Erilaiset sarjat

On matematiikka , ääretön sarja sanotaan olevan toisistaan poikkeavia , jos sekvenssi sen osittaisten summien ei ole yhtenevä .

Reaalilukujen tai kompleksilukujen osalta lähentymisen välttämätön edellytys on, että sarjan yleinen termi pyrkii kohti nollaa . Mukaan contraposition , tämä tarjoaa monia esimerkkejä erilaisten sarja, esimerkiksi yksi , jos kaikki termit ovat yhtä kuin 1 . Esimerkki eroavista sarjoista, joiden yleinen termi on 0, on harmoninen sarja  :

1+12+13+14+15+⋯ = ∑ei=1∞ 1ei.{\ displaystyle 1+ {1 \ yli 2} + {1 \ yli 3} + {1 \ yli 4} + {1 \ yli 5} + \ cdots \ = \ \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty } \ {\ frac {1} {n}}.}

Tietyissä tapauksissa on silti mahdollista omistaa sarjalle rajallinen arvo (puhutaan myös antilimitistä ) käyttämällä menetelmää, joka tunnetaan nimellä "summaus" tai "summoitavuus", jota on useita muunnelmia. Grandi sarja 1-1 + 1-1 + 1 ... on siten annettu arvo 1/2, esimerkiksi. Tällä tavoin saaduilla arvoilla ei ole mitään yhteyttä sarjan osasummiin, mikä johtaa paradoksaalisiin kirjoituksiin, kuten 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = -1/12.

On teoreettinen fysiikka , monissa tilanteissa ratkaisuja voidaan laskea vain avulla häiriöteoria , joka antaa tulokset muodossa sarjan, jotka ovat useimmiten erilaisten; sopivien osasummien käyttö antaa kuitenkin erinomaiset numeeriset likiarvot. Yllättävämpää on, että summausmenetelmillä, kuten zeta-laillistamisella, saaduilla arvoilla on usein fyysinen merkitys, esimerkiksi laskettaessa Casimir-vaikutusta .

Historiallinen

Lähentymisen käsite herätti kreikkalaisia ​​matemaatikkoja "filosofisissa" kysymyksissä, joita Zenon paradoksit edustavat hyvin  ; Lisäksi tiettyjen sarjojen, kuten harmonisten sarjojen (joiden eriarvoisuuden osoitti keskiajalla matemaatikko Nicole Oresme ) lähentyminen (tai ei) vaatii millään tavoin intuitiivista, tarkkoja määritelmiä. Vaikka sitä ei ole otettu tiukasti klo 19 th  luvulla , ei-lähentymistä sarja Grandi , tai brutto eroja sarjan 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ on selvästi ymmärrettävissä 17 th  -luvulla . Leonhard Euler näyttää olleen ensimmäinen, joka kuitenkin käyttää tällaisia ​​erilaista sarjaa, tietäen täysin kirjoituksensa ilmeisen järjetöntä; löydämme samanlaisia ​​huomautuksia Abelin ja Ramanujanin kynästä . Selitys heidän menetelmiensä onnistumisesta annetaan vasta Borelin ja Hardyn työn jälkeen vuoden 1930 jälkeen; tarkemmat sovellukset, erityisesti fysiikassa tai numeerisessa analyysissä, olivat perusteltuja vasta 1990-luvulla.

Lähentymiskäsitteet

Ensimmäinen tapa määritellä erilaisten sarjojen summa koostuu muutoksesta numerosarjan topologiaa , jota käsittelemme. Muistakaa, että yleisten termien sarja lähentyy kohti S: tä, kun osittaisten summien jakso pyrkii kohti S: tä (merkitään sitten ), toisin sanoen milloin . Tämä määritelmä riippuu kuitenkin standardin valinnasta |, ja näin on mahdollista määritellä esimerkiksi rationaaliarvojen divergenttisarja (tavallisessa mielessä) valitsemalla niistä absoluuttisesta arvosta erilainen etäisyys. Lause Ostrowskin kuitenkin, osoittaa, että vain absoluuttiset arvot p -adic on riittävästi sopivia ominaisuuksia, joka mahdollistaa yhteenvetona muutamia eriäviä sarja, kuten geometrinen sarja , joka suppenee kohti rungon numerot p -adic jos s jakaa R .  kloei{\ displaystyle a_ {n}} (ATei)ei∈EI{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ sisään \ mathbb {N}}}ATei=∑k=0eiklok{\ displaystyle A_ {n} = \ summa _ {k = 0} ^ {n} a_ {k}}S=∑ei=0+∞kloei{\ displaystyle S = \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n}}limei→∞|S-ATei|=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} | S-A_ {n} | = 0}∑ei=0+∞Rei{\ displaystyle \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} R ^ {n}}11-R{\ displaystyle {\ frac {1} {1-R}}}

Summausmenetelmät

Summattu menetelmä on funktio alkaen tietty alijoukko sekvenssien osittaisten summien sarjan todellisia tai monimutkaisia ehdot (joka luonnollisesti tunnistaa kanssa sekvenssien joukko todellisia tai monimutkaisia termejä, mutta se on tavallisesti, ja sen vuoksi enemmän käytännön ei tehdä tämä tunniste, kun puhumme sarjoista) ja arvojen kanssa reaalisten tai kompleksisten numeroiden joukossa. Korjaamme seuraavat merkinnät: ( a n ) on sarja reaalilukuja tai kompleksilukuja, s on sarja yleisiä termejä a n , ja sen osittaiset summat on merkitty . Ensimmäisiä ominaisuuksia, joista on keskusteltu summausmenetelmällä M, ovat sei=∑i=0eikloi{\ displaystyle s_ {n} = \ summa _ {i = 0} ^ {n} a_ {i}}

1. säännöllisyys . Summausmenetelmän M sanotaan olevan säännöllinen, jos heti kun osittaisten summien ( s n ) sekvenssi yhtyy kohti rajaa S , identiteetti M ( s ) = S varmistetaan.
2. lineaarisuus . Menetelmän M sanotaan olevan lineaarinen, jos sen lähtöjoukko sallii vektoritilan rakenteen (todellisen tai kompleksisen), ja se määrittelee lineaarisen kartan tästä avaruudesta saapumisjoukossa.
3. vakaus . Määritämme toisen sarjan s sarjasta s siirtämällä, olettaen, että sen yleinen termi on ' n = a n +1 (tai että sen osittainen summa on s' n = s n +1 - s 0 ). Menetelmän M sanotaan olevan pysyvä, jos jäsenyys s ' on lähtöaineena joukko M on yhtä kuin n , ja jos, tässä tapauksessa, meillä on identiteetti: M ( t' ) = M ( t ) - klo 0 .

Jotkut tärkeät menetelmät, kuten Borelin summat, eivät ole vakaita. Numeerisesta näkökulmasta säännöllisyyden ja lineaarisuuden ominaisuuksien hylkääminen antaa mahdollisuuden johtaa myös tehokkaisiin menetelmiin, kuten Padén likiarvojen tapaan . Edellisessä kappaleessa mainittu topologian muutos ei ole myöskään säännöllinen menetelmä: on mahdollista konstruoida reaalien sekvenssejä, jotka yhtyvät samanaikaisesti reaaleissa ja p- adikoissa, mutta kohti erillisiä rationaalisia arvoja.

Kahden erillisen summausmenetelmän vertailu voidaan tehdä seuraavien käsitteiden avulla: Kahden menetelmän A ja B sanotaan olevan yhteensopivia (tai johdonmukaisia), jos niillä on sama arvo kullekin sarjalle kuin molemmat. Kahden yhteensopivan menetelmän välillä, jos yksi onnistuu laskemaan kaikki sarjat, jotka toinen onnistuu summaamaan, sanotaan sen olevan vahvempi.

Aksiomaattinen näkökulma

Aksiomaattinen näkökulma koostuu seurausten löytämisestä summausmenetelmän ominaisuuksiin perusominaisuuksista. Esimerkiksi mikä tahansa säännöllinen, vakaa ja lineaarinen menetelmä, joka onnistuu summaamaan muun syyn r geometrisen sarjan r kuin 1, summataan ne samaan arvoon, joka määritetään seuraavassa laskelmassa:

G(r,vs.)=∑k=0∞vs.rk=vs.+∑k=0∞vs.rk+1 (vakauden takaamiseksi) =vs.+r∑k=0∞vs.rk (lineaarisuuden mukaan) =vs.+rG(r,vs.), siksi G(r,vs.)=vs.1-r.{\ displaystyle {\ begin {tasattu} G (r, c) & = \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} cr ^ {k} && \\ & = c + \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} cr ^ {k + 1} && {\ mbox {(vakauden takaamiseksi)}} \\ & = c + r \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} cr ^ {k} && { \ mbox {(lineaarisuuden mukaan)}} \\ & = c + r \, G (r, c), && {\ mbox {siis}} \\ G (r, c) & = {\ frac {c} { 1 -r}}. && \\\ loppu {tasattu}}}

Abelin ja Tauberin lauseet

Summausmenetelmän M sanotaan olevan säännöllinen, jos sen tarjoamat tulokset ovat yhteneville sarjoille samat kuin näiden sarjojen summat klassisessa mielessä. Tällainen tulos kantaa abelin lauseen yleisnimeä , ja Abelin lause, joka koskee kokonaislukusarjojen arvoa lähentymispiirissä, on sen prototyyppi. Taubériens lauseet ovat vastavuoroisia tuloksia, varmistaa menetelmä M summattu on kiinnitetty, mikä tahansa sarja summataan tällä menetelmällä täyttävät tietyn lisäehto (menetelmästä riippuen) on itse asiassa suppeneva sarja . Lisäehdon pyytäminen on tärkeää, koska Tauberin lauseen todentamismenetelmä ilman tällaista ehtoa ei todellakaan pystyisi laskemaan muita sarjoja kuin lähentyvät, eikä siksi ole kiinnostavaa erilaisten sarjojen tutkimiseen.

Operaattori, joka määrittää konvergenttisen sarjan sen summan, on lineaarinen; lisäksi Hahn-Banach-lauseen mukaan se voidaan laajentaa lineaariseksi operaattoriksi sarjatilassa, jonka osisummien sarja on rajattu. Tämä tapa hyökätä ongelmaan ei kuitenkaan osoittautu kovin hedelmälliseksi: toisaalta näin saatu todiste perustuu Zornin lemmaan ja on siksi rakentamaton; toisaalta ei ole ainutkertaistulosta, ja saadut erilaiset summausmenetelmät eivät ole kovin yhteensopivia.

Eri sarjojen yhteenlaskemisen ongelma keskittyy siis nimenomaisten menetelmien etsimiseen, kuten Abelin , Cesàron lemman tai Borelin summauksen etsimiseen ja niiden suhteisiin. Tauberin lauseet ovat myös tärkeä aihe; erityisesti Wienerin Tauberian lauseen kautta, joka valaisee odottamattomia yhteyksiä Fourier-analyysin ja Banach-algebrojen tutkimuksesta saatujen menetelmien välillä .

Summattu erilaisten sarja liittyy myös ekstrapoloinnin menetelmiä ja sekvenssin muutos menetelmiä , kuten Padé puolivokaalia .

Nörlundin keskiarvot

Olkoon p = ( p n ) sekvenssi, jolla on positiiviset termit ja joka varmistaa lähentymisen:

seis0+s1+⋯+sei→0.{\ displaystyle {\ frac {p_ {n}} {p_ {0} + p_ {1} + \ cdots + p_ {n}}} \ rightarrow 0.}

Olkoon s yleisen termin s m jakso s . Sen Nörlund-keskiarvo suhteessa jaksoon p on yleisten termien sekvenssin raja:

tm=sms0+sm-1s1+⋯+s0sms0+s1+⋯+sm,{\ displaystyle t_ {m} = {\ frac {p_ {m} s_ {0} + p_ {m-1} s_ {1} + \ cdots + p_ {0} s_ {m}} {p_ {0} + p_ {1} + \ cdots + p_ {m}}},}

ja sitä on merkitty N p ( t ).

Nämä summausmenetelmät ovat säännöllisiä, lineaarisia, vakaita ja yhdenmukaisia ​​keskenään. Kun k on ehdottomasti positiivinen kokonaisluku, yleisen termin sekvenssin p ( k ) erityistapaus:

sei(k)=(ei+k-1k-1)=(ei+k-1)!(k-1)! ei!=Γ(ei+k)Γ(k)Γ(ei+1){\ displaystyle p_ {n} ^ {(k)} = {n + k-1 \ valitse k-1} = {\ frac {(n + k-1)!} {(k-1)! \ n! }} = {\ frac {\ Gamma (n + k)} {\ Gamma (k) \ Gamma (n + 1)}}}

on Cesàron järjestyslukumenetelmä k , jota merkitään Ck , ja sen vuoksi: C k ( s ) = N ( p ( k ) ) ( s ). Tämä määritelmä on yleisesti pidennetään ilmaiseva C 0 tavallista summattu suppeneva sarja; C 1 on tavallinen Cesàro-summa, koska . Kun h > k , järjestyksen h Cesàro-summa on vahvempi kuin järjestys k . sei(1)=1{\ displaystyle p_ {n} ^ {(1)} = 1}

Abelin summausmenetelmät

Olkoon λ = {λ 0 , λ 1 , λ 2 ,…} tiukasti kasvava positiivisten reaalien sarja, joka pyrkii äärettömään. Abelin summa, joka on kytketty yleisen termin a n sarjan s sekvenssiin λ, on

ATλ(s)=limx→0+f(x),{\ displaystyle A _ {\ lambda} (s) = \ lim _ {x \ rightarrow 0 ^ {+}} f (x),}

sillä ehdolla, että seuraava funktion f määrittelevä summa on konvergentti x: lle riittävän lähellä nollaa:

f(x)=∑ei=0+∞kloeie-λeix.{\ displaystyle f (x) = \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} e ^ {- \ lambda _ {n} x}.}

Tämän lomakkeen sarjat ovat yleistyksiä Dirichlet-sarjoista .

Nämä summausmenetelmät ovat säännöllisiä, lineaarisia, vakaita, mutta kahden tällaisen menetelmän välillä ei yleensä ole johdonmukaisuutta (toisin sanoen kahdelle erilliselle λ-valinnalle).

Abelin kutsu

Tapauksessa λ n = n saadaan muuttujien z = e - x muutoksella lauseke:

f(x)=∑ei=0+∞kloeie-eix=∑ei=0+∞kloeizei.{\ displaystyle f (x) = \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} e ^ {- nx} = \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n } z ^ {n}.}

Ja raja f kuin x lähestymistapoja 0 on siis raja koko sarjan edellä z lähestyy 1 (pitkin reaaliakselilla, alemmalla arvot).

Abelin kutsu on yhteensopiva Cesàron kutsun kanssa, ja se on vahvempi kuin tämä missä tahansa järjestyksessä.

Lindelöf kutsuu

Tapauksessa λ n = n ln ( n ) saadaan:

f(x)=klo1+klo22-2x+klo33-3x+⋯.{\ displaystyle f (x) = a_ {1} + a_ {2} 2 ^ {- 2x} + a_ {3} 3 ^ {- 3x} + \ cdots.}

Raja, kun x lähestyy 0, on Lindelöfin summa yleisestä termisarjasta a n . Tätä menetelmää voidaan käyttää koko sarjaan.

Analyyttinen laajennus

Edellä mainitut menetelmät voidaan tulkita sarjaan liittyvien toimintojen arvoina; useat muut summausmenetelmät perustuvat tällaisen funktion analyyttiseen laajentamiseen.

Koko sarjaan

Jos Σ a n x n yhtyy pienen moduulin x : lle ja voidaan pidentää pisteestä x = 0 pisteeseen x = 1 tietyllä polulla, summa Σ a n voidaan määritellä tämän pidennyksen arvona x = 1 . Huomaa, että tämä summa voi muuttua valitun polun mukaan.

Euler kutsuu

Eulerin summa on pohjimmiltaan nimenomainen muoto analyyttisestä jatkamisesta. Jos kokonaislukusarja Σ a nz n yhtenee minkä tahansa kompleksin z kohdalle ja sitä voidaan analyyttisesti pidentää jatkuvasti läpimitaltaan [−1 / ( q +1), 1] olevalla avoimella kiekolla ja on jatkuva 1: ssä, niin tässä kohdassa oleva arvo on kutsutaan sarjan Euler-summaksi Σ a n ja huomautetaan (E, q ) Σ a n Euler käytti tätä tekniikkaa, ennen kuin analyyttisen laajennuksen idea oli selkeästi määritelty ja antoi useita tuloksia koko sarjan tapaukselle.

Eulerin summaus voidaan toistaa, mikä lopulta antaa analyyttisen jatkon koko sarjalle pisteessä z = 1.

Dirichlet-sarjaan

Voidaan määritellä sarjan summa Σ a n kuten Dirichlet-sarjan analyyttisen jatkeen antama arvo

f(s)=klo11s+klo22s+klo33s+⋯{\ displaystyle f (s) = {\ frac {a_ {1}} {1 ^ {s}}} + {\ frac {a_ {2}} {2 ^ {s}}} + {\ frac {a_ { 3}} {3 ^ {s}}} + \ cdots}

ja s = 0, jos raja-arvo on olemassa ja on ainutlaatuinen.

Zeta-laillistamisen avulla

Jos sarja

f(s)=1klo1s+1klo2s+1klo3s+⋯{\ displaystyle f (s) = {\ frac {1} {a_ {1} ^ {s}}} + {\ frac {1} {a_ {2} ^ {s}}} + {\ frac {1} {a_ {3} ^ {s}}} + \ cdots}

(varten n positiivisia) suppenee s riittävän suuri ja sitä voidaan jatkaa analyyttisesti reaaliakselilla kohti s = -1, niin sen arvo s = -1 kutsutaan summa ”zeta-säädellään” sarja ö n . Tämä laillistaminen on epälineaarista.

Sovelluksissa, numerot i ovat joskus ominaisarvot itse adjoint operaattori kompakti resolventtiyhtälöt, ja tässä tapauksessa, f ( t ) on jälki - s . Esimerkiksi, jos A myöntää ominaisarvoksi 1, 2, 3, ..., f ( s ) on Riemannin zeta-funktio ζ ( s ), jonka arvo s = −1 on yhtä suuri kuin −1/12, mikä antaa tämän arvon sarjalle 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ . Muut s- arvot voidaan antaa eriytyville sarjoille ζ(-s)=∑ei=1∞eis=1s+2s+3s+...=-Bs+1s+1{\ displaystyle \ zeta (-s) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {s} = 1 ^ {s} + 2 ^ {s} + 3 ^ {s} + \ ldots = - {\ frac {B_ {s + 1}} {s + 1}}} missä B k on Bernoullin luku .

Sovellukset

Paradoksaalista kyllä, divergenttien (tyypillisesti asymptoottisista laajennuksista peräisin olevien ) sarjojen käyttö laskemalla vain pienimmällä aikavälillä lyhennetyt osittaiset summat antavat usein tarkempia numeerisia tuloksia (ja vähemmän laskelmia) kuin ne, jotka on saatu käyttämällä sarjojen konvergentteja. Vuonna teoreettinen fysiikka , monissa tilanteissa, kuten ongelmana N elinten vuonna taivaanmekaniikkaa kun N > 2, ongelma N kehon yleinen suhteellisuusteoria kun N > 1, ongelma n > 2 elinten kvanttimekaniikka , The teoria quantum muokkaavista kentät on "  standardi malli  " jne., liuoksia voidaan laskea vain avulla teorian häiriöiden , joka antaa tuloksia muodossa sarjan, jotka ovat useimmiten erilaisten, mutta jonka menetelmän osittaisten summien antavat erinomaisen likiarvoja.

Liitteet

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Grandi-sarja
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• Vaihtoehtoinen kokonaislukusarja
• Vaihtoehtoinen sarja faktoria
• Lause Silverman-Toeplitz  (en)
• Eulerin muutos
• Kutsu Cesàrolta
• Ramanujan kutsuu
• Borel kutsuu
• Mittag-Leffler kutsuu
• Banach-raja

Bibliografia

Popularisointi

Jean-Pierre Ramis , "Divergent-sarja", Pour la science , 350 (joulukuu 2006), 132 - 139.

Virtuaalikirjasto

• X-UPS-päivät; Erilaiset sarja- ja jatkomenettelyt (1991) ( [PDF] luettu verkossa ). Sisältää seuraavat neljä julkaisua:
  • Jean-Pierre Ramis , "Erilaiset sarjat ja asymptoottiset teoriat";
  • Michèle Loday-Richaud, "Muodolliset sarjat meromorfisista lineaarisista differentiaalijärjestelmistä";
  • Jean Thomann, "Muodolliset ja numeeriset menetelmät differentiaaliyhtälöiden sarjaratkaisujen summaamiseksi";
  • Alain Chenciner , "Divergent sarja taivaanmekaniikkaa (planeettojen ongelmat)".
• [PDF] "Vanhat ja uudet erilaisista sarjoista" , Frédéric Phamin konferenssi , lähinnä Borelin kutsu .
• Jean-Pierre Ramis , "  Poincaré ja asymptoottinen kehitys (ensimmäinen osa)  ", SMF, Gazette , voi.  133,Heinäkuu 2012( lue verkossa [PDF] )
• Jean-Pierre Ramis , "  Asymptoottinen kehitys Poincarén jälkeen: jatkuvuus ja… erot (osa II)  ", SMF, Gazette , voi.  134,lokakuu 2012( lue verkossa [PDF] )

Lähdekirjat

• Leonhard Euler , "Huomautuksia sekä suorien että vastavuoroisten voimien sarjan hienosta suhteesta", Berliinin tiedeakatemian muistelmat , 17 , 1768, s. 83 - 106; Opera Omnia: Sarja 1, voi. 15, s. 70-90; Euler-arkisto: E352 ( lue verkossa ); tämä vuonna 1749 kirjoitettu teksti on yksi selvästi erilaisten sarjojen ensimmäisistä käyttökohteista, ja näiden kaavojen osalta hän itse kirjoittaa (s. 2): "Sen täytyy tuntua melko paradoksaaliselta" .
• Yleisemmin Eulerin työtä erilaisten sarjojen suhteen analysoidaan (tässä) Ed Sandiferin artikkelissa (sarjassa nimeltä Euler teki sen ).
• Émile Borel , Oppitunteja Erilaiset sarja , Gauthier-Villars , Pariisi, 2 nd ed., 1928
• (en) Godfrey Harold Hardy , Divergent Series , Oxford University Press , 1949; ruoko. AMS , 1992 ( ISBN  0-8218-2649-2 )  ; [ lue verkossa ]
• Jean-Pierre Ramis , Erilaiset sarjat ja asymptoottiset teoriat , panoraamat ja synteesit, 0 , 1994 ( ISBN  2-85629-024-8 )
• Bernard Malgrange , " Summing of divergent series", Expositions Mathematicae , 13 (1995), 163-222

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista ”  Divergent series  ” ( katso luettelo kirjoittajista ) .

1. Eulerin alkuperäinen teksti näistä sarjoista  ; Näistä kaavoista hän kirjoitti itse ( s.  2 ): "Sen täytyy tuntua melko paradoksaaliselta" ja lisäsi: "Mutta olen jo huomannut toisessa tilanteessa, että sanalle summa on annettava laajempi merkitys".
2. Kirje Holmboelle 16. tammikuuta 1826:

   ”Eri sarjat ovat paholainen keksintö, ja on sääli, että uskallamme perustaa minkä tahansa mielenosoituksen niihin. Voimme saada heiltä mitä haluamme, kun käytämme niitä, ja juuri he ovat tuottaneet niin paljon epäonnistumisia ja niin monia paradokseja. Voimmeko ajatella jotain pelottavampaa kuin sanoa: 0=1-2ei+3ei-4ei+...(ei>0){\ displaystyle 0 = 1-2 ^ {n} + 3 ^ {n} -4 ^ {n} + \ ldots \ quad (n> 0)} Ystäväni, tässä on naurettavaa. "

3. Hänen toisen kirjeen Godfrey Harold Hardy , päivätty helmikuussa 27, 1913 Ramanujan kirjoittaa: ”Odotin sinulta vastausta, joka vastaa matematiikan professori Lontoossa kirjoitti, kutsui minut tutkimaan huolellisesti Infinite sarja on Thomas John I 'Anson Bromwich eikä joutua erilaisten sarjojen ansoihin. […] Sanoin hänelle, että teoriani mukaan sarjan 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12 lukemattomien termien summa . Jos kerron tämän sinulle, kerrot heti, että olen hyvä hullulle turvapaikalle. "
4. Esimerkiksi sekvenssi pyrkii kohti reaalilukuja 1 ja p- adicsissa kohti 0 .uei=seisei+1{\ displaystyle u_ {n} = {\ frac {p ^ {n}} {p ^ {n} +1}}}
5. Tämä on erillinen muunnos zeta-laillistamismenetelmästä .
6. (in) Terence Tao , "  Eulerin-Maclaurinin kaava, Bernoulli numerot, Zeta funktio, ja todellinen muuttujan analyyttinen jatkaminen  " ,10. huhtikuuta 2010.
7. Jean-Pierre Ramis , "Divergent-sarja ja asymptoottiset teoriat", Divergent-sarjoissa ja jatkumisprosesseissa , Journées X-UPS, 1991 ( [PDF] luettu verkossa ).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">