Gaussin jatkuva jae

On monimutkainen analyysi , eli Gaussin jatkuva osa on erikoistapaus jatkuva osa on peräisin hypergeometrinen sarja . Tämä oli yksi varhaisimmista esimerkeistä analyyttisistä jatkuvista fraktioista . Ne mahdollistavat tärkeiden perusfunktioiden sekä monimutkaisempien transsendenttisten erikoistoimintojen edustamisen .

Historia

Lambert julkaistu muutamia esimerkkejä yleisen edelleen jakeet tämän lomakkeen 1768, osoittaa muun muassa irrationaalisuuteen on $π$ ( vrt § "Applications 0 F 1 " alla ). Euler ja Lagrange tutkivat samankaltaisia rakenteita, mutta Gauss käytti seuraavassa osassa kuvattua algebrallista temppua tämän jatkuvan jakeen yleisen muodon antamiseksi vuonna 1813.

Se ei kuitenkaan osoittanut lähentymisen ominaisuuksia . Bernhard Riemann ja Ludwig Wilhelm Thomé saivat osittaisia tuloksia, mutta vasta vuonna 1901 Edward Burr Van Vleck (ei) selvitti lähentymisaluetta .

Yleinen kaava

Olkoon $( f i ) olla$ sekvenssi analyyttinen toimintoja siten, että kaikilla $i > 0$ ,

{\ displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} \, z \, f_ {i + 1},}

missä $k i$ ovat vakioita . Joten poseeraamalla ${\ displaystyle g_ {i} = {\ frac {f_ {i}} {f_ {i-1}}} {\ text {, meillä on}} g_ {i} = {\ frac {1} {1 + k_ {i} zg_ {i + 1}}}}$ siksi ( Pringsheimin merkinnässä ) ${\ displaystyle {\ frac {f_ {1}} {f_ {0}}} = g_ {1} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1 + k_ {1} zg_ {2}}} = { \ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {1} z \ mid} {\ mid 1 + k_ {2} zg_ {3}}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {1} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {2} z \ mid} {\ mid 1 + k_ {3} zg_ {4 }}} = \ ldots}$ ja toistamalla tämän muutoksen loputtomasti:

{\ displaystyle {\ frac {f_ {1}} {f_ {0}}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {1} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {2} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {3} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots.}

On Gaussin ketjumurtoluku, toiminnot $f i$ ovat hypergeometrinen sarja muotoa 0 F 1 , 1 F 1 ja 2 F 1 , ja yhtälöt $f i -1 - f i = k i ZF i + 1$ peräisin " identiteettien välillä nämä toiminnot, joissa parametrit eroavat kokonaismäärien mukaan . Nämä identiteetit voidaan osoittaa monin tavoin, esimerkiksi laajentamalla sarjaa ja vertaamalla kertoimia, tai laskemalla johdannainen monin tavoin ja eliminoimalla se tuotetuista yhtälöistä.

Kolme sarjaa 0 F 1 , 1 F 1 ja 2 F 1

0 F- 1 sarja

Yksinkertaisin tapaus koskee toimintoa

{\ displaystyle {} _ {0} F_ {1} (; a; z) = 1 + {\ frac {1} {a \, 1!}} z + {\ frac {1} {a (a + 1 ) \, 2!}} Z ^ {2} + {\ frac {1} {a (a + 1) (a + 2) \, 3!}} Z ^ {3} + \ cdots.}

Henkilöllisyyden mukaan ${\ displaystyle _ {0} F_ {1} (; a-1; z) - \, _ {0} F_ {1} (; a; z) = {\ frac {z} {a (a-1) }} \, _ {0} F_ {1} (; a + 1; z),}$ voimme ottaa ${\ displaystyle f_ {i} = \, _ {0} F_ {1} (; a + i; z) {\ text {et}} k_ {i} = {\ frac {1} {(a + i) (a + i-1)},}$ Joka antaa ${\ displaystyle {\ frac {{} _ {0} F_ {1} (; a + 1; z)} {\, _ {0} F_ {1} (; a; z)}} = {\ frac { 1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1} {a (a + 1)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1 } {(a + 1) (a + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1} {(a + 2) (a + 3)}} z \ puolivälissä} {\ mid 1}} + \ cdots}$ tai muuntamalla :

{\ displaystyle {\ frac {{} _ {0} F_ {1} (; a + 1; z)} {a \, _ {0} F_ {1} (; a; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid a}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid a + 1}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid a + 2}} + {\ frac { z \ mid} {\ mid a + 3}} + \ cdots.}

Tämä kehitys lähenee meromorfista funktiota, joka määritetään kahden yhtenevän sarjan osamäärällä (edellyttäen tietenkin, että $a$ ei ole negatiivinen tai nolla kokonaisluku).

1 F- 1 sarja

Seuraava tapaus koskee konfluentteja hypergeometrinen sarja on Kummer

{\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b; z) = 1 + {\ frac {a} {b \, 1!}} z + {\ frac {a (a + 1)} {b (b + 1) \, 2!}} z ^ {2} + {\ frac {a (a + 1) (a + 2)} {b (b + 1) (b + 2) \, 3 !}} z ^ {3} + \ cdots,}

jolle näitä kahta identiteettiä käytetään vuorotellen ${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b; z) = {\ frac {(a- b + 1) z} {b (b-1)}} \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z),}$ ${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - \, _ {1} F_ {1} (a; b; z) = {\ frac {az} {b ( b-1)}} \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z).}$ Kysymällä ${\ displaystyle f_ {0} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a; b; z),}$ ${\ displaystyle f_ {1} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z),}$ ${\ displaystyle f_ {2} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 2; z),}$ ${\ displaystyle f_ {3} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 2; b + 3; z),}$ ${\ displaystyle f_ {4} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 2; b + 4; z),}$ jne. ja ${\ displaystyle k_ {1} = {\ frac {ab} {b (b + 1)}}, ~ k_ {2} = {\ frac {a + 1} {(b + 1 (b + 2)}} , ~ k_ {3} = {\ frac {ab-1} {(b + 2) (b + 3)}}, ~ k_ {4} = {\ frac {a + 2} {(b + 3) ( b + 4)}}, \ ldots}$ saamme ${\ displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)} {{} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {ab} {b (b + 1)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{ \ frac {a + 1} {(b + 1) (b + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{{{\ frac {ab-1} {(b + 2) (b + 3)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {a + 2} {(b + 3) (b + 4)}} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}$ josta päätämme

{\ displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)} {b \, _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {(ab) z \ mid} {\ mid b + 1}} + {\ frac {(a + 1) z \ mid} { \ mid b + 2}} + {\ frac {(ab-1) z \ mid} {\ mid b + 3}} + {\ frac {(a + 2) z \ mid} {\ mid b + 4} } + \ cdots}

mutta myös käyttämällä että 1 F 1 (0, b , z ) = 1 ja korvaamalla $b + 1$ , jonka $b$ , erityistapaus

{\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (1; b; z) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid b + 1}} - {\ frac {bz \ mid} {\ mid b + 2}} + {\ frac {2z \ mid} {\ mid b + 3} } - {\ frac {(b + 1) z \ mid} {\ mid b + 4}} + \ cdots.}

Samoin ${\ displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a; b + 1; z)} {{} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {a} {b (b + 1)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {ab-1} {(b + 1) (b + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {a + 1} {(b + 2) (b + 3)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {ab-2} {(b + 3) (b + 4)}} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}$ tai:

{\ displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a; b + 1; z)} {b \, _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { \ frac {1 \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {az \ mid} {\ mid b + 1}} + {\ frac {(ab-1) z \ mid} {\ mid b + 2 }} + {\ frac {(a + 1) z \ mid} {\ mid b + 3}} + {\ frac {(ab-2) z \ mid} {\ mid b + 4}} + \ cdots. }

2 F- 1 sarja

Viimeinen tapaus koskee toimintoa

{\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = 1 + {\ frac {ab} {c \, 1!}} z + {\ frac {a (a + 1 ) b (b + 1)} {c (c + 1) \, 2!}} z ^ {2} + {\ frac {a (a + 1) (a + 2) b (b + 1) (b) + 2)} {c (c + 1) (c + 2) \, 3!}} Z ^ {3} + \ cdots.}

Käytämme taas vaihtoehtoisesti kahta identiteettiä: ${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c-1; z) - \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c; z) = {\ frac {(ac + 1) bz} {c (c-1)}} \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z),}$ ${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c-1; z) - \, _ {2} F_ {1} (a, b + 1; c; z) = {\ frac {(bc + 1) az} {c (c-1)}} \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z),}$ jotka ovat itse asiassa samat inversio lähellä $a: ta$ ja $b: tä$ .

Kysymällä ${\ displaystyle f_ {0} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a, b; c; z),}$ ${\ displaystyle f_ {1} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z),}$ ${\ displaystyle f_ {2} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 2; z),}$ ${\ displaystyle f_ {3} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 2, b + 1; c + 3; z),}$ ${\ displaystyle f_ {4} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 2, b + 2; c + 4; z),}$ jne. ja ${\ displaystyle k_ {1} = {\ frac {(ac) b} {c (c + 1)}}, ~ k_ {2} = {\ frac {(bc-1) (a + 1)} {( c + 1) (c + 2)}}, ~ k_ {3} = {\ frac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}}, ~ k_ { 4} = {\ frac {(bc-2) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}}, \ ldots}$ saamme ${\ displaystyle {\ frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z )}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {(ac) b} {c (c + 1)}} z \ mid} {\ mid 1} } + {\ frac {{\ frac {(bc-1) (a + 1)} {(c + 1) (c + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{ \ frac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {(bc-2) ) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}} z \ keskellä {{keskellä 1}} + \ cdots}$ josta päätämme

{\ displaystyle {\ frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z )}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid c}} + {\ frac {(ac) bz \ mid} {\ mid c + 1}} + {\ frac {(bc-1) (a +1) z \ mid} {\ mid c + 2}} + {\ frac {(ac-1) (b + 1) z \ mid} {\ mid c + 3}} + {\ frac {(bc- 2) (a + 2) z \ mid} {\ mid c + 4}} + \ cdots.}

mutta myös käyttämällä että 2 F 1 (0, b , c ; z ) = 1 ja korvaamalla $c + 1$ , jonka $c$ , erityistapaus

{\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (1, b; c; z) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {bz \ mid} {\ mid c }} + {\ frac {(bc) z \ mid} {\ mid c + 1}} - {\ frac {c (b + 1) z \ mid} {\ mid c + 2}} + {\ frac { 2 (bc-1) z \ mid} {\ mid c + 3}} - {\ frac {(c + 1) (b + 2) z \ mid} {\ mid c + 4}} + \ cdots.}

Lähentyminen

Tässä osassa jätetään pois tapaus, jossa jotkut parametrit ovat negatiivisia tai nolla kokonaislukuja, koska tässä tapauksessa joko hypergeometrisiä sarjoja ei ole määritelty tai ne ovat polynomeja ja sitten jatkuva osa on äärellinen. Poissulkemme myös muita triviaalisia poikkeuksia.

Toiminnot 0 F 1 ja 1 F 1 ovat kokonaislukuja siksi niiden osamäärät ovat meromorphic . Saadut jatkuvat fraktiot yhtyvät tasaisesti mihin tahansa kompleksin tason rajattuun suljettuun osaan, joka ei sisällä mitään tämän toiminnon napoista .

Suppenemissäde sarjan 2 F 1 on yhtä suuri kuin 1 siksi niiden osamäärät ovat meromorphic on auki yksikkö levy . Saadut jatkuvat fraktiot yhtyvät tasaisesti kaikilla rajoitetuilla suljetuilla suljetuilla, jotka sisältyvät tähän levyyn eivätkä sisällä mitään napoja. Levyn ulkopuolella, jatkuva osa edustaa analyyttinen jatkaminen funktion kompleksitasossa vaille todellinen puoli-line $[1, + \infty [$ . Useimmiten piste $1$ on haarapiste ja puoliviiva $[1, + \infty [$ on haara leikattu tälle toiminnolle.

Esimerkkejä sovelluksista

Sovellukset 0 F 1

Täten löydämme Lambertin jatkuvat murtoluvut hyperbolisille tangentti- ja tangenttitoiminnoille (katso Diophantine-approksimaatiota käsittelevän artikkelin § "Irrationality" ): ${\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ tanh (z) & = {\ frac {\ sinh (z)} {\ cosh (z)}} = {\ frac {z \, _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {3} {2}}; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})} {\, _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {1} {2 }}; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})}}} = {\ frac {z} {2}} ~ {\ frac {{} _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {1} {2}} + 1; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})} {{\ tfrac {1} {2}} \, _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})}}} \\ & = {\ frac {{\ frac {z} {2}} \ mid} { \ mid {\ tfrac {1} {2}}}} + {\ frac {{\ tfrac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid {\ tfrac {1} {2}} + 1}} + {\ frac {{\ tfrac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid {\ tfrac {1} {2}} + 2}} + {\ frac {{\ tfrac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid {\ tfrac {1} {2}} + 3}} + \ cdots \\ & = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1 }} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 5}} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 7}} + \ cdots \ end {tasattu}}}$ (jota muutaman muunnoksen jälkeen voidaan käyttää e: n jatkuvan osan määrittämiseen ); ${\ displaystyle \ tan (z) = - {\ rm {i}} \ tanh ({\ rm {i}} z) = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 3}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 5}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 7} } - \ cdots.}$
Besselin funktion $J α$ voidaan kirjoittaa ${\ displaystyle J _ {\ alpha} (z) = {\ frac {({\ tfrac {1} {2}} z) ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alfa +1)}} \, _ {0} F_ {1} (; \ alpha +1; - {\ frac {z ^ {2}} {4}}).}$ Tästä seuraa, että monimutkaisia $z$ ,

${\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ frac {J _ {\ alpha} (z)} {J _ {\ alpha -1} (z)}} & = {\ frac {z \ Gamma (\ alfa) } {2 \ Gamma (\ alfa +1)}} {\ frac {\, _ {0} F_ {1} (; \ alfa +1; - {\ frac {z ^ {2}} {4}}) } {{} _ {0} F_ {1} (; \ alpha; - {\ frac {z ^ {2}} {4}})}} = {\ frac {z} {2}} {\ frac { \, _ {0} F_ {1} (; \ alfa +1; - {\ frac {z ^ {2}} {4}})} {\ alpha \, _ {0} F_ {1} (; \ alfa; - {\ frac {z ^ {2}} {4}})}}} \\ & = {\ frac {{\ frac {z} {2}} \ kesk} {\ keski \ alpha}} - { \ frac {{\ frac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid \ alpha +1}} - {\ frac {{\ frac {z ^ {2}} {4}} \ mid } {\ mid \ alpha +2}} - {\ frac {{\ frac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid \ alpha +3}} - \ cdots \\ & = {\ frac {z \ mid} {\ mid 2 \ alpha}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 2 (\ alpha +1)}} - {\ frac {z ^ {2} \ puolivälissä} {\ keskellä 2 (\ alfa +2)}} - {\ frac {z ^ {2} \ keskellä {{keskellä 2 (\ alfa +3)}} - \ cdots. \ loppu {tasattu}}}$

Hakemukset kohdassa 1 F 1

Eksponentiaalinen funktio kehittyy ${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {z} = {} _ {1} F_ {1} (1; 1; z) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid 2}} - {\ frac {z \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {2z \ mid } {\ mid 4}} - {\ frac {2z \ mid} {\ mid 5}} + \ cdots.}$
Virhe toiminto $erf$ kehittää, sillä monimutkaisia $z$ , vuonna ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} {\ rm {e}} ^ {z ^ {2}} {\ rm {erf}} (z) = \, _ {1} F_ {1} (1; {\ tfrac {3} {2}}; z ^ {2}) = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {3} {2}}}} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {5} {2}}}} - {\ frac { {\ frac {3} {2}} z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {7} {2}}}} + {\ frac {2z ^ {2} \ mid} {\ mid { \ frac {9} {2}}}} - {\ frac {{\ frac {5} {2}} z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {11} {2}}}} + {\ frac {3z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {13} {2}}}} - {\ frac {{\ frac {7} {2}} z ^ {2} \ mid} {\ keskellä {\ frac {15} {2}}}} + \ cdots.}$
Voimme kehittää samalla tavalla Fresnel-funktiot , Dawsonin toiminnot ja epätäydelliset gammatoiminnot $γ ( s , z )$ ja $Γ ( s , z )$ .

Sovellukset kohdassa 2 F 1

Of ${\ displaystyle (1-z) ^ {- b} = \, _ {1} F_ {0} (b ;; z) = \, _ {2} F_ {1} (1, b; 1; z) }$ ( binomi-sarjan muunnos $(1 + z ) α$ ) päätämme ${\ displaystyle (1-z) ^ {- b} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {bz \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {(b -1) z \ mid} {\ mid 2}} - {\ frac {(b + 1) z \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {2 (b-2) z \ mid} {\ puolivälissä 4}} - {\ frac {2 (b + 2) z \ mid} {\ mid 5}} + \ cdots}$ sekä seuraava funktion kaaren tangentin lauseke : ${\ displaystyle \ arctan (z) = z \, _ {2} F_ {1} ({\ tfrac {1} {2}}, 1; {\ tfrac {3} {2}}; - z ^ {2 }) = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {(1z) ^ {2} \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {(2z) ^ {2} \ mid} {\ mid 5}} + {\ frac {(3z) ^ {2} \ mid} {\ mid 7}} + {\ frac {(4z) ^ {2} \ mid} {\ mid 9} } + \ cdots,}$ joka lähentyy monimutkaisessa tasossa, joka on riistetty kahdelta $puolilinjalta] -\infty, -1] i$ ja $[1, + \infty [i$ puhtaasta kuvitteellisesta akselista ( $i$ ja $-i$ ovat haarapisteitä ). Tämä lähentyminen on melko nopea arvolla $z = 1$ , mikä antaa likimääräisen $π / 4$ - 7 desimaalin tarkkuuden yhdeksännestä pienennetystä (kun taas Brounckerin kaavalla tarvitaan yli miljoona termiä samaan tarkkuuteen).
Voimme kehittää samalla tavalla esimerkiksi luonnollisen logaritmin ja funktion kaaren sinin .

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista " Gaussin jatkuva osa " ( katso luettelo kirjoittajista ) .

(sisään) Hubert Stanley Wall (sisään) , jatkuvien fraktioiden analyyttinen teoria , AMS ,2000( 1 st ed. 1948), 433 s. ( ISBN 978-0-8218-2106-0 ) , s. 349.
(in) William B. Jones ja WJ Thron , jatkuu Fraktiot: Analyyttinen Theory and Applications , Addison-Wesley , ai. "Encyclopedia of Mathematics ja sen sovellukset" ( n o 11),1980( ISBN 978-0-201-13510-7 ) , s. 5.
(La) CF Gauss , " Disquisitiones generales circa seriem infinitam: Sectio secunda - Fractiones continuae " , Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis latestiores ,1813, s. 13-17 ( lue verkossa ).
B. Riemannin, kehittämisestä osamäärä kahden hypergeometrisen sarjaa äärettömän jatkuvassa murto , 1863 - tuotantoonsa de Riemannin, 1873, 2 nd ed., S 424 (postuuminen fragmentti - alkuperäinen nimi: (it) “ Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche in frazione continua infinita ”).
(de) LW Thomé , " Über die Kettenbruchentwicklung des Gauss schen Quotienten ... " , J. kuningatar angew. Matematiikka. , voi. 67,1867, s. 299-309 ( lue verkossa ).
(sisään) EB Van Vleck , " Gaussin jatkuvan jakeen ja muiden jatkuvien jakeiden lähentymisestä " , Annals of Mathematics , voi. 3,1901, s. 1-18 ( DOI 10.2307 / 1967627 ).
Jones ja Thron 1980 , s. 206.
Seinä 2000 , s. 339.
(mistä) Oskar Perron , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Teubner,1913( lue verkossa ) , "§ 64: Beispiele - Die Kettenbrüche von Gauss und Heine" , s. 343-354.
Vastaava muoto, joka on annettu julkaisussa Gauss 1813 , s. 16, esiintyy artikkelin §: ssä ”Ensimmäisen tyypin jatkuva murtoluku” eksponenttifunktion Padé-likiarvoista .
Jones ja Thron 1980 , s. 208.
Seinä 2000 , s. 343.
Jones ja Thron 1980 , s. 202.

Katso myös

Rogers-Ramanujanin jatkuva osa

Ulkoinen linkki

(en) Eric W. Weisstein , ” Gaussin jatkuva murtoluku ” , MathWorldissa