toimijoiden kirjeenvaihdon perusteella) näiden kolmen muistikirjan häiriöt. Ensimmäinen pysyi Englannissa vuonna 1919; Ramanujanin kuoleman jälkeen Hardy lähetti sen Madrasin yliopistolle, joka toimitti hänelle käsinkirjoitetun jäljennöksen, jonka jälkeen lähetettiin kaksi muuta muistikirjaa sekä hajallaan olevat muistiinpanot, jotka muodostivat "kadonneen muistikirjan" vuosina 1923 ja 1925. Määrittelemättömänä päivänä vuoden 1935 jälkeen George Neville Watson palautti muistikirjat (mutta ei muut asiakirjat) Madrasille , joka oli alkanut käyttää niitä hyväkseen, mutta ei ollut enää kiinnostanut niitä.
Whittaker selitti myöhemmin, että erilaiset paperit peittivät suuren 12 tuuman paksuisen huoneen lattian ja että hänellä oli "uskomattoman onnekas" törmätä johonkin mielenkiintoiseen.
Andrews selittää, että Whittaker ja Rankin, joiden matemaattiset kiinnostuksen kohteet eivät mene näiden asiakirjojen tulosten suuntaan (toisin kuin hänen omat), eivät ymmärtäneet niiden merkitystä uskoen, että ne ovat hajallaan olevia Ramanujanin muistiinpanoja eivätkä ole johdonmukaisia. hänen viimeisimmän tutkimuksensa.
Tämä nimi, Andrewsin takia, on kiistetty, Rankin selitti esimerkiksi, ettei se ollut muistikirja ja että se ei kadonnut, hyvin arkistoituna Camrenin Wren-kirjastoon. Andrews huomautti kuitenkin, että asiakirjat, jotka oli jätetty huomiotta 55 vuoden ajan, voidaan laillisesti nimetä niin.
Berndt pitää "kadonneen muistikirjan" löytämistä olennaisen tärkeänä Ramanujanin huomion herättämisessä 1980-luvun alussa; Emma Lehmer ilmoitti siten, että hänen löytönsä "oli verrattavissa Beethovenin kymmenennen sinfonian täydelliseen luonnokseen" .
Niitä kutsutaan joskus "kuluneiksi Ramanujanin muistikirjoiksi" ( Ramanujanin kuluneet muistikirjat ) niiden kulumistilan vuoksi.
Tarkka lukumäärä ei ole täysin selvä, toisaalta toistojen vuoksi, toisaalta, koska tietyt "kaavat" ryhmittävät useita samanlaisia tuloksia.
Nämä ovat erityisesti Rogers-Ramanujanin henkilöllisyys , hänen tau-toimintaan liittyvä työnsä ja Ramanujan-yhtymäkohdat, jotka hän oli löytänyt kokonaisluvun osioiden välillä .
Ramanujanin käsiala on yleensä luettavissa, mutta hän kehitti henkilökohtaisten merkintöjen järjestelmän, esimerkiksi käyttämällä epätavallisia kirjaimia tietyille vakioille ja muuttujille, mikä ei aina mahdollista ymmärtää saatujen tulosten merkitystä.
Lähinnä "kadonneeseen muistikirjaan" tallennetut nämä ovat tuloksia, jotka koskevat hänen rakentamiaan teetatoimintoja ja vastaavia toimintoja, " vääriä teetafunktioita "; osa näistä tuloksista vahvistettiin vasta vuonna 2012 tietokonelaskelmilla, mutta meillä on silti vain osittaiset teoreettiset perustelut.
Hän väitti, että esimerkiksi Namagiri Thayar , hänen tutelary jumalatar , oli paljastanut tiettyjä kaavoja hänelle unessa.
Janaki sanoi haastattelussa vuonna 1978: ”Minulle luvattiin pystyttää patsas mieheni muistoksi. Missä hän on ? " Lukemalla tämän haastattelun Richard Askey päätti tehdä nämä rintakuvat.
Tamil Nadu on valtio, jossa Ramanujan asui.
Tämä leima (voimakkaasti suurennettu) esittää kansi Berndt ja Rankin kirja, Ramanujan: Kirjaimet ja kommentit .
Löydämme digitaaliset versiot näistä valokopioita siitä tällä sivustolla omistettu kirjoituksia Ramanujan (in) .

Alkuperäiset lainaukset

“ Minulla ei ole oikeaa sukunimeä. "
" Me, opettajat mukaan lukien, ymmärsimme häntä harvoin. "
" Minua hämmästyttivät siihen sisältyvät poikkeukselliset matemaattiset tulokset. Minulla ei ollut mieltäkään tukahduttaa hänen nerokkuuttaan nimittämällä vero-osaston alaosaan. "
" Mr. Ramanujanin menetelmät olivat niin suppeita ja uusia ja esitystään niin puutteellinen selkeys ja tarkkuus, että tavalliset [matemaattinen lukija], tottunut tällaiseen henkiseen voimistelu, tuskin seuraa häntä. "
" maku matematiikasta ja jonkin verran kykyä "
" näytti tuskin mahdollista uskoa. "
“ En ollut koskaan ennen nähnyt mitään vähäisintä kuin he. "
” Niiden on oltava totta, koska jos ne eivät olisi totta, kenelläkään ei olisi mielikuvitusta keksiä ne. "
" Neroinen mies "
" varmasti merkittävin mitä olen koskaan saanut. "
” Korkealaatuinen matemaatikko, täysin omaperäinen ja voimakas mies. "
“ On olennaista, että minun pitäisi nähdä todisteita joistakin väitteistäsi. "
" vieras maa "
" Olen löytänyt sinusta ystävän, joka suhtautuu työmääni myötätuntoisesti. "
" mitä voimme tehdä S. Ramanujanille. "
" olla enää poikansa ja hänen elämänsä tarkoituksen täyttymisen välillä. "
“ Uskon, että hän on ainakin Jacobi. "
" Voin verrata häntä vain Euleriin tai Jacobiin. "
" On suhteellisen helppoa tehdä fiksuja arvauksia, mutta ei absoluuttista tarkkuutta. "
" Hän olisi voinut tulla suurin matemaatikko aikansa. "
" Tuntui naurettavalta huolestuttaa häntä siitä, kuinka hän oli löytänyt tämän tai toisen tunnetun lauseen, kun hän näytti minulle melkein päivittäin puoli tusinaa uutta. "
" Tämä pitkä muistelma edustaa työtä, kenties matematiikan takavirrassa, […] se osoittaa hyvin selvästi Ramanujanin poikkeuksellisen hallinnan eriarvoisuuden algebraan. "
" Yhtälöllä ei ole minulle merkitystä, ellei se edusta Jumalan ajatusta. "
” jokin salaperäinen osoitus idän ikimuistoisesta viisaudesta. "
" järkevä ihminen, joka sattui olemaan suuri matemaatikko. "
" kaikki uskonnot näyttivät hänelle olevan suunnilleen yhtä totta. "
" olisi pitänyt syntyä 150 vuotta sitten "
" Se oli (niin sanottua), mikä teoria voisi olla, jos zeta-funktiolla ei olisi monimutkaisia nollia. " .
" Muistan kerran menevän tapaamaan häntä, kun hän oli sairas Putney'ssa. Olin ratsastanut taksilla numero 1729 ja huomauttanut, että numero tuntui minusta melko tylsältä ja toivoin, ettei se ollut epäedullinen merkki. "Ei, hän vastasi, se on erittäin mielenkiintoinen luku; se on pienin luku, joka ilmaistaan kahden kuution summana kahdella eri tavalla ”. "
” jokainen positiivinen kokonaisluku oli yksi hänen henkilökohtaisia ystäviä. "
" Se, mitä hän teki, on todella ihanaa [...] kun hänen työnsä ehdottamat tutkimukset on saatu päätökseen, se näyttää todennäköisesti paljon ihmeellisemmältä kuin nykyään. "
" Niin paljon, että hän arveli, ei ollut vain kauniita kaavoja, mutta sillä oli sisältöä ja syvyyttä. "
” He sanoivat vuosia sitten, että mieheni kunniaksi pystytetään patsas. Missä patsas on? "

Viitteet

(in) Oberwolfach-valokuvakokoelma, " Srinivasa Ramanujan " , Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach gGmbHToukokuu 2018(käytetty 26. toukokuuta 2018 ) .
Tämä dokumentti on saatavilla kokonaisuudessaan on kuvaksi .
(in) Hema Vijay, " tämä on Ramanujan syntyi " [ "Täällä Ramanujan syntyi"], Hindu ,26. helmikuuta 2013( lue verkossa ).
Kanigel 1991 , s. 12.
Kanigel 1991 , s. 11.
(in) " Srinivasa Ramanujan | Biografia, saavutukset ja tosiasiat ” , Encyclopedia Britannica (käytetty 23. joulukuuta 2019 )
Berndt ja Rankin 2001 , The Ramanujan Family Record , s. 29 .
(sisään) Pankaja Srinivasan , " The Nostalgia Formula " , hindu ,19. lokakuuta 2012( lue verkossa , tutustunut 7. syyskuuta 2016 ).
Alladi 2012 , s. 161.
Kanigel 1991 , s. 13.
Kanigel 1991 , s. 14.
Kanigel 1991 , s. 19-20.
Kanigel 1991 , s. 25.
Kanigel 1991 , s. 27.
Hardy 1940 .
Kanigel 1991 , s. 50.
Ono 2006 .
Hardy 1937 , s. 139.
Kanigel 1991 , s. 39.
(sisään) Tucker McElroy, A-Z matemaatikoista ,2005( ISBN 0-8160-5338-3 ) , s. 221.
Kanigel 1991 , s. 53.
Kanigel 1991 , s. 54.
Kanigel 1991 , s. 55-56.
Berndt 1985 , voi. I, s. 5 .
Kanigel 1991 , s. 342.
(en) K. Srinivasa Rao, " Ramanujanin vaimo: Janakiammal (Janaki) " [PDF] , osoitteessa imsc.res.in , Chennai Mathematical Sciences Institute ,Helmikuu 2003(käytetty 8. toukokuuta 2018 ) .
Kanigel 1991 , s. 77.
Kanigel 1991 , s. 72, 74-75.
Kanigel 1991 , s. 80.
Kanigel 1991 , s. 86.
(en) Bruce C. Berndt, Youn Seo Choi ja Pian Yi Kang, " Ongelmat, jotka Ramanujan on toimittanut Indian Mathematical Society -lehdelle " , Contemporary Mathematics ,1997( lue verkossa )
Kanigel 1991 , s. 87.
Kanigel 1991 , s. 91.
(sisään) PV Seshu Iyer , " The Late Mr.S.Ramanujan , BA, FRS " , Journal of the Indian Mathematical Society , voi. 12, n o 3,Kesäkuu 1920, s. 83.
Kanigel 1991 , s. 96.
Kanigel 1991 , s. 105.
Kanigel 1991 , s. 106.
Kanigel 1991 , s. 170-171.
Kanigel 1991 , s. 161 ja 169.
Hardy 1920 .
Kanigel 1991 , s. 168.
Kanigel 1991 , s. 162 - 163; 169.
Hardy 1985 , jälkisana.
Lainaa CP Snow .
“DVD-julkaisu uskomattomasta tarinasta nero matematiikasta”, Science et Vie , maaliskuu 2017, s. 126-127 .
Kanigel 1991 .
Kanigel 1991 , s. 173.
Kanigel 1991 , s. 184-186.
Kanigel 1991 , s. 185.
Kanigel 1991 , s. 176.
Kanigel 1991 , s. 175.
(in) Suresh Ram , Srinivasa Ramanujan , New Delhi, National Book Trust,1972, s. 29.
Ranganathan 1967 , s. 30–31.
Kanigel 1991 , s. 182.
Kanigel 1991 , s. 183.
Kanigel 1991 , s. 184.
(sisään) Eric Harold Neville , " Srinivasa Ramanujan " , Nature , voi. 149, n ° 3776,Maaliskuu 1942, s. 293 ( DOI 10.1038 / 149292a0 , Bibcode 1942Natur.149..292N ).
Kanigel 1991 , s. 168 ja 190.
Kanigel 1991 , s. 194.
Kanigel 1991 , s. 196.
Kanigel 1991 , s. 202.
Ramanujan 1962 .
Hardy 1940 , s. 10.
(sisään) GH Hardy , Collected Papers of GH Hardy , Voi. 7, Oxford, Oxford University Press,1979, 720 Sivumäärä.
(in) BC Berndt, " Srinivasa Ramanujan " , The American Scholar , n o 58,1989, s. 234-244.
Hardy 1927 , s. 151 ja 154.
Hardy 1937 , s. 146.
(en) S. Ramanujan , ” Erittäin komposiittiluvut ” , Proc. London Math. Soc. (2) , voi. 14,1915, s. 1347-409 ( DOI 10.1112 / plms / s2_14.1.347 , lue verkossa ) ; Löydetty Ramanujanin muistikirjoista , lopputyön valmistui ja kommentoi Jean-Louis Nicolas ja Guy Robin vuonna 1997 Ramanujan Journal -lehdessä ( ( verkossa )).
Kanigel 1991 , s. 299-300.
(in) Srinivasa Ramanujan Aiyangar, Bruce C. Berndt ja Robert Alexander Rankin, Ramanujan: Letters and Commentary ["Ramanujan: Letters and comments"], Providence , American Mathematical Society , al. " Matematiikan historia ",1995, 347 Sivumäärä ( ISBN 978-0-8218-0287-8 , OCLC 901689611 , lue verkossa ) , s. 3.
Kanigel 1991 , s. 297.
Kameshwar C. Wali ( käännetty mistä Englanti Anne Magnonin), Chandrasekharin, syntymän astrofysiikan [ ” Chandra: elämäkerta Chandra S. Chandrasekharin ”], Pariisi , Diderot Editeur, Arts et Sciences, Coll. "Elämäkerta",1997( 1 st ed. 1990), 350 s. ( ISBN 978-2-86332-214-7 , OCLC 36998066 , important BNF n o FRBNF36966939 ) , s. 281-283.
Berndt ja Rankin 2001 , s. 77-80.
Kanigel 1991 , s. 307.
Kanigel 1991 , s. 317.
Kanigel 1991 , s. 325.
Kanigel 1991 , s. 329.
Hardy 1921 .
(in) DAB Young, " Ramanujanin tauti " , Notes and Records of the Royal Society of London , Lontoo , Royal Society , voi. 48, n o 1,tammikuu 1994, s. 107-119 ( JSTOR 531423 ).
(in) Doug Peterson , " Raiders of the Lost Notebook " , UIUC: n taiteiden ja korkeakoulujen korkeakoulu (katsottu 11. tammikuuta 2014 ) .
(vuonna) JWC Gunn ja B. Savage , " Report on the Treatment of Entamoeba Histolytica Infections " , Journal of the Royal Army Medical Corps , voi. 33, n o 5,1919, s. 418-426.
Kanigel 1991 , s. 29-30.
Kanigel 1991 , s. 76.
(in) K. Srinivasa Rao, " Ramanujan persoonallisuus " , on imsc.res.in , matemaattisten tieteiden laitos Chennaissa ,Maaliskuu 2003.
Kanigel 1991 , s. 36.
Kanigel 1991 , s. 281.
Ranganathan 1967 , s. 88.
(in) Gregory Chaitin , " Vähemmän pitäväksi, Truth " , New Scientist , n o 261428. heinäkuuta 2007, s. 49.
Hardy 1937 , s. 140.
Alladi 2012 , s. 3-5.
Bleicher 2014 .
(sisään) Paul Erdős, " Ramanujan ja minä " ["Ramanujan ja minä"] [PDF] ,5. marraskuuta 2006(käytetty 10. toukokuuta 2018 ) .
Hardy 1985 .
(en) Bruce C. Berndt, " Katsaus Ramanujanin muistikirjoihin " [PDF] , osoitteessa math.uiuc.edu ,5. kesäkuuta 2003, s. 1-4.
Édouard Thomas, " Ramanujanin salaperäiset muistikirjat lopulta tulkittiin ", Maths Société Express, Kansainvälinen matemaattisten pelien komitea (www.cijm.org) ,2016, s. 57-62.
(in) Bruce Carl Berndt , Ramanujan muistikirjat: V osa , New York , Springer ,1998, 624 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-94941-3 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-1624-7 , online-esitys ).
(in) Bruce Carl Berndt , Ramanujan muistikirjat, osa 5 , Springer ,1997( ISBN 978-0-387-94941-3 , lue verkossa ) , s. 4.
(in) " Rediscovering Ramanujan " , Frontline (aikakauslehti) , voi. 16, n ° 17,Elokuu 1999, s. 650 ( lue verkossa ).
Hardy 1937 , s. 145.
Hardy 1921 , s. 44.
Kanigel 1991 , s. 30.
Hardy 1937 , s. 149.
Ono 2006 , s. 649.
Bleicher 2014 , s. 55.
Kanigel 1991 , s. 167.
Hardy 1937 , s. 144.
Hardy 1937 , s. 148.
(in) Nayandeep Deka Baruah, Bruce Carl Berndt ja Heng Huat Chan, " Ramanujanin sarja 1 / π " ["Ramanujanin sarja "], Amerikan matemaattinen yhdistys , ${\ displaystyle 1 / \ pi}$ 2009( lue verkossa ).
(en) [PDF] Jonathan ja Peter Borwein , Pi and the AGM , Monographs and Studies of the Canadian Mathematical Society, 1987 [ lue verkossa ] .
(en) S. Ramanujan, ” Modulaariset yhtälöt ja likiarvot kohteeseen $\ pi$ ” , Quart. J. Math. , voi. 45,1914, s. 350-372 ( lue verkossa )
Kanigel 1991 , s. 169.
Gérald Tenenbaum , Johdatus analyyttiseen ja todennäköisyyslukuteoriaan , Pariisi , Belin , coll. "Tikkaat",2015, 4 th ed. ( 1 st ed. 1990), 592 s. ( ISBN 978-2-7011-9656-5 , OCLC 933777932 , important BNF n o FRBNF44452677 ) , s. 388.
(sisään) Bruce Carl Berndt , Ramanujanin muistikirjat IV , s (p |) [1] ? ? ([1-9] [0-9] * (- [1-9] [0-9] *)?).
(in) Bruce Carl Berndt , Ramanujan muistikirjat IV , s.39.
(in) Eric W. Weisstein , " Diophantine yhtälö - 3rd Powers " päälle MathWorld .
(sisään) Srinivasa Ramanujan, Wikilähde , " Squaring the Circle " ["Squaring the Circle"], JIMS: n osan toisinto, voi. 138, s. 132 , osoitteessa en.wikisource.org , Journal of the Indian Mathematical Society,2. helmikuuta 2013(käytetty 10. toukokuuta 2018 ) .
(in) Martin Gardner , " Matemaattinen pelejä " , Scientific American , Vol. 23,Huhtikuu 1975, s. 127.
(sisään) Maagisen neliön syntymäpäivä sivustolla mathstimes.com.
(in) John J. O'Connor ja Edmund F. Robertson , "sitaatteja GH Hardy ( GH Hardy Lainaukset )" in MacTutor Matematiikan historia arkisto , University of St Andrews ( lukea verkossa )..
(in) " Obituary Notices: Srinivasa Ramanujan " , Hardy, GH, Proceedings of the London Mathematical Society 19 , s. lvii .
(sisään) Marianne Freiberger, " Ramanujan yllättää uudestaan " ["Ramanujan yllättää edelleen"], plus.maths.org , More Magazine (in) ,3. marraskuuta 2015(käytetty 10. toukokuuta 2018 ) .
(sisään) Arun Janardhanan , " Passage to infinity " , Indian Express ,6. joulukuuta 2015( lue verkossa , tutustunut 7. syyskuuta 2016 ).
(en) B. Aravind Kumar, " 3 muistikirjaa Ramanujanin mikrofilmistä " , Hindu , Chennai ,24. marraskuuta 2010( lue verkossa , kuultu 4. toukokuuta 2018 ).
(en) George Andrews ja Bruce Carl Berndt , Ramanujan's Lost Notebook, Part 1 , Springer,2005( ISBN 978-0-387-25529-3 , lue verkossa ) , s. 1.
Hardy 1937 .
Kanigel 1991 , s. 345.
(in) George E. Andrews , " löytö Ramanujanin kadonnut Notebook " , Legacy Srinivasa Ramanujan: Proceedings of kansainvälisen konferenssin kunniaksi 125 vuotta Ramanujanin Birth: University of Delhi ,Joulukuu 2012, s. 17–22 ( lue verkossa )
Kanigel 1991 , s. 346.
Katso alla olevien painosten yksityiskohdat .
(in) Frontline , " Rediscovering Ramanujan " , voi. 16, n ° 17,Elokuu 1999, haastattelu Bruce Carl Berndtin kanssa .
Kanigel 1991 , s. 341.
Berndt 1985 , voi. I, s. 5.
Kanigel 1991 , s. 344.
(in) M. Ram Murty , " Ramanujan Kuvaajat " , J. Ramanujan Math. Soc. , voi. 18, n o 1,2003, s. 1-20 ( lue verkossa [PDF] ).
(vuonna) Michael J. Griffin , Ken Ono ja S. Ole Warnaar , " A Framework of Rogers-Ramanujan Identities and their Arithmetic Properties " ["A framework for the Rogers-Ramanujan identities and their aritmetic properties"], Duke Mathematical Journal ,2014( DOI 10.1215 / 00127094-3449994 , arXiv 1401.7718 ).
(vuonna) Ariel Bleicher, " Yksi Srinivasa Ramanujanin laiminlyötyistä käsikirjoituksista on auttanut ratkaisemaan pitkäaikaisia matemaattisia mysteerejä " , Scientific American ,Toukokuu 2014(käytetty 10. toukokuuta 2018 ) .
(in) Clara Moskowitz, " visionäärinen Matemaatikko tulee Silver Screen " [ "Visionääri matemaatikko keskittyi ruudulla"], Scientific American ,Toukokuu 2016(kuultu 10. toukokuuta 2018 ) , artikkeli elokuvasta The Man who defied the infinite .
Ono 2006 , s. 649.
Bleicher 2014 , s. 55.
Kanigel 1991 , s. 352.
Gerald L. Alexanderson ja Leonard F. Klosinski, " Tietoja kannesta: In Ramanujan Bronz " , voi. 53, n o 4 [PDF] , American Mathematical Society ,lokakuu 2016(käytetty 10. toukokuuta 2018 ) .
(in) " History of the university's mathematics department " , Madrasin yliopisto (luettu 6. huhtikuuta 2018 ) .
(vuonna) C. Jaishankar, " Ramanujanin syntymäpäivä on kansallinen matematiikkapäivä " ["Ramanujanin vuosipäivänä on" kansallinen matematiikan päivä "", Hindu ,27. joulukuuta 2011(käytetty 10. toukokuuta 2018 ) .
(in) " Tervetuloa 2012 - Intian kansallinen matemaattinen vuosi " , Intia .
(in) Pradip K. Datta, " National Mathematics Year: A Tribute To Srinivasa Ramanujan " , tiede ja kulttuuri , Indian Science News Association,Maalis-huhtikuu 2013(käytetty 10. toukokuuta 2018 ) .
(in) Shanmughan taide-, tiede-, teknologia- ja tutkimusakatemia, " Srinivasa Ramanujan Center (SRC) " osoitteessa sas.sastra.edu ,Toukokuu 2018(käytetty 11. toukokuuta 2018 ) .
Alladi 2012 , luku. Niels Henrik Abel: Norjalainen matemaattinen nero , s. 81-88 .
(in) Ramanujan College ( Delhin yliopisto ), " History of Ramanujan College " osoitteessa rcdu.in ,Toukokuu 2018(käytetty 11. toukokuuta 2018 ) .
(en) Vijay Navlakha, " Kansallinen matematiikkapäivä: tosiasiat ja luvut " , Google Books , Gujarat Philatelists 'Association,Tammikuu 2013(käytetty 10. toukokuuta 2018 ) ,s. 10.
(in) American Mathematical Society, " Ramanujan: Letters and Commentary " , American Mathematical Society / London Mathematical Society ,Toukokuu 2018(käytetty 10. toukokuuta 2018 ) .
(in) " India Post on antanut muistomerkin S Ramanujanille " , Phila Mirror26. joulukuuta 2011(käytetty 22. toukokuuta 2012 ) .
David Leavitt ( Muunto. Johan-Frédérik Hel Guedji), Intian kirjanpitäjä , Pariisi , Denoël , Coll. " Ja muuten ",2009, 721 Sivumäärä ( ISBN 978-2-207-26004-3 , OCLC 495205756 , ilmoitusta BNF n o FRBNF42085441 ).
(sisään) Heini Halberstam , " A Book Review : The Indian Clerk " ["Book Review: The Indian Accountant "], American Journal of American Mathematical Society -lehden lehtiartikkelit , voi. 55, n o 8, s. 952-956 [PDF] , osoitteessa ams.org ,syyskuu 2008(käytetty 12. toukokuuta 2018 ) .
(en) Simon McBurney , katoava numero , Lontoo, Oberon,2008( ISBN 978-1-84002-830-0 ).
Katoava numero teatterin verkkosivustolla.
(in) Ramanujan on Internet Movie Database .
(in) Mies joka uhmasi ääretön on Internet Movie Database .
(in) Stuart Jeffries, " Genius numeroin: miksi Hollywood-elokuvia matematiikan eivät täsmää " , The Guardian ,6. huhtikuuta 2016( lue verkossa )
(in) Numb3rs - Trivia on IMDb .
(in) Marie-Pierre Moreau , Heather Mendickn ja Debbie Epstein , " Matemaattisten maskuliinisuuksien rakentaminen populaarikulttuurissa " julkaisussa Elwood Watson, Pimps, Wimps, Studs, Thugs and Gentlemen ,2009, 318 Sivumäärä ( online-esitys )
(in) Srinivasa Ramanujan (GH Hardy, PVS Aiyar ja Bertram Martin Wilson , toim.), Collected Papers of Srinivasa Ramanujan , Providence , American Mathematical Society ,1962( 1 st toim. 1927) ( online-esityksen ).
(in) " Tässä on Ramanujan-muistikirjan keräyspainos " [" Ramanujanin keräilijän painoksen muistikirjat"], Hindu ,27. joulukuuta 2011( lue verkossa ).
(in) S. Ramanujan, Kadonnut Notebook ja muut julkaisemattomat , New Delhi, Narosa Publishing House,1988( ISBN 3-540-18726-X ).
(in) Srinivasa Ramanujan ja Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks: Part I ["The notebooks of Ramanujan: Volume I"], New York , Springer Science + Business Media ,1985, 357 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-96110-1 , OCLC 643580261 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-1088-7 ).
(sisään) Srinivasa Ramanujan ja Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks: Part II ["The notebooks of Ramanujan: Volume II"], New York , Springer Science + Business Media ,1989, 360 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-96794-3 , OCLC 848480391 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-4530-8 ).
(in) Srinivasa Ramanujan ja Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks: Part III ["The notebooks of Ramanujan: Volume III"], New York , Springer Science + Business Media ,1991, 510 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-97503-0 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-0965-2 ).
(in) Srinivasa Ramanujan ja Bruce C. Berndt, Ramanujan muistikirjat: Osa IV [ "Muistikirjoja on Ramanujan: Volume IV"], New York , Springer ,1994, 451 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-94109-7 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-0879-2 ).
(vuonna) Srinivasa Ramanujan ja Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks: Part V ["The notebooks of Ramanujan: Volume V"], New York , Springer Science + Business Media ,1998, 624 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-94941-3 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-1624-7 ).
(in) George E. Andrews ja Bruce C. Berndt , Ramanujanin Kadonnut muistikirja: Part I [ "Notebook menetti Ramanujan: Volume I"], New York , Springer ,2005, 438 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-25529-3 , DOI 10.1007 / 0-387-28124-X ).
(in) George E. Andrews ja Bruce C. Berndt , Ramanujanin Kadonnut muistikirja: Part II [ "Notebook menetti Ramanujan: Volume II"], New York , Springer ,2009, 420 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-77765-8 , DOI 10.1007 / b13290 ).
(in) George E. Andrews ja Bruce C. Berndt , Ramanujanin Kadonnut muistikirja: Part III [ "Notebook menetti Ramanujan: Volume III"], New York , Springer ,2012, 436 Sivumäärä ( ISBN 978-1-4614-3809-0 , DOI 10.1007 / 978-1-4614-3810-6 ).
(in) George E. Andrews ja Bruce C. Berndt , Ramanujanin Kadonnut muistikirja: Osa IV [ "Notebook menetti Ramanujan: Volume IV"], New York , Springer ,2013, 439 Sivumäärä ( ISBN 978-1-4614-4080-2 , DOI 10.1007 / 978-1-4614-4081-9 ).
(in) George E. Andrews ja Bruce C. Berndt , Ramanujanin Kadonnut muistikirja: Osa V [ "Notebook menetti Ramanujan: Volume V"], New York , Springer ,2018, 425 Sivumäärä ( ISBN 978-3-319-77832-7 , DOI 10.1007 / 978-3-319-77834-1 ).
(in) Bruce C. Berndt ja Robert A. Rankin , Ramanujan: Kirjeet ja kommenttiraita [ "Ramanujan: Letters kommentoi"], Providence , American Mathematical Society ,1995( ISBN 0-8218-0287-9 , online-esitys ).

Katso myös

Bibliografia

: tämän artikkelin lähteenä käytetty asiakirja.

Ranskaksi

Godfrey Harold Hardy ( kääntänyt Dominique Jullien ja Serge Yoccoz, pref. Charles Percy Snow ), "Ramanujan, intialainen matemaatikko" , Hardy, 1877-1947: matemaatikon anteeksipyyntö , Pariisi , Éditions Belin , coll. "Tutkija, aikakausi",1985, 191 Sivumäärä ( ISBN 9782701105307 ja 2701105307 , OCLC 19251745 ).
Jonathan Borwein ja Peter Borwein (erikoisnumero Les Mathématiciens ), ” Srinivasa Ramanujan ” Pour la Science , n O 2,tammikuu 1994, s. 108-116 ( ISSN 1246-7685 ).
Bernard Randé , Srinivasa Ramanujanin intialaiset muistikirjat , Pariisi, Cassini,2002( ISBN 2-842-25065-6 , online-esitys ).
Ariel Bleicher " muistiinpanoja Ramanujan, ehtymätön aarre ", Pour la Science , n o 441,heinäkuu 2014, s. 50-55 ( lue verkossa ).
Juan José rue Perna ( trans. Magali Mangin), henki, joka halusi ymmärtää ääretön: Ramanujan , Barcelona, RBA Coleccionables,2018, 159 Sivumäärä ( ISBN 978-84-473-9318-3 )
Godfrey Harold Hardy , matematiikka ja matemaatikot , Nitens, 2018. ( ISBN 978-2-901122-00-5 ) . Hardyn 23 tekstin joukossa monet muistuttavat Ramanujania.

Englanniksi

(en) Godfrey Harold Hardy , ” Obituary, S. Ramanujan ” , Nature , voi. 105, n ° 7,Kesäkuu 1920, s. 494 ( lue verkossa ).
(en) Godfrey Harold Hardy , ” Srinivasa Ramanujan Obituary ” , Proceedings of the London Mathematical Society , voi. 19,1921, s. 40-58 ( lue verkossa ).
( fr ) Godfrey Harold Hardy , " Intialainen matemaatikko Ramanujan " , The American Mathematical Monthly , voi. 44, n ° 3,Maaliskuu 1937, s. 137-155 ( lue verkossa ). ; artikkeli seuraavaan kirjaan:
( fr ) Godfrey Harold Hardy , Ramanujan, kaksitoista luentoa hänen elämänsä ja työnsä ehdottamista aiheista1940.
( fr ) John Edensor Littlewood , matemaatikon sekalaista "" Matemaatikon sekalaisia heijastuksia "], Lontoo, Methuen,1953( lue verkossa )(Luku 9: Katsaus Ramanujanin kerättyihin papereihin , sivut 84-90).
(en) Shiyali Ramamrita Ranganathan , Ramanujan, mies ja matemaatikko [“Ramanujan, mies ja matemaatikko”], Bombay, Asia Publishing House,1967( ISBN 978-81-7000-557-5 ).
(en) Robert Kanigel , Mies, joka tiesi ääretön: Genius-elämä Ramanujan , New York, Charles Scribnerin pojat,1991( ISBN 0-684-19259-4 ).
(en) Bruce Carl Berndt , Robert Alexander Rankin , Subrahmanyan Chandrasekhar , DAB Young et ai. , Ramanujan: Esseitä ja selvitykset [ "Ramanujan: Essays and Studies"], Providence , American Mathematical Society , Coll. "Matematiikan historia, voi. 22 ",2001( ISBN 978-0-8218-2624-9 , OCLC 490711330 , ilmoitusta BNF n o FRBNF38852724 , online-esityksen ).
(en) Ken Ono , ” Kumbakonamin lahjan kunnioittaminen ” , Notices of the American Mathematical Society , voi. 56, n ° 6,Kesäkuu-heinäkuu 2006, s. 640-651 ( lue verkossa ).
(en) Krishnaswami Alladi , Ramanujanin paikka matematiikan maailmassa , Springer , Intia,2012( ISBN 978-81-322-0766-5 ).
( fr ) Krishnaswami Alladi , " Srinivasa Ramanujan: Going Strong at 125 " ["Srinivasa Ramanujan: Still Fit at 125"], Notices of the American Mathematical Society , voi. 59,Joulukuu 2012, s. 1522-1537 (osa I) ( lue verkossa )ja nide 60, tammikuu 2013, s. 10-2 2 (osa II) [ lue verkossa ] .

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Ramanujan-muistikirjat
Luettelo aiheista, jotka on nimetty Srinivasa Ramanujanin mukaan , ja erityisesti
- Ramanujanin oletus
- Rogers-Ramanujanin henkilöllisyys
- SASTRA Ramanujan -palkinto
- Ramanujan Journal (aikakauslehti omistettu matematiikan alueille, joihin hän vaikutti).
Lähes kokonaisluku
Kokonaisluvun osio
Väärä teeta-funktio

Ulkoiset linkit

“Ramanujanin salaperäiset muistikirjat” , luento: Édouard Thomas (osat 2/4 , 3/4 , 4/4 ); katso myös tämän konferenssin diat .
(en) Ramanujanille omistettu sivusto , jota sponsoroi Chennain matemaattisten tieteiden instituutti (KS Raon johdolla) ja joka sisältää erityisesti
- (in) otteita Ramanujanin ja Hardyn välisestä kirjeenvaihdosta ,
- (in) valokopiot muistikirjoista ,
- en) Intiassa ja Englannissa julkaistut artikkelit jne.
(in) Frontline , " Rediscovering Ramanujan " [ "Rediscovering Ramanujan"] : haastattelu Bruce Carl Berndt esittelyjä tulosten kannettavat Ramanujan
Auktoriteettitiedot :
Tiedotteita yleensä sanakirjoja tai tietosanakirjoja : Brockhaus Encyclopedia • Enciclopedia De Agostini • Encyclopædia Britannica • Encyclopædia Britannica • Encyclopedia Treccani • Gran Enciclopèdia Catalanasta • Hrvatska enciklopedija • Ruotsin Nationalencyklopedin • Oxford Dictionary of National Biography • Store Norske leksikon
Tutkimusresurssi :
- (en) Matematiikan sukututkimushanke